黃文芳

【關(guān)鍵詞】獨(dú)立性檢驗(yàn);分類變量;教材;教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017 年版2020 年修訂》對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想及其初步應(yīng)用的教學(xué)要求較低，只需要通過(guò)實(shí)例了解獨(dú)立性檢驗(yàn)思想即可，在平時(shí)的教學(xué)中往往就是教學(xué)生“套用” 課本公式，熟悉解題格式即可.這樣的“應(yīng)試教育” 行為與當(dāng)下的核心素養(yǎng)的推行完全背道而馳.在當(dāng)今的社會(huì)形式下，尤其是雙減政策的落地，在減少學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的條件下，讓學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)到更多更有用的數(shù)學(xué)知識(shí)，在課堂教學(xué)中錘煉思維和智慧，教師的課堂教學(xué)和對(duì)教材的把握凸顯的尤為重要.新一輪課改教材編排堅(jiān)持“以學(xué)生的發(fā)展為本” 的原則，同時(shí)以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)，以嶄新的內(nèi)容和形式，為每一位學(xué)生提供發(fā)展的空間，課堂上體現(xiàn)讓每個(gè)學(xué)生得到不同的發(fā)展.因?yàn)榻處煵粌H僅要用好教材，還要深挖教材中的重點(diǎn)、亮點(diǎn)，梳理教材編寫意圖、理解教材認(rèn)知線索和創(chuàng)造性地使用教材，從而提高課堂教學(xué)的效益，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，立德樹人，發(fā)揮教材的最佳作用.

在人教版選修1?2，2?3和新課程的選擇性必修3當(dāng)中，這一節(jié)課內(nèi)容基本上的安排都是通過(guò)情境引入（吸煙與患肺癌的關(guān)系），直接揭示分類變量的定義，進(jìn)而引入2 × 2 列聯(lián)表，借助卡方統(tǒng)計(jì)量，解釋了獨(dú)立性檢驗(yàn)思想，根據(jù)卡方統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值大小判斷“吸煙與患肺癌” 是否有關(guān)，最后通過(guò)練習(xí)熟悉獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用.盡管教學(xué)過(guò)程很流暢，但是通過(guò)授課過(guò)程，會(huì)發(fā)現(xiàn)以下5 個(gè)問(wèn)題，這5 個(gè)問(wèn)題在教學(xué)過(guò)程中很容易被教師忽略或者一筆帶過(guò)，本人認(rèn)為在尊重課標(biāo)和教材的基礎(chǔ)上，需要深度加工教材，鉆研教材，進(jìn)行重組整合，豐富和完善教材，讓學(xué)生學(xué)得輕松愉快，讓課堂變得精彩，教學(xué)質(zhì)量得到提高.下面我們重點(diǎn)分析以下這五個(gè)問(wèn)題.

1均值與方差、正態(tài)分布、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：它們都是對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.

區(qū)別：均值與方差對(duì)于兩個(gè)方案好壞或者兩人水平高低的對(duì)比，若在均值相同的條件下方差還反應(yīng)數(shù)據(jù)的集中與離散程度、波動(dòng)與穩(wěn)定性;正態(tài)分布是連續(xù)型隨機(jī)變量的一種重要分布，滿足正態(tài)曲線的函數(shù)，對(duì)其圖象進(jìn)行分析，從而了解其函數(shù)性質(zhì).

回歸分析找出兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，該變量是離散型的;獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)變量之間的相關(guān)性有多大，該變量是分類變量.

設(shè)計(jì)意圖 在引入課題之前，可以進(jìn)行之前的學(xué)習(xí)對(duì)比，讓學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)更深刻.統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容的連貫性很強(qiáng)，環(huán)環(huán)相扣，不是孤立存在的.

