田春明, 楊 安, 葉 樂, 李建星, 賀雨晨

(1. 西安交通大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 陜西 西安 710049; 2. 北京大學(xué)微納電子學(xué)系, 北京 100871;3. 西安交通大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院, 陜西 西安 710049)

0 引 言

隨著天線的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜,需要優(yōu)化的參數(shù)數(shù)量越來越多,快速有效的優(yōu)化算法對(duì)天線設(shè)計(jì)至關(guān)重要。天線優(yōu)化需要經(jīng)過反復(fù)迭代的過程,受限于電磁仿真時(shí)間,實(shí)際的電磁仿真次數(shù)應(yīng)盡可能少,以便快速實(shí)現(xiàn)優(yōu)化目標(biāo)。天線的優(yōu)化可以被視為黑盒函數(shù)優(yōu)化的問題,由于無法直接使用基于梯度下降的優(yōu)化算法,進(jìn)化算法(例如遺傳算法、粒子群算法、模擬退火算法等)被廣泛使用于天線設(shè)計(jì)[1-4]。由于進(jìn)化算法需要大量的種群迭代,為了解決計(jì)算開銷大的瓶頸,代理模型的方法被用于此類優(yōu)化問題[5]。代理模型基于已采樣數(shù)據(jù),對(duì)被代理的函數(shù)做出擬合,能夠顯著減小計(jì)算量。近年來,建立在代理模型基礎(chǔ)上的天線優(yōu)化方法已成為趨勢[6-16]。代理的數(shù)學(xué)模型有高斯過程(在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中被稱為Kriging)[6-13]、支持向量回歸[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14-15]等。代理模型結(jié)合進(jìn)化算法的方法日益廣泛地應(yīng)用于天線設(shè)計(jì)[8-9,11-12,16]。

在很多公開文獻(xiàn)中,代理模型分別建立在目標(biāo)頻段范圍內(nèi)多個(gè)頻點(diǎn)上[8-9],然后綜合這些頻點(diǎn)的擬合值進(jìn)一步構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)。在天線設(shè)計(jì)中,通常需要在一些限制條件下優(yōu)化多個(gè)目標(biāo)。對(duì)于這樣的優(yōu)化問題,已有的大部分文獻(xiàn)提出了使用多目標(biāo)優(yōu)化的算法[8-12]:在代理的基礎(chǔ)上通過迭代找到帕累托前沿;進(jìn)一步地,可以在帕累托前沿中使用一個(gè)度量篩選出最佳天線參數(shù)組合。但是,在多目標(biāo)優(yōu)化中需要為優(yōu)化目標(biāo)和限制條件分別建立代理模型,計(jì)算開銷大。文獻(xiàn)[17]提出了一種綜合目標(biāo)函數(shù)的建立方法,該目標(biāo)函數(shù)由分別代表S11、方向圖、增益、天線尺寸的分目標(biāo)函數(shù)綜合而成,在建立綜合目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上,使用進(jìn)化算法,整個(gè)優(yōu)化過程以端到端的方式解決。

由于天線優(yōu)化通常建立在小數(shù)據(jù)集上,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在小數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)出過擬合;支持向量回歸不能作出不確定性估計(jì);而高斯過程可以基于樣本集估計(jì)出后驗(yàn)均值和方差[18]。為進(jìn)一步利用代理模型提供的信息,建立在高斯過程的基礎(chǔ)上,貝葉斯優(yōu)化的迭代過程可以定量地結(jié)合后驗(yàn)均值和方差,以平衡探索和利用[19]。文獻(xiàn)[20-22]中,貝葉斯優(yōu)化被用于模擬電路的優(yōu)化,相對(duì)于進(jìn)化算法,貝葉斯優(yōu)化表現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢。文獻(xiàn)[23]提出了使用貝葉斯優(yōu)化進(jìn)行湍流模擬的優(yōu)化。文獻(xiàn)[24-25]中,貝葉斯優(yōu)化被用于機(jī)器學(xué)習(xí)的模型和超參數(shù)的優(yōu)化。文獻(xiàn)[7]中,貝葉斯優(yōu)化被用于簡單的單目標(biāo)天線優(yōu)化。2020年,在機(jī)器學(xué)習(xí)會(huì)議NeurIPS舉辦的黑盒函數(shù)優(yōu)化競賽中,大量的研究工作都是基于貝葉斯優(yōu)化[26-30]。因此,本文在貝葉斯優(yōu)化的框架下,研究天線的快速優(yōu)化問題。

