田 磊 董希旺 ,2 趙啟倫 李清東 呂金虎 ,2 任 章 ,2

集群系統(tǒng)中個(gè)體之間通過(guò)局部的感知和簡(jiǎn)單的行為交互,可以在宏觀上涌現(xiàn)出更為復(fù)雜與高級(jí)的群體行為,即集群智能.生物界中有很多集群智能的例子:鳥(niǎo)群利用上洗氣流編隊(duì)飛行,可以降低飛行阻力,實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離大范圍遷徙;狼群通過(guò)協(xié)同圍捕,利用時(shí)空優(yōu)勢(shì),能夠以弱勝?gòu)?qiáng),捕食大型獵物;蟻群通過(guò)協(xié)同搬運(yùn),可以充分彌補(bǔ)個(gè)體力量薄弱的劣勢(shì),以小博大,提高覓食效率.軍事領(lǐng)域也有很多通過(guò)集群協(xié)同方式提升作戰(zhàn)效能的例子:多個(gè)微納衛(wèi)星通過(guò)協(xié)同可以構(gòu)建一個(gè)虛擬衛(wèi)星,實(shí)現(xiàn)深空探測(cè)及高精度三維成像等復(fù)雜功能,完成單個(gè)衛(wèi)星無(wú)法完成的任務(wù);多架低成本無(wú)人機(jī)通過(guò)協(xié)同方式可以實(shí)施蜂群作戰(zhàn)模,使敵方高價(jià)值防空體系的火力通道陷入飽和,進(jìn)而大幅度提高突防能力、毀傷能力和作戰(zhàn)效費(fèi)比.正是因?yàn)榧褐悄芸梢詫?shí)現(xiàn)上述1+1?2的效果,近年來(lái)備受學(xué)者關(guān)注.編隊(duì)控制作為集群智能的重要基礎(chǔ)性研究分支,也涌現(xiàn)出了較為豐富的研究成果.早期的編隊(duì)控制方法主要是集中式,即存在中心節(jié)點(diǎn),且對(duì)通信拓?fù)湟蟾?隨著一致性理論的發(fā)展,分布式編隊(duì)控制方法以其不依賴(lài)中心節(jié)點(diǎn)、具備良好的可擴(kuò)展性等優(yōu)點(diǎn),取得了長(zhǎng)足的發(fā)展[1].研究的方向從固定編隊(duì)[2]擴(kuò)展到時(shí)變編隊(duì)[3?4],研究的內(nèi)容從普通編隊(duì)控制[5?6]發(fā)展到編隊(duì)跟蹤控制[7?8]、編隊(duì)合圍控制[9?10]等,研究的模型也逐漸豐富,包括了線性系統(tǒng)[11]、非線性系統(tǒng)[12?13]、同構(gòu)系統(tǒng)[14]、異構(gòu)系統(tǒng)[15?16]等,研究的通信拓?fù)湟埠w無(wú)向拓?fù)?、有向拓?fù)洹⑦B續(xù)性拓?fù)?、非連續(xù)性拓?fù)?、拓?fù)涔潭ā⑼負(fù)淝袚Q等[17?20].不僅如此,研究的編隊(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題也從漸近穩(wěn)定問(wèn)題逐漸發(fā)展到有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題甚至固定時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題[21?22].隨著研究的深入,如何盡可能減少編隊(duì)控制所需的全局信息成為分布式控制的研究重點(diǎn),如文獻(xiàn)[3]、[8]、[10]、[17]、[19]中設(shè)計(jì)控制協(xié)議參數(shù)時(shí)需要計(jì)算與通信拓?fù)湎嚓P(guān)的拉普拉斯矩陣的特征值,文獻(xiàn)[16]、[17]、[19]、[21]中構(gòu)造控制協(xié)議時(shí)需要用到領(lǐng)導(dǎo)者輸入的上界值.此外,文獻(xiàn)[2?22]中時(shí)變編隊(duì)函數(shù)是需要設(shè)定的全局信息,也并非分布式實(shí)時(shí)可調(diào)控的.

