南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué) (210048) 郝結(jié)紅

江蘇省南京市溧水區(qū)教育局教研室 (211200) 魏國(guó)兵

1 ?？荚囶}呈現(xiàn)

(南京市2021屆高三年級(jí)第二次模擬考試第21題)已知直線l：y=x+m交拋物線C：y2=4x于A，B兩點(diǎn).(1)略；(2)如圖1，若點(diǎn)M，N在拋物線C上，且關(guān)于直線l對(duì)稱，求證：A，B，M，N四點(diǎn)共圓.

圖1

2 學(xué)生解法匯總

評(píng)析：以上4種解法本質(zhì)是相同的：一是將四點(diǎn)共圓這個(gè)幾何問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0這個(gè)代數(shù)問(wèn)題；二是都是通過(guò)設(shè)坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系和中點(diǎn)關(guān)系，將題目條件進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化和坐標(biāo)消元.所以說(shuō)：在解析幾何中，幾何指揮代數(shù)，代數(shù)為幾何服務(wù)，化歸坐標(biāo)永遠(yuǎn)是王道.

評(píng)析：利用與圓心和半徑解決四點(diǎn)共圓問(wèn)題，也是一種好思路，用m表示半徑，用n表示半徑，還需要尋找兩者的關(guān)系n+m=-4進(jìn)行消元.

解法6：(曲線系方程法)因?yàn)辄c(diǎn)M,N在拋物線C上，且關(guān)于直線l對(duì)稱，所以可設(shè)直線MN：x+y+n=0，由A，B，M，N滿足方程x-y+mx+y+n+2y2-4x=0，即x2+y2+(m+n-8)x+(m-n)y+mn=0，所以A，B，M，N四點(diǎn)共圓.

評(píng)析：具有某種共同性質(zhì)的所有曲線的集合，稱為一個(gè)曲線系，并用含有參數(shù)的方程表示.此解法中，過(guò)兩直線L1：A1x+B1y+C1=0，L2：A2x+B2y+C2=0與二次曲線F(x，y)=0交點(diǎn)的曲線系方程為λL1L2+μF(x，y)=0.巧妙利用曲線系方程，大大降低了運(yùn)算難度.

評(píng)析：巧妙利用直線的參數(shù)方程，也降低了運(yùn)算難度.

3 命題背景探究

探究1 改變?cè)}中拋物線方程，四點(diǎn)共圓仍然成立.

探究2 改變?cè)}中直線l的斜率，四點(diǎn)共圓不成立.

探究3 將原題中拋物線方程改為橢圓方程，四點(diǎn)共圓仍然成立.

(1)證明：點(diǎn)P在C上；(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.

評(píng)析：此題揭示兩條斜率之和為0的直線與橢圓相交所得的四點(diǎn)共圓.

簡(jiǎn)解：(1)易得C的方程為y2=4x；

評(píng)析：此題揭示拋物線上四點(diǎn)共圓是有條件的.

圓錐曲線四點(diǎn)共圓定理若兩條直線y=kix+bi(i=1，2)與圓錐曲線ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四個(gè)交點(diǎn)，則四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是k1+k2=0.

證明：兩直線組成的曲線方程為(k1x-y+b1)·(k2x-y+b2)=0，則過(guò)四個(gè)交點(diǎn)的曲線方程可設(shè)為(k1x-y+b1)(k2x-y+b2)+λ(ax2+by2+cx+dy+e)=0①.

(必要性)若四點(diǎn)共圓，則方程①表示圓，那么①式左邊展開(kāi)式中xy項(xiàng)的系數(shù)為零，即有k1+k2=0.

方程②的幾何意義是如下三種情形之一：表示一個(gè)圓、表示一個(gè)點(diǎn)、無(wú)軌跡.由題設(shè)知四個(gè)交點(diǎn)在方程②所表示的曲線上，故方程②表示圓.

評(píng)析：上述定理用文字表述，即斜率均存在的兩條直線與圓錐曲線(圓除外)有四個(gè)交點(diǎn)，則四個(gè)交點(diǎn)共圓的充分條件是兩直線的斜率互為相反數(shù).這是一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的充要條件，運(yùn)用這個(gè)定理可解決圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的高考難題和數(shù)學(xué)問(wèn)題.