綜合上述工作,本文首先建立直接從天線參數(shù)到綜合目標(biāo)函數(shù)的映射關(guān)系,以實(shí)現(xiàn)簡潔的端到端優(yōu)化方式。其中,目標(biāo)函數(shù)綜合了分目標(biāo)和限制條件?；诮⒌木C合目標(biāo)函數(shù),使用高效的貝葉斯優(yōu)化進(jìn)行迭代。最后將提出的優(yōu)化算法用于圓極化貼片天線[6]和平面八木天線[9]的優(yōu)化。結(jié)果表明,本文算法的優(yōu)化結(jié)果和優(yōu)化速度都具有明顯的優(yōu)越性。

1 目標(biāo)函數(shù)建立

多目標(biāo)優(yōu)化問題可以表示為以下形式:

maximize (f1(x),f2(x),…,fm(x))
s.t.ci(x)>0, ?i∈1,2,…,Nc

(1)

式中:Nc為限制條件的個(gè)數(shù);m表示目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)。在多目標(biāo)優(yōu)化中,首先需要找到帕累托前沿,然后通過合適的度量找到最終的解。通常,天線的優(yōu)化問題可以抽象為上述形式。如果將多個(gè)分目標(biāo)和限制條件綜合為一個(gè)目標(biāo)函數(shù),優(yōu)化綜合的目標(biāo)函數(shù)相當(dāng)于考慮了限制條件情況下優(yōu)化各個(gè)分目標(biāo)[17],因此可以將總目標(biāo)函數(shù)定義為

F=ggn(Fgn)+gS11(FS11)+gwp(Fwp)+gAR(FAR)+…

(2)

式中:Fgn表示增益目標(biāo)函數(shù)；FS11表示S11目標(biāo)函數(shù)；Fwp表示天線位置關(guān)系目標(biāo)函數(shù)；FAR表示軸比目標(biāo)函數(shù)；g**表示對(duì)應(yīng)的分目標(biāo)函數(shù)再取復(fù)合函數(shù)。對(duì)各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)、限制條件取不同的復(fù)合函數(shù),使其對(duì)不同的取值區(qū)間有不同的敏感度,從而通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的優(yōu)化引導(dǎo)天線優(yōu)化的方向。

2 優(yōu)化算法

2.1 高斯過程

2.1.1 模型簡述

假設(shè)對(duì)于有限采樣{x1,x2,…,xn}∈xd,向量[f(x1),f(x2),…,f(xn)]T滿足多變量的高斯分布

(3)

式中:μ是一個(gè)n×1向量;K是一個(gè)n×n協(xié)方差矩陣。高斯過程可以完全被均值函數(shù)m(x)和協(xié)方差函數(shù)k(x1,x2)表示。式(3)中,均值向量μ由m(x)決定,μi=m(xi),?i∈1,2,…,n,協(xié)方差矩陣由協(xié)方差函數(shù)表示為Kij=k(xi,xj)。

均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)可以被看作是對(duì)未知單輸出函數(shù)y=f(x)的先驗(yàn)估計(jì)。高斯過程的協(xié)方差函數(shù)也被稱為高斯過程核函數(shù)。本文使用的核函數(shù)為Matérn,其形式為

(4)

核函數(shù)式(4)中的超參數(shù)可以通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)集的學(xué)習(xí)得到。

2.1.2 輸出預(yù)測

假設(shè)訓(xùn)練集為D={X,y},對(duì)于仿真軟件而言,其仿真結(jié)果為確定值,不需考慮觀測噪聲。其中X={x1,x2,…,xN},y={f(x1),f(x2),…,f(xN)}。給定一個(gè)新的輸入點(diǎn)x*,則y*=f(x*)和y可表示為聯(lián)合高斯分布:

(5)