基于上述分析可知,編隊(duì)控制方法在理論上尚有許多可以研究和改進(jìn)的地方.同時(shí),由于理論研究通常受實(shí)際應(yīng)用驅(qū)動(dòng),根據(jù)不同的任務(wù)場(chǎng)景,實(shí)際應(yīng)用中期望集群系統(tǒng)的智能體模型既可以是同構(gòu)的(無(wú)人機(jī)蜂群作戰(zhàn)任務(wù)場(chǎng)景),也可以是異構(gòu)的(空地/空海協(xié)同搜索任務(wù)場(chǎng)景),而考慮到強(qiáng)對(duì)抗博弈和強(qiáng)電磁干擾帶來(lái)的影響,還期望通信拓?fù)涫怯邢蚯袚Q的,并且實(shí)際應(yīng)用中陣風(fēng)、紊流等未知外部擾動(dòng)也是不可忽略的因素.需要指出的是,在研究編隊(duì)跟蹤問(wèn)題時(shí),跟隨者跟蹤的領(lǐng)導(dǎo)者通常分為合作目標(biāo)和非合作目標(biāo).所謂合作目標(biāo)是指領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間存在協(xié)同合作關(guān)系,通常情況下,領(lǐng)導(dǎo)者為己方可控目標(biāo),其控制輸入大多是已知可獲取的.所謂非合作目標(biāo)是指領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間不存在協(xié)同合作關(guān)系,通常情況下,領(lǐng)導(dǎo)者為非己方不可控目標(biāo),其控制輸入大多是未知不易獲取的.經(jīng)過(guò)文獻(xiàn)調(diào)研發(fā)現(xiàn),目前尚無(wú)研究成果能夠解決高階異構(gòu)集群系統(tǒng)在領(lǐng)導(dǎo)者存在已知或未知控制輸入、領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者均存在未知擾動(dòng)、有向通信拓?fù)浯嬖谇袚Q等多種因素并存的情況下的輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題.

受上述理論研究和工程應(yīng)用價(jià)值的激勵(lì),本文研究了高階異構(gòu)集群系統(tǒng)的時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題.主要?jiǎng)?chuàng)新有以下兩點(diǎn):1)集群系統(tǒng)中所有智能體均采用異構(gòu)模型,同時(shí)研究了領(lǐng)導(dǎo)者存在已知和未知控制輸入兩種情況.需要說(shuō)明的是,考慮到異構(gòu)集群系統(tǒng)中智能體的動(dòng)力學(xué)模型可能完全不同,當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入是已知時(shí),可以在領(lǐng)導(dǎo)者層和跟隨者層構(gòu)造對(duì)自身狀態(tài)的觀測(cè)器,基于該觀測(cè)器構(gòu)造的控制協(xié)議不需要利用領(lǐng)導(dǎo)者的全部狀態(tài),只需要利用領(lǐng)導(dǎo)者的輸出信息.而在領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入是未知時(shí),無(wú)法通過(guò)領(lǐng)導(dǎo)者的輸出信息得到其全部狀態(tài)信息,進(jìn)而需要某個(gè)跟隨者能夠獲取領(lǐng)導(dǎo)者的全部狀態(tài)信息.2) 在上述領(lǐng)導(dǎo)者存在已知或未知控制輸入的情況下,進(jìn)一步考慮領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者存在未知擾動(dòng)以及有向通信拓?fù)浯嬖谇袚Q等多種因素并存對(duì)集群系統(tǒng)的影響,結(jié)合觀測(cè)器理論、自適應(yīng)理論和滑?？刂评碚?構(gòu)造了完全分布式的控制協(xié)議,所有跟隨者均不需要獲取領(lǐng)導(dǎo)者輸入的上界值,也不需要利用與通信拓?fù)湎嚓P(guān)的拉普拉斯矩陣的特征值,此外,協(xié)議中還針對(duì)時(shí)變編隊(duì)函數(shù)設(shè)計(jì)了分布式觀測(cè)器,使其不再是全局信息,成為分布式實(shí)時(shí)可調(diào)控的.由于本文研究的集群系統(tǒng)均采用有向通信拓?fù)?因此極大降低了集群系統(tǒng)對(duì)通信帶寬需求.綜上所述,本文研究的內(nèi)容兼具理論研究與工程應(yīng)用價(jià)值.考慮到有人?無(wú)人機(jī)協(xié)同飛行(領(lǐng)導(dǎo)者為合作目標(biāo),見(jiàn)圖1)和空地協(xié)同圍捕打擊(領(lǐng)導(dǎo)者為非合作目標(biāo),見(jiàn)圖2)等任務(wù)場(chǎng)景下,集群系統(tǒng)中個(gè)體間動(dòng)力學(xué)模型差異較大即異構(gòu)模型,同時(shí)強(qiáng)電磁干擾時(shí)的通信限制和強(qiáng)對(duì)抗博弈時(shí)外界環(huán)境的不確定干擾為集群系統(tǒng)的協(xié)同控制帶來(lái)了一定的困難,因此本文研究的方法能夠?yàn)閷?shí)戰(zhàn)場(chǎng)景下的分布式 協(xié)同控制提供有力的理論支撐和技術(shù)保障.

