翁 柳 青

黎明職業(yè)大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,福建 泉州 362000

我國(guó)裝配式混凝土結(jié)構(gòu)中桁架鋼筋疊合板應(yīng)用最為廣泛的受力構(gòu)件,有效提高結(jié)構(gòu)的裝配率,但受限于現(xiàn)澆層厚度要求,預(yù)制底板的剛度不足[1],在生產(chǎn)脫模、吊裝過(guò)程中容易出現(xiàn)混凝土開(kāi)裂,在沒(méi)有桁架筋的截面開(kāi)裂更為普遍[2].姚一辰等[3]人通過(guò)有限元模型分析得出疊合板在脫模、吊裝時(shí)的受力性能影響因素為懸挑長(zhǎng)度、板寬、吊繩等.國(guó)家建筑標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)圖集(15G366-1)《桁架鋼筋混凝土疊合板》[4]給出關(guān)于部分疊合板的起吊懸挑長(zhǎng)度、吊點(diǎn)數(shù)量及位置的建議.鄒貽權(quán)等[5]人認(rèn)為疊合板在生產(chǎn)及施工過(guò)程中混凝土開(kāi)裂的主要影響因素為吊點(diǎn)設(shè)計(jì)錯(cuò)誤或起吊時(shí)遺漏,吊點(diǎn)數(shù)量或位置設(shè)計(jì)不合理,則會(huì)增加混凝土剝落及開(kāi)裂的風(fēng)險(xiǎn).其根據(jù)疊合板起吊計(jì)算模型分析得出四、六點(diǎn)起吊情況下疊合板的最優(yōu)力學(xué)吊點(diǎn).以上研究對(duì)于規(guī)則桁架鋼筋疊合板的受力性能進(jìn)行分析,給出吊點(diǎn)位置建議,但未涉及異形的桁架鋼筋疊合板.

隨著裝配式建筑的多樣化發(fā)展,往往需拆分異形的疊合板以適應(yīng)當(dāng)?shù)匮b配率的要求[6].在實(shí)際工程中,疊合板因與墻柱碰撞、預(yù)留洞口、拆分前本為異形板而設(shè)置切角,導(dǎo)致力學(xué)最優(yōu)吊點(diǎn)發(fā)生改變.因此,帶切角的桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化需要進(jìn)一步研究.郁文海等[7]人認(rèn)為疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化應(yīng)充分利用混凝土自身的抗拉性能,使疊合板的正負(fù)彎矩絕對(duì)值最相近.帶切角的疊合板往往四、六點(diǎn)起吊,彎矩圖上存在多個(gè)彎矩極值,導(dǎo)致吊點(diǎn)的位置優(yōu)化涉及多目標(biāo)優(yōu)化.此外,疊合板起吊時(shí)截面上的多個(gè)彎矩極值隨吊點(diǎn)的位置變化呈非線性變化[5],并存在此消彼長(zhǎng)的沖突關(guān)系.粒子群算法因參數(shù)少、易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化[8],但無(wú)法同時(shí)優(yōu)化具有沖突性的多目標(biāo)最優(yōu)解[9],而改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化性能得到改善,但相關(guān)的數(shù)學(xué)理論仍不夠完備[10].傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化算法如加權(quán)求和法、約束法、目標(biāo)規(guī)劃法[11]等理論較為完善,具有確定的優(yōu)化終止準(zhǔn)則,但當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為非線性時(shí),優(yōu)化效果并不理想[10].因此,如何基于一種數(shù)學(xué)理論完備且適合、簡(jiǎn)易的多目標(biāo)優(yōu)化算法共性分析不同切角比例下疊合板的吊點(diǎn)優(yōu)化布置規(guī)律值得研究.由此,將建立帶切角的桁架鋼筋疊合板的起吊計(jì)算模型,結(jié)合力學(xué)分析得出多彎矩極值關(guān)聯(lián)吊點(diǎn)位置的表達(dá)式.根據(jù)已有的研究初步估計(jì)吊點(diǎn)的優(yōu)化范圍,并構(gòu)建吊點(diǎn)位置搜索矩陣,基于Matlab矩陣運(yùn)算[12]的“點(diǎn)乘”功能計(jì)算得出多彎矩極值矩陣,以多彎矩極值矩陣同位元素最大值最小判定吊點(diǎn)處于最優(yōu)位置,從而將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題.再以疊合板切角在疊合板長(zhǎng)跨向的尺寸與疊合板長(zhǎng)度的比值為變量,共性分析不同切角比例下桁架鋼筋疊合板力學(xué)上最優(yōu)吊點(diǎn)的共性布置規(guī)律,并做出優(yōu)化前后的比較，最后,通過(guò)算例分析優(yōu)化理論結(jié)果的應(yīng)用.

