摘要：離散型隨機變量均值與方差的題目是歷年高考重點，考察學(xué)生分析與解決實際問題能力，對于隨機變量均值與方差的題目有填空與選擇題，還有大的解答題，對于此類題型的解析需要學(xué)生先掌握考點，在熟悉基礎(chǔ)知識上再進行相關(guān)題目的分析與解答，旨在幫助學(xué)生快速縷清問題并解決問題.

關(guān)鍵詞：隨機變量;均值;方差;例題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0023-02

作者簡介：周語華（1975.7-），男，江蘇省鹽城人，碩士，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：江蘇省教育學(xué)會“十三五”教育科研規(guī)劃2017年度一般規(guī)劃課題《核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)校本課程的開發(fā)與實施研究》（批準號：17A20J4YC129）

一、考點梳理

二、隨機變量均值與方差的題型解析

1.根據(jù)離散型隨機變量的均值與方差的解題

過程為：第一，先確定離散型隨機變量的可能值.第二，求可能值對應(yīng)的概率，第三，書寫分布列，檢查正誤.第四，求均值與方差.

例1商店以5元的單價進購一批蛋糕，然后以10元一塊的價格出售，若當天賣不完，則扔掉以垃圾處理.

（1）第一天商店進購16塊蛋糕，求那天的利潤y（元）與當天所需量n（塊）的函數(shù)解析式.

（2）商店對近100天的蛋糕日需求量進行整理，做出表1，以此需求量的頻率當做各需求量的概率.若商店一天購進16塊蛋糕，X為當天的利潤，求X的分布、數(shù)學(xué)期望與方差;若商店一天進購16或者17塊蛋糕，你認為進多少塊更合理？

點評本問題所求的隨機變量均值與方差要先確定所有可能的值，然后分別寫出隨機變量分布，最后再運用正確的公式計算.解題的時候要關(guān)注隨機變量的概率分布特征，如果是二項分布，則使用二項分布的均值與方差公式進行計算更加簡單.

2.求二項分布的均值與方差問題

例2中央電視臺與唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》為一檔青年電視公開課節(jié)目，節(jié)目一開播就受到觀眾的喜愛.電視臺隨機調(diào)查了甲、乙兩地中的一百名觀眾，得到2×2列表為表2：

在被調(diào)查的一百名觀眾中隨機抽取1名，為乙地區(qū)中非常滿意觀眾中的一員的概率為0.35，且4y=3z.

（1）從這一百名觀眾中，通過分層抽樣的方法抽取20名問卷進行調(diào)查，抽取滿意的甲、乙兩地人數(shù)都為多少？

（2）請你完成表2，并依據(jù)此判斷是否有95%的把握確定觀眾的滿意程度與所在地區(qū)相關(guān).

（3）以抽樣調(diào)查頻率為概率，先從甲地抽取3人，抽到非常滿意的人數(shù)為X，求X分布列與期望值.

3.非二項分布均值與方差問題

例3我校實驗班與普通班一個學(xué)期內(nèi)一共進行了四次考試，該階段的數(shù)學(xué)試卷每一題都有區(qū)分度，則q1=實驗班得分率-普通班得分率，若q<0.3，則確定此題區(qū)分度不好.若在實驗班中進行抽樣調(diào)查，以12題為例，可在班級成績在前八名和后八名的學(xué)生中各隨機抽取2人，此4人答題結(jié)果為計算區(qū)分度，則q為前后各8名各抽取2名學(xué)生的正確率，同樣q<0.3，則確定此題區(qū)分度不好.問：

（1）從年級的角度分析，若區(qū)分度不好的概率為p，四次考試中則至少有一次區(qū)分度不好的概率為0.9375，求p的值;

（2）實驗班前八名學(xué)生中有7人答對第12題，后八名中有四人答對，依據(jù)抽樣結(jié)果，求該題區(qū)分度不好的概率.在抽取的四人中，β為答對12題的人數(shù)，寫出其分布列，求出E（β）.

解（1）根據(jù)列式1-（1-p）=0.937，得到p=0.5.（2）從“該題區(qū)分度不好”這句話可總結(jié)為幾個互斥事件，第一，實驗班前八名與后八名學(xué)生中各抽取的兩人中有一人未答對，且從后8名同學(xué)中抽到的2人中至多有1人來答對，最多有1人未答對，其概率為11/56;實驗班中前八名與后八名學(xué)生中抽取的2人中全部答對，其概率為9/56，以此得到該題區(qū)分度不好的概率為兩組數(shù)據(jù)相加，為5/14.第二，根據(jù)題意β=1.2.3.4求P（β=1.2.3.4）的值分別為3/56、17/56、27/56、9/56，E（β）=11/4.

綜上得出離散型隨機變量均值與方差的計算過程，并根據(jù)隨機變量X-B（n，p）直接使用公式求解;隨機變量的期望表達其取值的平均水平，因此可以通過隨機變量作為實際應(yīng)用題中方案取舍的主要依據(jù)，如果先比較均值，若均值相同，則以方差決定.

參考文獻：

[1]鄭麗娟.隨機變量均值與方差的題型解析[J].高中數(shù)理化，2021（01）：4-6.

[2]江志杰.提煉數(shù)學(xué)模型激活運算素能——由“離散型隨機變量的均值和方差”探究組合數(shù)列求和[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2019（05）：16-19.

[3]楊文金.離散型隨機變量的分布列、期望和方差高考鏈接[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二數(shù)學(xué)），2018（06）：7-9.

[責(zé)任編輯：李璟]