廣東省中山市濠頭中學(xué)(528437) 閆 偉
2019年教育部考試中心制定《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》,在高考“為什么考,考什么,怎么考”的問(wèn)題上給出了明確的理論指引和方法指導(dǎo). 今年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題繼續(xù)保持著以“一核四層四翼”的高考評(píng)價(jià)體系為依托,遵循考試大綱,聚焦學(xué)科主干知識(shí),突出考查關(guān)鍵能力,凸顯基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性,彰顯學(xué)科核心素養(yǎng)的命題導(dǎo)向,對(duì)今后的數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)備考有很好的借鑒意義. 下面以2021年新高考數(shù)學(xué)I 卷第16 題為例,進(jìn)行評(píng)析和提出合理的復(fù)習(xí)備考建議.
題目(2021年新高考數(shù)學(xué)I 卷16 題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí), 發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折,規(guī)格為20dm×12dm 的長(zhǎng)方形紙,對(duì)折1 次共可以得到10dm×12dm, 20dm×6dm 兩種規(guī)格的圖形, 它們的面積之和S1= 240dm2,對(duì)折2 次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180dm2,以此類(lèi)推,則對(duì)折4 次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_(kāi)___;如果對(duì)折n次,那么=____dm2.
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出把數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值,體現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)于人類(lèi)文明發(fā)展的貢獻(xiàn)和對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用[1]. 縱觀今年的高考題,命題者在考查基本主干知識(shí)的基礎(chǔ)上,發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn),設(shè)計(jì)了一些與數(shù)學(xué)文化相聯(lián)系的實(shí)際情境,通過(guò)這些試題力求培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,感受中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的民族性與世界性. 2021年新高考I 卷第16 題通過(guò)結(jié)合我國(guó)傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)的實(shí)際情境,讓學(xué)生體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程,重點(diǎn)考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,意在激勵(lì)學(xué)生弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)優(yōu)秀文化,增強(qiáng)文化自信,以此培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情懷,引導(dǎo)學(xué)生形成正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀,充分體現(xiàn)了高考評(píng)價(jià)體系中“核心價(jià)值”在數(shù)學(xué)學(xué)科考查中的育人功能.
本題在情境設(shè)置上貼近生活, 通過(guò)較熟悉的剪紙對(duì)折,學(xué)生可以隨手進(jìn)行紙張對(duì)折這一數(shù)學(xué)探究活動(dòng),通過(guò)折疊圖形得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)變化規(guī)律,體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程;兩個(gè)填空設(shè)置也是別出心裁,第一空需要學(xué)生明確紙張對(duì)折后的規(guī)格,意在考查學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的探索能力和綜合分析問(wèn)題的能力;第二空要根據(jù)對(duì)折后產(chǎn)生不同圖形的規(guī)格計(jì)算所有圖形面積之和,學(xué)生可以通過(guò)對(duì)折實(shí)驗(yàn)探究出所有規(guī)格的分布規(guī)律,進(jìn)一步歸納整理可以獲得一個(gè)數(shù)列關(guān)系,目的是考查學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的觀察能力、推理論證能力以及運(yùn)用數(shù)列知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力和運(yùn)算求解能力.
本題重點(diǎn)考查科學(xué)思維素養(yǎng),并且考核要求水平層次較高. 對(duì)應(yīng)科學(xué)思維水平為: 能夠根據(jù)對(duì)問(wèn)題情境的分析,建構(gòu)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型;能在新的情境中運(yùn)用抽象與聯(lián)想、歸納與概括、推演與計(jì)算等思維方法對(duì)綜合性數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析和推理,解決生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索情境中的各種問(wèn)題[2]. 另外試題要求考生主動(dòng)思考,發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論,指向考查理性思維素養(yǎng)、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)文化素養(yǎng),體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)理念,凸顯區(qū)分甄選功能.
(1)直接舉例分析: 類(lèi)比前面對(duì)折1 次和2 次所得結(jié)果,不難得到對(duì)折三次的結(jié)果有:×12,5×6,10×3,20×共4 種不同規(guī)格(單位dm2);對(duì)折4 次可得到如下規(guī)格:×12,共5 種不同規(guī)格(單位dm2).
(2)由于每次對(duì)折后圖形的面積都減小為原來(lái)的一半,故各次對(duì)折后的圖形,不論規(guī)格如何,其面積成公比為的等比數(shù)列, 首項(xiàng)為120(dm2), 第n次對(duì)折后的圖形面積為對(duì)于第n次對(duì)折后圖形的規(guī)格形狀種數(shù),根據(jù)(1)的過(guò)程和結(jié)論可得為n+1 種,這n+1 種規(guī)格的面積和為Sn=設(shè)
令Tn=于是此題本質(zhì)上是一個(gè)“差比型”數(shù)列求和,那么本題的解法很多,學(xué)生可以利用多種思路解決,下面例舉7 種思考的視角,僅供參考.