1 帶切角疊合板的起吊計(jì)算模型

1.1 吊點(diǎn)與切角的位置關(guān)系

在實(shí)際的裝配式混凝土結(jié)構(gòu)中,帶切角的桁架鋼筋疊合板多數(shù)為一角設(shè)置切角如圖1所示.其中,l1為切角在疊合板長(zhǎng)跨向的尺寸,l2為切角在疊合板短跨向的尺寸.《裝配式混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(JGJ1-2014)6.6.7條[13]規(guī)定桁架鋼筋距離板邊不應(yīng)大于300 mm.因此,當(dāng)l2大于300 mm時(shí),外排的桁架鋼筋與切角處于同一板帶(圖1陰影部分).而在實(shí)際工程,為避免設(shè)置吊環(huán)而將吊點(diǎn)設(shè)置于桁架鋼筋的波峰處如圖1所示,即疊合板的其中一排吊點(diǎn)與切角處于同一板帶.

圖1 帶切角的桁架鋼筋疊合板(左上角設(shè)置切角、四點(diǎn)起吊)Fig.1 Truss steel reinforced composite slab(with a cut corner on the upper left,four-point hoisted)

1.2 簡(jiǎn)化的起吊計(jì)算模型

疊合板對(duì)稱(chēng)起吊時(shí),若對(duì)稱(chēng)吊繩與疊合板的夾角相等,起吊繩的水平分力互相平衡[14],則疊合板受力計(jì)算簡(jiǎn)圖為承受均布線荷載的外伸梁[5,7].因受限于運(yùn)輸,疊合板設(shè)計(jì)寬度與長(zhǎng)度相比較小,即疊合板短跨向板帶計(jì)算跨度相比長(zhǎng)跨向的小,且若將吊點(diǎn)設(shè)置于桁架鋼筋上,吊點(diǎn)的位置取決于桁架鋼筋的位置及間距;若在吊點(diǎn)設(shè)置吊環(huán),則疊合板短跨向內(nèi)力較易于控制,因此將重點(diǎn)分析疊合板切角尺寸l1對(duì)長(zhǎng)跨向吊點(diǎn)優(yōu)化設(shè)置的影響.

圖1中帶切角的桁架鋼筋疊合板四點(diǎn)起吊下長(zhǎng)跨板帶的受力計(jì)算簡(jiǎn)圖與彎矩圖如圖2所示.同理,跨度較大的疊合板六點(diǎn)起吊下長(zhǎng)跨板帶的計(jì)算簡(jiǎn)圖與彎矩圖如圖3所示.

其中,a為切角在疊合板長(zhǎng)跨向的尺寸與疊合板長(zhǎng)度的比(l1/L),q為計(jì)算板帶所承受的線荷載,x1、x2分別為疊合板四點(diǎn)起吊下長(zhǎng)跨板帶兩側(cè)懸挑長(zhǎng)度與疊合板長(zhǎng)度的比,x3、x4分別為疊合板六點(diǎn)起吊下長(zhǎng)跨板帶兩側(cè)懸挑長(zhǎng)度與疊合板長(zhǎng)度的比,x5、x6均為疊合板六點(diǎn)起吊下長(zhǎng)跨板帶計(jì)算跨度與疊合板長(zhǎng)度的比.圖2(b)與圖3(b)中的M1～M16為對(duì)應(yīng)吊點(diǎn)和板跨中的彎矩極值.因?qū)ΨQ(chēng)起吊,M2=M4,M8=M10.此外,因疊合板的一角設(shè)置了切角,導(dǎo)致相鄰跨跨中彎矩最大值增加,即M6>M5,M14>M13.因此,為使得M1～M6、M7～M16均相對(duì)較小,將基于多目標(biāo)優(yōu)化共性分析不同切角比例(a=l1/L)下疊合板四、六點(diǎn)起吊的吊點(diǎn)最優(yōu)位置.

