江蘇省蘇州市吳中區(qū)郭巷實(shí)驗(yàn)小學(xué) 張麗娟

《三角形的三邊關(guān)系》是在學(xué)生初步了解三角形定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形邊的特征。受已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的支撐，學(xué)生對(duì)于怎樣的三條線段才能圍出三角形是模糊的，需要通過(guò)觀察、操作、對(duì)比、驗(yàn)證、歸納等探索過(guò)程逐步去把握本質(zhì)。而在這一探索過(guò)程中，對(duì)于兩邊之和等于第三邊的這種情況的判斷，無(wú)論是在得出了三邊關(guān)系之前研究還是之后研究，都不可避免會(huì)受操作思維的影響。同樣的，掌握了三角形三邊關(guān)系后，更進(jìn)一步對(duì)于“只要兩條較短的邊的長(zhǎng)度之和大于最長(zhǎng)邊”也就符合了任意兩邊之和大于第三邊的推導(dǎo)，對(duì)四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是比較抽象的。因此，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中需要學(xué)生帶著問(wèn)題，在活動(dòng)操作中將數(shù)和形有機(jī)融合、借形頓悟、以數(shù)釋形，才能抓住圖形的本質(zhì)，增進(jìn)對(duì)三角形三邊關(guān)系的本質(zhì)理解。

一、實(shí)驗(yàn)操作，促進(jìn)理解

蘇教版四年級(jí)上冊(cè)學(xué)生已經(jīng)知道了“兩點(diǎn)之間線段最短”，那么為什么不能直接利用這一結(jié)論讓學(xué)生理解“三角形任意兩邊長(zhǎng)度和大于第三邊”？看似緊密聯(lián)系，學(xué)生接受起來(lái)簡(jiǎn)單易懂，但他們往往難以洞悉結(jié)論背后隱藏的數(shù)學(xué)推理。因此，在教學(xué)過(guò)程中得還原數(shù)學(xué)的思考過(guò)程，巧妙地化數(shù)為形、以形觀數(shù)，將枯燥的推理形象化、直觀化。

本節(jié)課，從學(xué)生動(dòng)手操作、收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、觀察比較起始，通過(guò)任意選三根不同長(zhǎng)度的小棒圍三角形，引導(dǎo)學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)并判斷“能否圍成三角形”，再觀察三根小棒的長(zhǎng)度和圍的結(jié)果，說(shuō)說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)。

【教學(xué)片段一】

談話：3cm、4cm、8cm這三根小棒大家一致認(rèn)為是圍不成的，想一想：究竟是什么原因圍不成三角形呢？

學(xué)生交流：黃色和藍(lán)色小棒的長(zhǎng)度和小于紅色小棒的長(zhǎng)度。

談話：黃色和藍(lán)色小棒的長(zhǎng)度和小于第三根小棒，三根小棒不能首尾相接，所以不能圍成三角形。（課件演示）

提問(wèn)：你能用一個(gè)式子表示圍不成三角形的原因嗎？（結(jié)合回答板書“3+4＜8”）

學(xué)生通過(guò)親身體驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“3厘米、4厘米、8厘米”這三根小棒不能圍成三角形，雖然只是學(xué)生操作的直觀感受，卻為學(xué)生探究三角形三邊關(guān)系提供了方向支持。進(jìn)而產(chǎn)生質(zhì)疑“為什么圍不成”，由此展開(kāi)思考。這些直觀的表象和感受為學(xué)生進(jìn)一步探索知識(shí)積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為進(jìn)一步理解三角形三邊的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。

二、沖突思辨，深入理解

【教學(xué)片段二】

談話：3cm、5cm、8cm這三根小棒有的小組認(rèn)為可以圍成，有的小組認(rèn)為不可以圍成，認(rèn)為不能圍成的，你們是怎么想的？

表4和表5是實(shí)證結(jié)果的穩(wěn)健性檢驗(yàn)。本文根據(jù)人均工資水平來(lái)判斷哪些企業(yè)受到了最低工資規(guī)定的影響。據(jù)Draca 等(2005，2011)[18,19]以及Rebecca Riley等(2017)[20]的研究，最有可能受到最低工資規(guī)定影響的是那些勞動(dòng)力成本較低的企業(yè)。雖然無(wú)法基于本文的研究樣本對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)(需要企業(yè)員工個(gè)體工資數(shù)據(jù)，本文樣本并不具備)，但是根據(jù)穩(wěn)健性檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，這種判斷方式具有一定的合理性。