式中:m=[m(x1),m(x2),…,m(xN)]T是一個(gè)N×1的均值向量,且有:

k(x*,X)=[k(x*,x1),k(x*,x2),…,k(x*,xN)]

(6)

k(X,x*)=k(x*,X)T

(7)

(8)

y*以y為條件的分布服從正態(tài)分布,其分布可以表示為

(9)

(10)

式(10)給出了輸入點(diǎn)x*對(duì)應(yīng)的輸出預(yù)測均值和方差。

2.1.3 超參數(shù)學(xué)習(xí)

高斯過程的均值函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)含有超參數(shù),在采樣數(shù)據(jù)集的基礎(chǔ)上使用最大似然估計(jì)法學(xué)習(xí)超參數(shù),提升對(duì)未知輸入預(yù)測的準(zhǔn)確度。似然的表達(dá)式為

(11)

將其轉(zhuǎn)化為負(fù)對(duì)數(shù)邊緣似然:

(12)

對(duì)其求解最小化,得到高斯過程的超參數(shù)θ。

2.2 貝葉斯優(yōu)化

貝葉斯優(yōu)化[19]由代理模型和獲得函數(shù)兩大部分構(gòu)成。在高斯過程建立代理模型后,獲得函數(shù)被用來進(jìn)行迭代。

2.2.1 獲得函數(shù)

本文使用的獲得函數(shù)為置信上界(upper confidence bound, UCB)。假設(shè)已采樣t-1次,得到數(shù)據(jù)集Dt-1={(x1,y1),(x2,y2),…,(xt-1,yt-1)}。則有

αUCB(x;θ,Dt-1)=μ(x;θ,Dt-1)+κσ(x;θ,Dt-1)

(13)

式中:κ控制迭代過程中探索與利用之間的平衡,κ越小,越偏向于利用;κ越大,越偏向于探索;θ為高斯過程的超參數(shù)。通過最大化獲得函數(shù),找到下一個(gè)需要探索的點(diǎn)。

2.2.2 優(yōu)化過程

貝葉斯優(yōu)化流程如圖1所示,在優(yōu)化過程中,首先隨機(jī)采樣一部分樣本作為初始樣本集;在每次迭代過程中根據(jù)樣本集對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練;求解獲得函數(shù)最大化找到下一個(gè)需要迭代的點(diǎn);代入仿真軟件進(jìn)行電磁仿真;將仿真結(jié)果加入樣本集;如果滿足終止條件則結(jié)束。

圖1 貝葉斯優(yōu)化流程圖Fig.1 Flowchart of Bayesian optimization

在圖2所示的算例中,初始隨機(jī)采樣4個(gè)函數(shù)值,通過高斯過程根據(jù)樣本集對(duì)待優(yōu)化函數(shù)做出擬合,圖2陰影部分表示估計(jì)的均值與±σ的范圍,在代理模型的基礎(chǔ)上使用獲得函數(shù)找出下一個(gè)需要探索的點(diǎn)。在第6次迭代中,找到了幾乎是待優(yōu)化函數(shù)的最優(yōu)解。

3 優(yōu)化算法在天線中的驗(yàn)證

本節(jié)分別采用一個(gè)圓極化貼片天線[6]和一個(gè)平面八木天線[9]驗(yàn)證前文所述的優(yōu)化算法,針對(duì)相同的問題對(duì)比本文提出的優(yōu)化算法與引用文獻(xiàn)中的優(yōu)化算法,算法的比較主要體現(xiàn)在簡潔程度、優(yōu)化結(jié)果和優(yōu)化速度3個(gè)方面。本文使用計(jì)算機(jī)配置為AMD 12-Core-3.8 GHz處理器, 64 GB內(nèi)存,Windows 10操作系統(tǒng);使用的仿真軟件為Ansys-Ansoft HFSS 2019;編程語言為Python3.7;優(yōu)化算法代碼基于文獻(xiàn)[31]。

3.1 圓極化貼片天線的優(yōu)化

如圖3所示,此天線[6]通過同軸饋電。介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為εr=1.56,損耗角正切為tanδ=0.012,厚度為h=3.94 mm。分別在1.563 42 GHz、1.575 42 GHz和1.587 42 GHz頻率下進(jìn)行仿真求解。