(b) 長(zhǎng)跨板帶圖2 四點(diǎn)起吊下的計(jì)算簡(jiǎn)圖與彎矩圖(左側(cè)設(shè)置切角)Fig.2 Calculation diagram and bending moment diagram under four-point hoisted(with a cut corner on the left)

(b) 長(zhǎng)跨板帶圖3 六點(diǎn)起吊下的計(jì)算簡(jiǎn)圖與彎矩圖(左側(cè)設(shè)置切角)Fig.3 Calculation diagram and bending moment diagram under six-point hoisted(with a cut corner on the left)

2 帶切角疊合板的吊點(diǎn)位置多目標(biāo)優(yōu)化

2.1 構(gòu)建吊點(diǎn)位置搜索矩陣

(a) 切角范圍內(nèi)長(zhǎng)跨板帶

(a) 切角范圍內(nèi)長(zhǎng)跨板帶

(1)

X2=X1T

(2)

六點(diǎn)起吊情況下,x3～x6的搜索矩陣X3,X4,X5,X6均為三維矩陣,行列及平面數(shù)均為n+1,見(jiàn)式(3)～式(6)

(3)

X4(:,:,k)=X3(:,:,k)Tk=1，…，n+1

(4)

(5)

X6=E-X3-X4-X5

(6)

其中,X3(:,:,k),X4(:,:,k),X5(:,:,k)分別表示三維矩陣X3,X4,X5空間上第k平面的二維矩陣;E表示與X3～X5同型的三維矩陣且元素?cái)?shù)值均是1.

2.2 計(jì)算彎矩極值矩陣

利用Matlab矩陣運(yùn)算的“點(diǎn)乘”功能,根據(jù)X1～X6計(jì)算得出圖2(b)和圖3(b)中的彎矩極值所形成的矩陣M1～M16.四點(diǎn)起吊情況下,M1～M6為二維矩陣見(jiàn)式(7)～式(11)

M1ij=0.5X1ij2qL2

(7)

M4ij=M2ij=0.5X2ij2qL2

(8)

M3ij=0.5(X1ij-a)2qL2

(9)

(10)

(11)

其中,下標(biāo)“ij”表示矩陣的第i行與第j列,i=1,…,n+1,j=1,…,n+1.

六點(diǎn)起吊情況下,M7～M16為三維矩陣,通過(guò)圖乘法及力法分析超靜定外伸梁可求.圖3(a)中的支座反力矩陣與彎矩極值M7～M16矩陣的表達(dá)為式(12)～式(24)

(12)

(13)

R4aijk=

(14)

(15)

M7ijk=0.5X3ijk2qL2

(16)

(17)

(18)

M11ijk=0.5(X4ijk+X6ijk)2qL2-R4ijkX6ijkL

(19)

M12ijk=0.5(X4ijk+X6ijk)2qL2-R4aijkX6ijkL

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

其中,下標(biāo)“ijk”表示矩陣的第i行第j列第k平面處,i=1,…,n+1,j=1,…,n+1,k=1,…,n+1.