學(xué)生交流：兩根小棒的長(zhǎng)度和正好等于最長(zhǎng)的小棒，那么這三根小棒就會(huì)重合在一起。

談話：你能借用生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步說(shuō)明為什么圍不成三角形嗎？

生1：彎路肯定比直路長(zhǎng)。

生2：兩根小棒加起來(lái)等于下面的小棒，那么直路和彎路肯定會(huì)重合在一起。

生3：既然重合在一起了，不能圍成一個(gè)三角形。

小結(jié)：是的，當(dāng)兩根小棒的長(zhǎng)度和等于第三根小棒時(shí)，它們首尾相接時(shí)必定會(huì)重合。（課件動(dòng)態(tài)演示）

在探究3厘米、5厘米、8厘米這三根小棒能否圍成三角形時(shí)，為了減少圍時(shí)產(chǎn)生的誤差，很多課例為選取合適的實(shí)驗(yàn)材料動(dòng)足了腦筋，但始終不能保證每個(gè)孩子在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中都能避免誤差。

按照教材的設(shè)計(jì)意圖，在剛開(kāi)始的教學(xué)過(guò)程中，我遇到了這樣幾種情況。第一，通過(guò)前面的探索、驗(yàn)證，學(xué)生已經(jīng)知道“三角形任意兩邊之和一定要大于第三邊才能圍成三角形”，由此學(xué)生順理成章地想到“兩邊之和等于第三邊肯定圍不成三角形”。既然規(guī)律已經(jīng)得出并得到了驗(yàn)證，再要求學(xué)生想象、證明，意義何在？第二，為了避免操作的影響，教學(xué)中讓學(xué)生通過(guò)想象理解“當(dāng)兩邊之和等于第三邊時(shí)，三邊正好重合，是圍不成三角形的”。但實(shí)際課堂中還是有部分學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑，并生出了想動(dòng)手操作來(lái)證實(shí)的欲望。繞開(kāi)錯(cuò)誤就是繞開(kāi)認(rèn)知過(guò)程的豐富性，既然始終不能讓每個(gè)學(xué)生信服，為什么不在一開(kāi)始就將問(wèn)題暴露出來(lái)呢？

因此，我在之后的教學(xué)過(guò)程中做了調(diào)整，讓學(xué)生仍然經(jīng)歷圍的過(guò)程，產(chǎn)生矛盾沖突，通過(guò)思辯、想象、說(shuō)理，結(jié)合公理“兩點(diǎn)之間線段最短”與生活中的路線問(wèn)題，通過(guò)兩點(diǎn)之間“彎路”肯定比“直路”長(zhǎng)的常識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生溝通兩根較短小棒的長(zhǎng)度和就相當(dāng)于“彎路”，較長(zhǎng)的小棒長(zhǎng)度就相當(dāng)于“直路”。如果兩邊之和等于第三邊，那就必定是重合在一起，是拱不起來(lái)的。以此讓學(xué)生深刻感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的探索不僅需要舉例驗(yàn)證，也需要說(shuō)理驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)操作可以輔助我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但同時(shí)也不能忘記用數(shù)學(xué)的眼光更深入地思考問(wèn)題，而這兩者本身并不矛盾。

三、激發(fā)需求，主動(dòng)理解

【教學(xué)片段三】

提問(wèn)：那能圍成三角形的三根小棒的長(zhǎng)度間又有什么關(guān)系呢？

學(xué)生交流：兩邊之和大于第三邊。

追問(wèn)：你指的是哪兩條邊與哪條邊相比？

生1交流。

追問(wèn)：還有補(bǔ)充嗎？

生2補(bǔ)充。

提問(wèn)：你能用式子表示出你的發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生交流：3＋4＞5，3＋5＞4，4＋5＞3。

追問(wèn)：在這個(gè)三角形中，你也能得出這樣的式子嗎？

學(xué)生交流：4＋5＞8，4＋8＞5，5＋8＞4。

提問(wèn)：觀察這兩組式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生交流：能圍成三角形的三根小棒，任意兩根小棒的長(zhǎng)度之和都大于第三根小棒。