視角1(基于錯(cuò)位相減的視角)因?yàn)?/p>
①- ②得:
評(píng)注解決差比型數(shù)列求和的常用方法是錯(cuò)位相減法,此法求和模式化很強(qiáng),但是計(jì)算時(shí)往往涉及繁分式化簡(jiǎn)、指數(shù)冪運(yùn)算等,學(xué)生極易算錯(cuò),需要學(xué)生耐心、細(xì)心的運(yùn)算品質(zhì).
視角2(基于分組求和的視角)因?yàn)?/p>
又因?yàn)?/p>
評(píng)注解題的關(guān)鍵是將前n項(xiàng)和Tn分成為和前者是一個(gè)等比數(shù)列求和, 后者可以轉(zhuǎn)化為求和.
視角3(基于裂項(xiàng)相消的視角)因?yàn)樗?/p>
評(píng)注裂項(xiàng)相消法解決“差比型”數(shù)列問(wèn)題,根據(jù)項(xiàng)的特征將拆成然后利用累加法直接得到Tn,這種解法可以大大減少運(yùn)算,提高解題效率. 但是裂項(xiàng)求和的能力以及代數(shù)變形的技巧要求較高,平常的教學(xué)中可以視學(xué)生情況進(jìn)行拓展.
視角4(基于構(gòu)造的視角)因?yàn)門(mén)n=···+所以Tn -Tn-1=(n≥2), 兩邊同時(shí)加上可得:Tn+Tn-1+于是數(shù)列為常數(shù)列,所以于是有
評(píng)注解題的關(guān)鍵是在等式Tn-Tn-1=兩邊同時(shí)加上從而構(gòu)造常數(shù)列一步到位解決此類(lèi)數(shù)列求和問(wèn)題,解題過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)潔,至于這一項(xiàng)如何得來(lái)的,其本質(zhì)是通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造所得.
視角5(基于方程的視角)因?yàn)?/p>
解關(guān)于Tn的方程可得Tn= 2(3-), 所以120Tn=240×
評(píng)注本解法將前n項(xiàng)和Tn中的部分項(xiàng)分組整合,利用轉(zhuǎn)化與劃歸的思想構(gòu)造Tn與Tn-1的等量關(guān)系式, 再將Tn-1=Tn -代入得到關(guān)于Tn的方程,最后解方程即可,該法是“差比型”數(shù)列求和的一種常用方法.
視角6(基于等比性質(zhì)的視角)因?yàn)樗?/p>
由等比性質(zhì)可得:
評(píng)注等比性質(zhì)法的本質(zhì)也是構(gòu)造關(guān)于Tn的方程,通過(guò)構(gòu)造比值為的通式,利用等比性質(zhì)得到一個(gè)關(guān)于前n項(xiàng)和的分式,然后整理成關(guān)于Tn的等比為的分式方程,方法較巧妙,需要學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的積累和靈活運(yùn)用.
視角7(基于公式的視角)數(shù)列{(an+b)qn}(q /= 0,1)的前n和Tn= (An+B)qn+1+C,其中A=
證明因?yàn)門(mén)n= (a+b)q+(2a+b)q2+···+(a(n-1)+b)qn-1+(an+b)qn, 所以qTn= (a+b)q2+(2a+b)q3+···+(a(n-1)+b)qn+(an+b)qn+1,兩式相減得:
評(píng)注本題作為客觀題利用公式法能快速準(zhǔn)確求解答案,但是公式本身不便記憶,如果作為解答題得先推導(dǎo)出來(lái)再使用,也可作為同學(xué)們驗(yàn)證結(jié)論的方式.
2017 版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到:“試題要注重圍繞生產(chǎn)生活或科技等設(shè)計(jì)問(wèn)題情境,加強(qiáng)對(duì)學(xué)生運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題能力的考査. 試題的任務(wù)情境要與生產(chǎn)生活、科技發(fā)展等緊密聯(lián)系,要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科前沿與成果應(yīng)用;要探索設(shè)計(jì)與現(xiàn)實(shí)相關(guān)的問(wèn)題情境,加強(qiáng)對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)綜合解決實(shí)際問(wèn)題能力的考查.”本題通過(guò)結(jié)合我國(guó)傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)的實(shí)際情境,從數(shù)學(xué)史方面滲透數(shù)學(xué)文化,凸顯中國(guó)傳統(tǒng)文化的精髓,在弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的同時(shí),引導(dǎo)學(xué)生胸懷祖國(guó),放眼世界. 近三年的數(shù)學(xué)高考試題中,情境化試題都非常豐富,可以用上表1 總結(jié)呈現(xiàn). 從表1中可以看出,近年來(lái)高考題取材于現(xiàn)實(shí)生活的前沿科技、生活問(wèn)題不在少數(shù). 在教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)注重情境化教學(xué),以自然界及社會(huì)生活、生產(chǎn)中客觀存在的與數(shù)學(xué)相關(guān)的現(xiàn)象或過(guò)程為背景,提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的能力;這樣既能拓寬學(xué)科視野,也能增強(qiáng)學(xué)科實(shí)踐探索意識(shí),提升科學(xué)態(tài)度與核心素養(yǎng).