2.3 彎矩極值矩陣同位元素最大值最小定位

比較彎矩極值矩陣對(duì)應(yīng)空間位置數(shù)值,以最大值組建新矩陣ZM4(四點(diǎn)吊)、ZM6(六點(diǎn)吊)見(jiàn)式(25)和式(26)

ZM4ij=max(M1ijM2ijM3ijM5ijM6ij)i=1,…,n+1j=1,…,n+1

(25)

ZM6ijk=max(M7ijkM8ijkM9ijkM11ijkM12ijkM13ijkM14ijkM15ijkM16ijk)

i=1,…,n+1j=1,…,n+1k=1,…,n+1

(26)

之后,分別得出ZM4和ZM6中元素最小值的位置,如圖4所示,再推出X1～X5矩陣中對(duì)應(yīng)位置的元素值,即為x1～x5的值,由此得出疊合板力學(xué)上最優(yōu)吊點(diǎn)的位置.

圖4 矩陣元素值三維圖Fig.4 Three-dimensional image of matrix element values

2.4 吊點(diǎn)位置多目標(biāo)優(yōu)化算法的流程

帶切角的桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)位置多目標(biāo)優(yōu)化算法的流程如圖5所示.

圖5 吊點(diǎn)位置多目標(biāo)優(yōu)化算法的流程Fig.5 Flow of multi-objective optimization algorithmfor hanging points’ position

2.5 吊點(diǎn)位置多目標(biāo)優(yōu)化理論結(jié)果

2.5.1 四點(diǎn)起吊

四點(diǎn)起吊情況下,因未設(shè)切角的疊合板的最優(yōu)力學(xué)吊點(diǎn)在0.207L處[5],所以設(shè)切角在疊合板長(zhǎng)跨向尺寸與疊合板長(zhǎng)度的比值a=0～20 %.基于以上優(yōu)化算法,帶切角的桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化結(jié)果及優(yōu)化前后最大彎矩比較見(jiàn)表1.

表1 四點(diǎn)起吊下吊點(diǎn)位置優(yōu)化結(jié)果及優(yōu)化前后最大彎矩比較Table 1 Optimization results of hanging points’ position and comparison of the maximum bending momentbefore and after optimization under four-point hoisted

結(jié)果顯示,當(dāng)a=0,也就是疊合板不設(shè)切角時(shí),x1和x2的力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)值為0.207,與文獻(xiàn)[5]吻合,說(shuō)明優(yōu)化算法及Matlab編程有效.隨著a的增加,x1和x2逐漸增加,即疊合板起吊時(shí)兩側(cè)懸挑長(zhǎng)度逐漸增加如表1所示,最優(yōu)力學(xué)吊點(diǎn)逐漸向內(nèi)移,但移動(dòng)的幅度逐漸變緩如圖6(a)所示.其中,去除多目標(biāo)優(yōu)化個(gè)別非劣解后,x1和x2保持?jǐn)?shù)值一致見(jiàn)表1,不僅能均衡多吊點(diǎn)及跨中的彎矩極值,且便于設(shè)計(jì)和施工.此外,隨著a的增加,吊點(diǎn)位置優(yōu)化前后疊合板的最大彎矩均逐步增加,說(shuō)明切角尺寸增大對(duì)疊合板起吊的不利影響增加.而吊點(diǎn)位置優(yōu)化后,疊合板的最大彎矩增幅較小如圖6(b)所示,說(shuō)明吊點(diǎn)位置優(yōu)化能夠有效降低帶切角的疊合板起吊時(shí)的最大彎矩.例如當(dāng)a=10 %時(shí),優(yōu)化后最大彎矩Mmax比優(yōu)化前小18.5 %見(jiàn)表1.

(a) 優(yōu)化前后x1,x2的對(duì)比

(b) 優(yōu)化前后最大彎矩對(duì)比

2.5.2 六點(diǎn)起吊

六點(diǎn)起吊情況下,因未設(shè)切角的疊合板外側(cè)4個(gè)吊點(diǎn)的最優(yōu)力學(xué)位置在0.145 L處[5],所以設(shè)切角在疊合板長(zhǎng)跨向尺寸與疊合板長(zhǎng)度的比值a=0～14 %.基于以上優(yōu)化算法,帶切角的桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化結(jié)果及優(yōu)化前后最大彎矩比較見(jiàn)表2.