提問(wèn)：是不是所有的三角形三邊之間都有這樣的規(guī)律呢？我們需要進(jìn)一步驗(yàn)證！怎樣驗(yàn)證呢？

通過(guò)前面兩種情況的認(rèn)知與理解，學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)需求與欲望，即究竟“怎樣的三根小棒才能圍成三角形”？接下來(lái)的探索即是學(xué)生的“再創(chuàng)造”過(guò)程。同時(shí)，“能圍成三角形的三根小棒長(zhǎng)度間有什么關(guān)系”是本節(jié)課學(xué)生理解三角形三邊關(guān)系所需要探索的核心問(wèn)題。但在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生往往不能主動(dòng)想到只有當(dāng)三根小棒中任意兩根長(zhǎng)度的和大于第三根時(shí)，才能圍成一個(gè)三角形。可能一開(kāi)始學(xué)生考慮的都是兩根較短的小棒長(zhǎng)度大于較長(zhǎng)的小棒就能圍出三角形，但此時(shí)的認(rèn)知恰巧是因?yàn)椤皟筛^短邊長(zhǎng)度和大于較長(zhǎng)邊也就符合任意兩邊之和大于第三邊”產(chǎn)生的錯(cuò)誤表象，沒(méi)有真正意義上理解什么是任意兩邊之和大于第三邊。因此，在組織學(xué)生討論、交流時(shí)，可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生“你發(fā)現(xiàn)這兩根小棒的長(zhǎng)度和大于這一根小棒，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎”？引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)：三角形任意兩邊的長(zhǎng)度和大于第三邊。進(jìn)而再產(chǎn)生質(zhì)疑“是不是所有的三角形三邊之間都有這樣的關(guān)系呢”？這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)一步產(chǎn)生探索需求，在眾多的實(shí)例中順理成章地得出結(jié)論。

用“數(shù)”分析“形”，使直觀的圖形更形象，凸顯圖形的本質(zhì)特征，又促進(jìn)學(xué)生有效理解知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的條理性和嚴(yán)密性。

四、全面認(rèn)知，有效理解

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，往往還會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：根據(jù)三邊數(shù)據(jù)，學(xué)生觀察、比較、思考后，部分學(xué)生很自然地歸納出“三角形兩短邊之和大于最長(zhǎng)邊就能圍成三角形”這個(gè)結(jié)論。如果直接利用這個(gè)結(jié)論繼續(xù)下面的學(xué)習(xí)活動(dòng)，不向?qū)W生揭示“任意”也沒(méi)帶來(lái)什么學(xué)習(xí)上的困擾和麻煩。那么，在這樣的結(jié)論出來(lái)后，是否一定要再引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察其他兩邊和第三邊的關(guān)系，從而得出“三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和大于第三邊”，突出“任意”一詞？況且，學(xué)生利用自己歸納出的結(jié)論也能比較順利地開(kāi)展接下去的學(xué)習(xí)活動(dòng)。教材何不遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)的演進(jìn)邏輯，直接出示“三角形兩短邊之和大于長(zhǎng)邊”這一結(jié)論，而非要舍近求遠(yuǎn)、棄易求難？

隨著教學(xué)研究的深入，我逐步感悟到：“三角形兩短邊之和大于長(zhǎng)邊”這種說(shuō)法有它的局限性，如等腰三角形、等邊三角形，而數(shù)學(xué)講究知識(shí)的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性。另外，這兩者本身并不矛盾與沖突，“三角形兩短邊之和大于長(zhǎng)邊”，也就保證了“三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和大于第三邊”，即：短邊＋長(zhǎng)邊＞短邊。反之，理解了“三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和大于第三邊”，就能發(fā)現(xiàn)判斷時(shí)只要看“兩短邊之和大于長(zhǎng)邊”即可。因此，在練習(xí)中則需要引導(dǎo)學(xué)生把“任意兩邊之和大于第三邊”延伸到“只要判斷兩條短邊之和大于第三邊”上。當(dāng)然，這里的延伸并不是回到學(xué)生認(rèn)知的原初，而恰恰是認(rèn)知的升華，是進(jìn)一步邏輯推理的呈現(xiàn)。

總之，一節(jié)數(shù)學(xué)課應(yīng)最大限度地引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)全過(guò)程，在知識(shí)的探索過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。