鄒彩華

一般情況下，我們常用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式來(lái)求等差數(shù)列的和，用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來(lái)求等比數(shù)列的和.當(dāng)遇到一些非常規(guī)的數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，我們往往需要采用一些技巧.下面，筆者介紹三種求非常規(guī)數(shù)列的和的技巧，供大家參考.

一、錯(cuò)位相減

錯(cuò)位相減適用于求由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成的數(shù)列的和.在求和時(shí)，需把每一項(xiàng)都乘以等比數(shù)列的公比q，然后將和式向后錯(cuò)開一位，把同次冪的項(xiàng)相減，使其構(gòu)成等比數(shù)列，以便根據(jù)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)求和公式求出數(shù)列的和.

例1.

解：

數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列{2n -1}和一個(gè)等比數(shù)列{3n}的乘積構(gòu)成的，可直接列出和式，然后在和式的左右同乘以公比3，再將兩式錯(cuò)位相減，即可求得數(shù)列的和.

二、倒序相加

如果一個(gè)數(shù)列中，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù) k ，那么就可用倒序相加來(lái)求這個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和.將數(shù)列的和轉(zhuǎn)化為 n 個(gè)常數(shù) k 的和，就能快速求得數(shù)列的和.

例2.

解：

在運(yùn)用倒序相加求數(shù)列的和時(shí)，要注意仔細(xì)觀察數(shù)列，找出各項(xiàng)之間的規(guī)律，尤其要建立與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)之間的聯(lián)系.

三、裂項(xiàng)相消

裂項(xiàng)相消是指把每一項(xiàng)都拆成兩項(xiàng)之差的形式， 再進(jìn)行求和.在運(yùn)用裂項(xiàng)相消的技巧求和時(shí)，要將數(shù)列中的每項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.該技巧常用于求各項(xiàng)為分式的數(shù)列的和.

例3.

解析：數(shù)列的各項(xiàng)為分式，且其通項(xiàng)可裂為兩項(xiàng)之差，可直接采用裂項(xiàng)相消的技巧來(lái)解題.

解：

在求非常規(guī)數(shù)列的和時(shí)，同學(xué)們要注意觀察數(shù)列的各項(xiàng)，找出其中的規(guī)律，對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行合理的拆分、變形，以便將復(fù)雜的數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的等比、等差數(shù)列問(wèn)題，或易于求解的常數(shù)問(wèn)題，這樣能化難為易，化繁為簡(jiǎn)，使問(wèn)題快速得解.

（作者單位：江西省贛州市第三中學(xué)）