表2 六點(diǎn)起吊下吊點(diǎn)位置優(yōu)化結(jié)果及優(yōu)化前后最大彎矩比較Table 2 Optimization results of hanging points’ position and comparison of the maximum bending momentbefore and after optimization under six-point hoisted

結(jié)果顯示,當(dāng)a=0,也就是疊合板不設(shè)置切角時(shí),x1,x2,x3,x4的力學(xué)上標(biāo)準(zhǔn)值分別為0.145,0.145,0.355和0.355,與文獻(xiàn)[5]吻合,說(shuō)明優(yōu)化算法及Matlab編程有效.隨著a的增加,同四點(diǎn)起吊,x3和x4的值同步逐漸增加如表2及圖7(a)所示,即外側(cè)的4個(gè)吊點(diǎn)逐漸內(nèi)移,但幅度逐漸變緩如圖7(a)所示.而x3與x4的值并不完全相等,但大小較為相近見(jiàn)表2.此外,隨著a的增加,吊點(diǎn)位置優(yōu)化前和優(yōu)化后疊合板的最大彎矩均逐步增加,但優(yōu)化后比優(yōu)化前的小如圖7(b)所示,說(shuō)明吊點(diǎn)位置優(yōu)化能夠降低疊合板起吊時(shí)的最大彎矩.例如當(dāng)a=10 %時(shí),優(yōu)化后最大彎矩Mmax比優(yōu)化前小8.8 %見(jiàn)表2.相比四點(diǎn)起吊,六點(diǎn)起吊下吊點(diǎn)位置優(yōu)化后最大彎矩降低百分比相對(duì)較小.

(a) 優(yōu)化前后x3和x4的對(duì)比

(b) 優(yōu)化前后最大彎矩對(duì)比

3 帶切角疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化理論結(jié)果應(yīng)用

3.1 考慮桁架鋼筋的節(jié)點(diǎn)間距

由于桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)往往設(shè)置于桁架鋼筋的波峰處,導(dǎo)致吊點(diǎn)的位置一定程度上受限于桁架鋼筋的節(jié)點(diǎn)間距如圖8所示.

圖8 桁架鋼筋疊合板的立面圖Fig.8 Elevation image of truss reinforced composite slab

目前工程上常用的桁架鋼筋為定型桁架鋼筋.根據(jù)中華人民共和國(guó)黑色冶金行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)《鋼筋混凝土用鋼筋桁架》YB/T4262-2011第6.3條[15],定型桁架鋼筋的節(jié)點(diǎn)間距優(yōu)選200 mm.由此說(shuō)明,桁架鋼筋疊合板的總跨度通常是200 mm的整數(shù)倍,疊合板起吊時(shí)兩側(cè)的懸挑長(zhǎng)度再依此確定.

3.2 數(shù)值算例

以15G366-1圖集中的桁架鋼筋疊合板為例,設(shè)其一角帶切角(a=10 %),根據(jù)以上吊點(diǎn)位置優(yōu)化理論結(jié)果重新設(shè)計(jì)其吊點(diǎn)的位置.表1和表2顯示,四點(diǎn)、六點(diǎn)起吊下外側(cè)4個(gè)吊點(diǎn)的力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)位置在0.220L及0.153L處.桁架鋼筋疊合板的深化設(shè)計(jì)時(shí),因需確保疊合板起吊時(shí)的總跨度是200 mm的整數(shù)倍,導(dǎo)致無(wú)法完全將吊點(diǎn)設(shè)于力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)上,但能以此作為參考優(yōu)化吊點(diǎn)的位置.若疊合板長(zhǎng)為L(zhǎng),四點(diǎn)起吊時(shí),疊合板的總跨度應(yīng)與(1-0.220)L接近且為200 mm的整數(shù)倍;六點(diǎn)起吊時(shí),疊合板的總跨度應(yīng)與(1-0.153)L接近且為200 mm的整數(shù)倍.疊合板起吊時(shí)的總跨度確定后再依此確定起吊懸挑長(zhǎng)度.根據(jù)以上方法,15G366-1圖集中疊合板(設(shè)一角帶切角,a=10 %)的吊點(diǎn)位置優(yōu)化后的信息見(jiàn)表3.