2分類變量的定義教材上是直接給出， 如何理解到位

我們?cè)诔踔芯烷_(kāi)始接觸變量，但數(shù)學(xué)中的變量不僅僅有取實(shí)數(shù)的數(shù)值變量（連續(xù)型和離散型），還有就是今天我們所學(xué)的分類變量. 分類變量也稱為定性變量，它是描述事物特性的變量，目的是將事物區(qū)分成互不相容的不同組別，其取值是分類數(shù)據(jù).如“性別” 就是一個(gè)分類變量， 其變量值為“男” 或“女”“血型” 也是一個(gè)分類變量，其變量值可以為“O 型”“A 型”“B 型”“AB 型”.通過(guò)舉例讓學(xué)生熟悉分類變量：性別、行業(yè)、血型、職稱、藥物檢驗(yàn)等.而作為我們高中只研究取兩個(gè)值的分類變量.

設(shè)計(jì)意圖更好地?cái)U(kuò)容知識(shí)領(lǐng)域范圍，深刻了解變量的分類，理解分類變量的含義.

在上面的臨界值表中我們可以看出，臨界值k0隨著概率P（K2≥k0） 的減少而增大.

在概率論中，小概率事件指的是概率很接近于0的事件，一般多采用0.01 和0.05 這兩個(gè)值.即把事件發(fā)生的概率在小于或低于0.01 或者小于或低于0.05的事件稱為小概率事件. 這兩個(gè)值就為小概率的標(biāo)準(zhǔn).從而知道教材當(dāng)中為何使用6.635 這個(gè)臨界值來(lái)判斷兩個(gè)分類變量的相關(guān)大小.

設(shè)計(jì)意圖 課本出現(xiàn)了“K2 ≥ 6.635 是一個(gè)隨機(jī)事件” 有些唐突，如果提及小概率事件這個(gè)知識(shí)，

3怎樣描述兩個(gè)分類變量的關(guān)聯(lián)性？ad-bc大小說(shuō)明了什么

利用卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，獨(dú)立性檢驗(yàn)一般采用列聯(lián)表的形式記錄觀察數(shù)據(jù)，主要用于兩個(gè)或兩個(gè)以上變量多項(xiàng)分類的計(jì)數(shù)資料分析，即研究?jī)深愖兞恐g的關(guān)聯(lián)性問(wèn)題. 列聯(lián)表是由兩個(gè)及兩個(gè)以上的變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表，可以清楚地表示分類變量之間是否相互關(guān)聯(lián).高中我們只研究2 × 2列聯(lián)表，它是列聯(lián)表中最簡(jiǎn)單的形式.

在利用列聯(lián)表分析時(shí)，由于列聯(lián)表是一個(gè)交叉的頻數(shù)表，利用所給頻數(shù)計(jì)算出一個(gè)差值，這個(gè)差值用卡方統(tǒng)計(jì)量表示， ad - bc 的值相差越大，卡方值就越大， 兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系就越強(qiáng);ad - bc 的值相差越小，卡方值就越小，兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系就越弱. 為了有一個(gè)統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2，K2 的結(jié)構(gòu)與ad - bc 的關(guān)系計(jì)算式也就自然而然得出.

設(shè)計(jì)意圖 介紹獨(dú)立性檢驗(yàn)的由來(lái)，列聯(lián)表的含義及說(shuō)明， 進(jìn)而得到ad - bc 的大小說(shuō)明的問(wèn)題，進(jìn)而引入K2，而不是直接告訴學(xué)生結(jié)果和計(jì)算公式.讓學(xué)生知其然也知其所以然.

K2、k、k0 分別表示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、由樣本數(shù)據(jù)帶入K2 計(jì)算得出的值（簡(jiǎn)稱觀測(cè)值） 和確定檢驗(yàn)規(guī)則的臨界值.K2 是一個(gè)隨機(jī)變量（在檢驗(yàn)前不能確定它的值）;k 和k0 都是（非隨機(jī)的） 實(shí)數(shù)，k 是隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值，而臨界值k0 決定了兩個(gè)分類變量是否有關(guān)，或者說(shuō)決定了最后的檢驗(yàn)結(jié)果犯錯(cuò)誤的概率.