圖3 圓極化貼片天線模型Fig.3 Model of circular polarization patch antenna

在文獻(xiàn)[6]中,優(yōu)化目標(biāo)為

(14)

式中:Gainmin為3個(gè)頻點(diǎn)中增益最小值;ARmax為仿真最大軸比;ARlim為要求軸比上限(-3 dB);S11max為仿真最大S11;S11lim為要求S11上限(-10 dB)。優(yōu)化參數(shù)(單位為mm)及優(yōu)化區(qū)間為

(15)

在文獻(xiàn)[6]中,作者用Kriging、徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF)、支持向量回歸做代理模型集,迭代過程中對(duì)采樣點(diǎn)的選取使用了基于提升概率(hypervolume-based probability of improvement, PoI)和可行性概率(probability of feasibility, PoF)的方法,迭代后得到帕累托前沿,其包含范圍為2.81 dB≤AR≤3 dB、4.75 dB≤Gain≤4.85 dB、-30 dB≤S11≤-10 dB。再用超體積度量演進(jìn)(evolution of the hypervolume metric, EoHE)找到其中一個(gè)最優(yōu)解(AR=2.83 dB、Gain=4.82 dB、S11=-15.9 dB)。文中用了132個(gè)初始點(diǎn),250次迭代。

在本文中,將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為

f(xpatch)=10(3-ARmax)+0.2(-10-S11max)+
(Gainmin-4)

(16)

式中:xpatch表示為待優(yōu)化的參數(shù)組合。為提高對(duì)ARmax的敏感性,將其對(duì)應(yīng)的系數(shù)設(shè)置的為10;其次將Gainmin部分的對(duì)應(yīng)系數(shù)設(shè)置為1;相對(duì)而言,S11max最容易被優(yōu)化到-10 dB以下,將其對(duì)應(yīng)的系數(shù)設(shè)置為0.2。為驗(yàn)證高斯過程的擬合效果,隨機(jī)生成55個(gè)樣本點(diǎn),隨機(jī)選擇其中50個(gè)樣本點(diǎn)作為訓(xùn)練集,剩余5個(gè)樣本作為測試集,其擬合值和真實(shí)值的對(duì)比如表1所示。在貝葉斯優(yōu)化中,將初始化采樣數(shù)量設(shè)為50,將迭代步數(shù)設(shè)為200。將優(yōu)化算方法重復(fù)3次得到圖4,優(yōu)化結(jié)果總結(jié)如表2所示。

表1 高斯過程在圓極化貼片天線上的擬合

圖4 圓極化貼片天線目標(biāo)函數(shù)取值隨時(shí)間變化Fig.4 Objective function value changing with time consumption in the circular polarization patch antenna

表2 圓極化貼片天線優(yōu)化結(jié)果

從表1可以看出,高斯過程有效地預(yù)測了待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。從表2可以看出,3次優(yōu)化均得到了優(yōu)于文獻(xiàn)[6]的結(jié)果;雖然初始隨機(jī)樣本點(diǎn)為50,迭代次數(shù)為200,但是可以看出,大約只用到三分之一的樣本數(shù)就達(dá)到了優(yōu)于文獻(xiàn)[6]的優(yōu)化結(jié)果;優(yōu)化算法本身耗時(shí)36 s;而且,整個(gè)優(yōu)化過程以端到端的方式實(shí)現(xiàn)。

3.2 平面八木天線的優(yōu)化

如圖5所示,平面八木天線由微帶巴倫、共面饋電帶線、有源振子和引向器組成。介質(zhì)為厚度0.635 mm的Rogers RT6010,金屬化為35 μm的銅。待優(yōu)化的參數(shù)為x=[s1,s2,v1,v2,u1,u2,u3,u4]T,其他參數(shù)滿足w1=w3=w4=0.6,w2=1.2,u5=1.5,s3=3.0,v3=17.5(單位為mm)。在文獻(xiàn)[9]中,優(yōu)化目標(biāo)為

(17)

圖5 平面八木天線模型Fig.5 Model of planar Yagi antenna

優(yōu)化參數(shù)(單位為mm)的范圍為

(18)