表3 15G366-1圖集中疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化前后信息對(duì)比(設(shè)一角帶切角,a=10 %)Table 3 Comparison of information about truss reinforced concrete composite slabs on the 15G366-1 atlas before andafter optimization of the hoisting points' position (with a cut corner,a=10 %)

結(jié)果顯示,疊合板的吊點(diǎn)位置優(yōu)化后,起吊時(shí)截面最大彎矩Mmax均降低.理論優(yōu)化情況下,起吊時(shí)截面最大彎矩降低1.8 %～40.7 %,優(yōu)化效果明顯,但僅適用于采用定制桁架鋼筋或設(shè)置吊環(huán)的情況.而參考理論優(yōu)化結(jié)果并限定總跨度為200 mm整數(shù)倍情況下,截面最大彎矩降低0～36.9 %,相比理論優(yōu)化,效果稍不如,但一定程度上說(shuō)明吊點(diǎn)位置優(yōu)化理論結(jié)果的應(yīng)用可行.其中,長(zhǎng)為4 500 mm的疊合板吊點(diǎn)位置優(yōu)化后(總跨度為200整數(shù)倍情況下),起吊時(shí)截面最大彎矩反而增加10.2 %,是將疊合板起吊的總跨度設(shè)為常用節(jié)點(diǎn)間距200 mm的整數(shù)倍導(dǎo)致的,屬正常.

4 結(jié)論

(1) 通過(guò)二維、三維矩陣的構(gòu)建與運(yùn)算便于比較相同情況下多個(gè)目標(biāo)函數(shù)(彎矩)的大小,以其最大值最小為條件有效判定最優(yōu)工況,所提優(yōu)化算法有效.但隨著矩陣行列數(shù)的增加,在一定程度上影響計(jì)算時(shí)間.

(2) 疊合板及其切角的尺寸多樣,以切角在疊合板長(zhǎng)跨向的尺寸與疊合板長(zhǎng)度的比值為變量便于共性分析帶切角的桁架鋼筋疊合板的吊點(diǎn)優(yōu)化布置規(guī)律,為疊合板的深化設(shè)計(jì)提供參考.

(3) 四、六點(diǎn)起吊情況下,隨著切角尺寸的增加,外側(cè)四個(gè)吊點(diǎn)的力學(xué)最優(yōu)位置逐漸同步內(nèi)移,吊點(diǎn)位置優(yōu)化后疊合板截面上的最大彎矩均一定程度上降低.

(4) 在確保起吊時(shí)總跨度為桁架鋼筋節(jié)點(diǎn)間距整數(shù)倍的情況下,參考優(yōu)化后的理論結(jié)果設(shè)定吊點(diǎn)的位置,能夠有效降低疊合板起吊時(shí)截面上的最大彎矩,降低疊合板在加工及裝配環(huán)節(jié)開(kāi)裂的風(fēng)險(xiǎn).

(5) 若為達(dá)到較優(yōu)的吊點(diǎn)位置理論優(yōu)化效果,可選用定制桁架鋼筋或設(shè)置吊環(huán),以便將吊點(diǎn)設(shè)于力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)上,較大程度降低疊合板起吊時(shí)截面上的最大彎矩,但一定程度上影響疊合板的生產(chǎn)效率.

(6) 此外,四、六起吊情況下,若疊合板的一角切角尺寸與疊合板長(zhǎng)度的比不小于22 %和16 %,外側(cè)吊點(diǎn)的力學(xué)最優(yōu)位置在靠近切角的桁架鋼筋波峰處,吊點(diǎn)對(duì)稱(chēng)設(shè)置.但若疊合板的切角尺寸較大,疊合板的異形程度大,吊點(diǎn)的位置優(yōu)化應(yīng)視具體情況而定,有待于進(jìn)一步研究.