圖1 有人?無(wú)人飛行器協(xié)同飛行示意圖Fig.1 The illustration of cooperative flight strategy for manned and unmanned aerial vehicles

圖2 空地協(xié)同圍捕目標(biāo)示意圖Fig.2 The illustration of hunting target by air-ground collaboration

1 預(yù)備知識(shí)和問(wèn)題描述

1.1 圖論知識(shí)

集群系統(tǒng)的通信拓?fù)潢P(guān)系對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)即為圖論知識(shí)中關(guān)于拉普拉斯矩陣的相關(guān)知識(shí).假設(shè)集群系統(tǒng)中含有q個(gè)智能體,智能體g和智能體k之間存在著從k到g的有向通信,則wgk=1,否則wgk=0.定義鄰接矩陣為W=[wgk]∈Rq×q,定義度矩陣為D=,g=1,2,···,q},定義拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)=D?W.如果在集群系統(tǒng)的通信拓?fù)渲?某個(gè)智能體r到其他所有智能體都存在至少一條有向連接,則稱(chēng)集群系統(tǒng)的通信拓?fù)渲写嬖谝粋€(gè)以 智能體r為根節(jié)點(diǎn)的生成樹(shù).

1.2 問(wèn)題描述

假設(shè)集群系統(tǒng)中含有 1 個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和N個(gè)跟隨者,不失一般性,所有智能體采用如下異構(gòu)模型:

通過(guò)上述異構(gòu)模型可知,集群系統(tǒng)中所有智能體的動(dòng)力學(xué)模型可以完全不同.為實(shí)現(xiàn)集群系統(tǒng)的輸出編隊(duì),假定所有智能體的輸出具有相同的維度,即pi=p(i=1,2,···,1+N).同時(shí)為方便后續(xù)表達(dá),領(lǐng)導(dǎo)者標(biāo)號(hào)為1,跟隨者標(biāo)號(hào)為2,3,···,1+N.

假設(shè) 1[16].集群系統(tǒng)的通信拓?fù)浒粋€(gè)以領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點(diǎn)的生成樹(shù),且領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間的通信方式是單向的,方向是從領(lǐng)導(dǎo)者到跟隨者,不同跟隨者之間的通信方式可以是單向的,也可以是雙向的.