5能否有99% 的把握認(rèn)為“X 與Y 有關(guān)系”;能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01 的前提下認(rèn)為“X 與Y 有關(guān)系” 這兩種問(wèn)法有何關(guān)系

這兩種說(shuō)法是在學(xué)習(xí)教材內(nèi)容后以及對(duì)比歷年高考試題發(fā)現(xiàn)的，在平時(shí)練習(xí)中也會(huì)有一些題目中出現(xiàn)這兩種問(wèn)法的交錯(cuò)使用，教師在課堂上是否按照課本上只介紹一種說(shuō)法，還是兩種說(shuō)法就是一帶而過(guò)？

例（2020 年全國(guó)卷Ⅲ 理18、文18） 某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100 天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

（1） 略;（2） 略;

（3） 若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1 或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3 或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2 × 2 列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95% 的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？ [1]

例（選修2?3） 在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665 名男性病人中，有214 人禿頂，而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中，有175人禿頂，利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01 的前提下認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系？ [2

教材的問(wèn)法都是第二種問(wèn)法，但查閱了近幾年的高考試題，2017年新課標(biāo)Ⅱ卷（理）18（2），2018年新課標(biāo)Ⅲ卷（理）18，2019 年高考全國(guó)Ⅰ卷文17，2020 年山東19、2020 年海南19、2020 年全國(guó)卷Ⅲ理18、文18 的問(wèn)法都是第一種，這兩種問(wèn)法是否一樣？

99% 的把握中的“把握” 一詞在獨(dú)立性檢驗(yàn)中的含義是指不犯錯(cuò)誤的可能性，“99% 的把握” 指的就是有99% 的可能性.換而言之，在實(shí)際應(yīng)用中，我們把k ≥ k0 解釋為有（1 - P（K2 ≥ k0）） × 100% 的把握（可能性） 認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”，把k

“犯錯(cuò)概率” 在統(tǒng)計(jì)上來(lái)講是p?value的概念，即為H0 發(fā)生的概率.如果H0 足夠小，我們有理由拒絕H0.因?yàn)樗l(fā)生的概率實(shí)在是太低了.但是即使H0 發(fā)生的概率再低，我們也不能100% 地確定H0 不會(huì)發(fā)生，因此所謂的犯錯(cuò)誤概率就產(chǎn)生了.由于統(tǒng)計(jì)不是數(shù)學(xué)，我們不能100% 的給出正確的答案，對(duì)就是對(duì)，錯(cuò)就是錯(cuò)，所以我們只能有99% 的概率說(shuō)H0 不會(huì)發(fā)生.

簡(jiǎn)而言之，這里充分體現(xiàn)了獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，教材中用了假設(shè)思想，K2 的觀測(cè)值越大，犯錯(cuò)的概率就越小，兩個(gè)分類變量的相關(guān)性就越強(qiáng).

設(shè)計(jì)意圖獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵所在就是判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)，由于樣本的隨機(jī)性不能代替總體，因此根據(jù)樣本對(duì)總體所做的推斷可能會(huì)出錯(cuò)，這樣一來(lái)，就存在求犯錯(cuò)的概率問(wèn)題，其次獨(dú)立性檢驗(yàn)中因?yàn)橛小罢J(rèn)為小概率事件不可能發(fā)生” 的觀點(diǎn)存在漏洞，進(jìn)而存在犯錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn).最后就可以在結(jié)論中描述“在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)?? 的前提下，X 與Y 有關(guān)”.這樣的梳理對(duì)比可以讓學(xué)生更加理解和掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.

獨(dú)立性檢驗(yàn)含有極其豐富的教學(xué)價(jià)值，它是對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的進(jìn)一步延續(xù)、提升和應(yīng)用.以上是作者對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)在備課或者授課過(guò)程中需要注意的細(xì)節(jié)問(wèn)題的一己之見(jiàn)， 依據(jù)教材提供的素材，對(duì)其進(jìn)行加工重組和整合，充分有效地將知識(shí)激活，努力提高教學(xué)的有效性，從而提高教學(xué)質(zhì)量.