文獻(xiàn)[9]使用了Kriging和Moea的算法。在頻段內(nèi)取多個(gè)頻點(diǎn),針對(duì)每個(gè)頻點(diǎn)建立代理模型;由于天線的設(shè)計(jì)參數(shù)空間維度較高,在部分代理模型的建立過程中,整個(gè)結(jié)構(gòu)被分為天線部分和巴倫饋電部分進(jìn)行仿真和建模。經(jīng)過約47 h的優(yōu)化得到帕累托前沿如圖6所示。

圖6 平面八木天線對(duì)比文獻(xiàn)[9]中的優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Optimized results of planar Yagi antenna in [9]

在本文中,將其轉(zhuǎn)化為綜合的單目標(biāo)優(yōu)化的問題:

f(xYagi)=fs(-10-max(S11(f))+
7(mean(Gain(f))-4)

(19)

(20)

在這里,將fs設(shè)置為分段線性函數(shù),使其對(duì)不同的max(S11(f))取值范圍有不同的敏感度,當(dāng)max(S11(f))低于-15 dB后,繼續(xù)降低max(S11(f))帶來的收益非常小,此時(shí)應(yīng)將更多的優(yōu)化重心放到天線增益上。

在本文中,將整個(gè)天線作為一個(gè)整體進(jìn)行仿真和優(yōu)化。為驗(yàn)證高斯過程的擬合效果,隨機(jī)生成105個(gè)樣本點(diǎn),隨機(jī)選擇其中100個(gè)樣本點(diǎn)作為訓(xùn)練集,剩余5個(gè)樣本作為測試集,其擬合值和真實(shí)值的對(duì)比如表3所示。在貝葉斯優(yōu)化中,將初始化樣本集設(shè)為100,優(yōu)化迭代步數(shù)設(shè)為200。將優(yōu)化算法重復(fù)運(yùn)行3次,優(yōu)化過程如圖7所示。每一次的優(yōu)化結(jié)果總結(jié)如表4所示。

表3 高斯過程在平面八木天線上的擬合

圖7 平面八木天線目標(biāo)函數(shù)取值隨時(shí)間變化Fig.7 Objective function value changing with time consumption in planar Yagi antenna optimization

表4 平面八木天線優(yōu)化結(jié)果

從表3可以看出,高斯過程有效地預(yù)測了待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。從表4可以看出,本文優(yōu)化算法得到的效果優(yōu)于文獻(xiàn)[9],盡管在圖6中,最優(yōu)平均增益達(dá)到了約6.52 dB,但是其S11值明顯不符合要求。在本文中,天線整個(gè)優(yōu)化耗時(shí)約為16.7 h,優(yōu)化算法本身耗時(shí)79 s;原文獻(xiàn)對(duì)頻段范圍內(nèi)多個(gè)頻點(diǎn)分別建立代理模型,由于優(yōu)化參數(shù)空間(8維)過大,原文獻(xiàn)在部分代理模型建立中采取了饋電部分和輻射部分分開仿真的做法,而在本文中,整個(gè)優(yōu)化過程以端到端的方式實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié) 論

本文首先使用端到端的方法建立天線優(yōu)化的綜合目標(biāo)函數(shù),精簡后續(xù)優(yōu)化過程。在綜合目標(biāo)函數(shù)建立的基礎(chǔ)上,提出使用貝葉斯優(yōu)化算法對(duì)天線進(jìn)行優(yōu)化。將優(yōu)化算法用在圓極化貼片天線和平面八木天線上進(jìn)行了驗(yàn)證。相較于對(duì)比文獻(xiàn),本文提出的優(yōu)化算法有更好優(yōu)化結(jié)果、更快的優(yōu)化速度,且優(yōu)化過程簡潔,以端到端的方式實(shí)現(xiàn)。盡管本文使用綜合目標(biāo)函數(shù)方法定義出的目標(biāo)函數(shù)并非理論上最優(yōu),但是通過3個(gè)天線算例的仿真和對(duì)比,表明與現(xiàn)有方法相比,其優(yōu)化結(jié)果具有明顯的優(yōu)越性。