定義集群系統(tǒng)的通信拓?fù)湓诠潭〞r(shí)間間隔內(nèi)保持不變,該時(shí)間間隔被稱(chēng)為駐留時(shí)間,記為α,其最小值被稱(chēng)為最小駐留時(shí)間,記為αmin.定義t=t0=0為初始時(shí)刻,t=tβ(β=0,1,2,···) 為通信拓?fù)浒l(fā)生變化的時(shí)刻,稱(chēng)為切換時(shí)刻.如果假設(shè)1 成立,則系統(tǒng)在 [tβ,tβ+1)內(nèi)的拉普拉斯矩陣Lβ有如下形式:

為了前后表達(dá)方式的連貫性,后續(xù)帶有上標(biāo)β的變量都表示其位于由區(qū)間 [tβ,tβ+1) 定義的時(shí)間間隔內(nèi).

假設(shè) 2.矩陣方程組(3)存在對(duì)解矩陣 (Rg,Sg),同時(shí)矩陣方程(4)存在解矩陣Tg.

其中,g=2,3,···,1+N.

注1.假設(shè)2 要求方程(3)和(4)有解,其可解性是異構(gòu)集群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)輸出編隊(duì)跟蹤的必要條件,其物理意義是領(lǐng)導(dǎo)者的已知或未知輸入能夠通過(guò)跟隨者的控制輸入ug(t) 進(jìn)行補(bǔ)償.該假設(shè)與文獻(xiàn)[16]中的假設(shè)3 和假設(shè)4 類(lèi)似,由參考文獻(xiàn)[16]中的注釋3 可知,式(3)的可解性是異構(gòu)集群系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)輸出調(diào)節(jié)的必要條件[23?27],式(4)的可解性類(lèi)似采用魯棒控制方法時(shí)匹配條件[28?29],因此假設(shè)2 是合理的.

假設(shè) 3.所有智能體的控制輸入和未知擾動(dòng)是有界的,即滿足‖ui‖1≤χ,‖di‖1≤,χ和為未知正實(shí)數(shù),同時(shí)未知擾動(dòng)滿足limt→∞di(t)存在.

注2.實(shí)際物理系統(tǒng)中智能體的控制輸入和未知擾動(dòng)是有界的,但是其界限值通常不易獲取,假設(shè)3 要求擾動(dòng)的極限存在是由于下文中設(shè)計(jì)控制協(xié)議時(shí)借鑒了文獻(xiàn)[30]中擾動(dòng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法,此假設(shè)為文獻(xiàn)[30]中擾動(dòng)觀測(cè)器能夠收斂的前提條件.需要說(shuō)明的是,針對(duì)不同于假設(shè)2 的擾動(dòng)形式,下文中的注釋4 給出了相應(yīng)改進(jìn)方案,因此假設(shè)3是合理的.

定義 1.如果通信拓?fù)淙缂僭O(shè)1 所述,且對(duì)于任意有界初始狀態(tài),等式(5)成立,則稱(chēng)異構(gòu)集群系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)有向拓?fù)淝袚Q條件下的輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤.

其中,g=2,3,···,1+N,zg(h(t)) 為由h(t) 定義的時(shí)變向量,可以表征跟隨者之間輸出編隊(duì)的隊(duì)形以及整個(gè)編隊(duì)隊(duì)形與領(lǐng)導(dǎo)者之間的相對(duì)關(guān)系.