表1 2019-2021年全國(guó)卷數(shù)學(xué)高考題的情境化試題概括
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出: 高考命題應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問(wèn)題,重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過(guò)程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).[1]高考數(shù)列試題出現(xiàn)新情境化數(shù)列問(wèn)題,首先需要學(xué)生理解“情境”,這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中要注重學(xué)生“理解能力”的培養(yǎng),要加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀,用以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解. 另外,以傳統(tǒng)文化為載體,加強(qiáng)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)思想文化的滲透,將國(guó)家的育人要求與高考選拔相結(jié)合,是近年高考新動(dòng)向. 這就需要我們?cè)谌粘=虒W(xué)中結(jié)合相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)文化,注重傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)元素,開(kāi)拓學(xué)生數(shù)學(xué)視野,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與好奇心,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神. 在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解,踐行數(shù)學(xué)文化的過(guò)程中,逐步落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),方能在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“致遠(yuǎn)”.
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出: 在數(shù)學(xué)高考命題中,考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線,聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、方法的理解和應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性,注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法[1]. 近些年來(lái)全國(guó)各套高考試卷對(duì)數(shù)列的考查多以等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算以及常見(jiàn)求通項(xiàng)、求和方法為主,考查內(nèi)容相對(duì)集中,難度適中. 因此,在日常的教學(xué)中,應(yīng)重視等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式基本量的計(jì)算,等差、等比數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)、前n項(xiàng)和性質(zhì)的掌握,以及常見(jiàn)求通項(xiàng)方法,如累加、累乘、由Sn求通項(xiàng)等,常見(jiàn)的求和方法,如倒序相加、分組求和、并項(xiàng)求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減等方法的訓(xùn)練,用以夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí),掌握基本技能,方能在考試中“行穩(wěn)”.
綜合性問(wèn)題如2021年新高考I 卷第16 題往往涉及到的情境較為復(fù)雜,關(guān)聯(lián)諸多概念和規(guī)律. 建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,可以簡(jiǎn)化情境、整合知識(shí)、優(yōu)化思維. 在構(gòu)建模型教學(xué)中注意抓好三個(gè)點(diǎn): (1)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型要精準(zhǔn). 例如,我們?cè)跀?shù)列章節(jié)教學(xué)中解決等差、等比數(shù)列的實(shí)際問(wèn)題時(shí),盡管很多問(wèn)題呈現(xiàn)的情境形式多樣,但這些情境在數(shù)學(xué)本質(zhì)上是相同的,只要緊扣等差、等比數(shù)列定義即可. (2)建構(gòu)模型要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì).將某一類(lèi)具有相同的數(shù)學(xué)特征、規(guī)律和思維方法的情境提煉成數(shù)學(xué)模型,那么在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型時(shí)就有必要強(qiáng)調(diào)模型的數(shù)學(xué)本質(zhì). 如本題中的折紙問(wèn)題,在紙張對(duì)折的過(guò)程中,所得圖形的面積減半,呈現(xiàn)出一個(gè)等比數(shù)列,這就是該模型的數(shù)學(xué)本質(zhì). (3)提升運(yùn)用模型時(shí)的遷移能力. 從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度看,學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要經(jīng)歷知識(shí)遷移和能力遷移兩個(gè)過(guò)程,問(wèn)題解決的好壞是上述兩個(gè)遷移結(jié)果的具體表現(xiàn). 不顧情境條件和問(wèn)題設(shè)置生搬硬套是學(xué)生應(yīng)用模型時(shí)最常見(jiàn)的問(wèn)題. 采用一題多變等教學(xué)方法通過(guò)微調(diào)經(jīng)典模型的場(chǎng)景條件等引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)質(zhì)疑,提升學(xué)生對(duì)模型的辨識(shí)能力和知識(shí)遷移能力,以達(dá)到觸類(lèi)旁通舉一反三,從而實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)備考的目的.