由定義1 可知,集群系統(tǒng)的輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤隊(duì)形刻畫(huà)為以h(t)為自變量zg(h(t)) 為因變量的復(fù)合向量函數(shù),與現(xiàn)有研究時(shí)變編隊(duì)的文獻(xiàn)[2?22]不同,h(t) 不是固化的全局信息,而是由領(lǐng)導(dǎo)者或與領(lǐng)導(dǎo)者存在直接拓?fù)溥B接的跟隨者調(diào)控的時(shí)變向量.后續(xù)將構(gòu)造分布式觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì),估計(jì)值記為.顯然,如果,則.假設(shè)輸出是1 維的,根據(jù)式(5) 所描述的等式關(guān)系,圖3 給出了二維XOY平面內(nèi)集群系統(tǒng)輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤示意圖,其中.在圖1中,δg(h(t))表示跟隨者g與領(lǐng)導(dǎo)者1 在二維XOY平面內(nèi)相對(duì)距離,分別表示跟隨者g與領(lǐng)導(dǎo)者1 在OX軸和OY軸方向上的相對(duì)距離,h(t) 為調(diào)整上述相對(duì)距離的時(shí)變信息,例如當(dāng)跟隨者繞領(lǐng)導(dǎo)者做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),h(t) 可表示旋轉(zhuǎn)半徑和旋轉(zhuǎn)角速度信息(見(jiàn)數(shù)值仿真部分).

圖3 集群系統(tǒng)輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤示意圖Fig.3 The illustration of time-varying output formation tracking for swarm systems

引理 1[17].對(duì)于任意正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣J1,J2∈Rn×n和任意向量a∈Rn,以下不等式關(guān)系成立:

其中,λmax(J)表示矩陣J的最大特征值,下同.

引理 2[31].如果假設(shè)1 成立,式(2)中分塊矩陣的所有特征值均具有正實(shí)部.同時(shí),存在正定對(duì)角矩陣使Eβ >0,記表示的最小特征值.

2 控制協(xié)議的設(shè)計(jì)

本節(jié)將給出控制協(xié)議的設(shè)計(jì)方法,考慮到集群系統(tǒng)中領(lǐng)導(dǎo)者存在已知或未知控制輸入,領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者存在未知擾動(dòng),有向通信拓?fù)浯嬖谇袚Q等多種因素影響,且領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入在已知和未知兩種情況下控制協(xié)議的設(shè)計(jì)并不相同,因此對(duì)這兩種情況進(jìn)行分開(kāi)討論.

2.1 領(lǐng)導(dǎo)者存在已知輸入時(shí)控制協(xié)議的設(shè)計(jì)

當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入是已知可設(shè)計(jì)時(shí),通常對(duì)應(yīng)領(lǐng)導(dǎo)者為合作目標(biāo)的情況,則對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者設(shè)計(jì)如下控制協(xié)議:

其中,式(7a)和(7b)為具有未知擾動(dòng)時(shí)領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)自身狀態(tài)的觀測(cè)器,式(7c)為基于該觀測(cè)器設(shè)計(jì)的控制器,表示領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)自身狀態(tài)x1(t) 的估計(jì)值,表示領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)其未知擾動(dòng)d1(t) 的估計(jì)值,表示根據(jù)任務(wù)需求和領(lǐng)導(dǎo)者模型設(shè)計(jì)的控制輸入,以實(shí)現(xiàn)對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者輸出軌跡的實(shí)時(shí)調(diào)控,H1、由下文中的算法1 確定.對(duì)跟隨者g ∈{2,3,···,1+N}設(shè)計(jì)如下控制協(xié)議:

算法 1.通過(guò)下列步驟確定控制協(xié)議(7)和(8)中的待定參數(shù):

步驟1.設(shè)計(jì)Rg、Sg和Ug使等式(3)和(4)成立.

步驟2.選取矩陣Hi和Hˉi使得矩陣Aˉi是Hurwitz 的,其中i=1,2,···,1+N.

步驟3.選取θ >0,求下列Riccati 方程的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)解陣P.

其中,In1為n1階單位陣.由于 (A1,In1) 是可控的,所以存在唯一的解使得等式(10)成立[16].

步驟4.選取?g >0,ρg >0,?g >0,μ>0,σg >0,選取使得Ag+是Hurwitz 的,計(jì)算

步驟5.求下列Lyapunov 方程的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)解陣Qg.

其中,Ing為ng階單位陣.

步驟6.選取和滿足,且為非奇異矩陣.

證明.首先證明觀測(cè)器的收斂性.有關(guān)自身狀態(tài)觀測(cè)器(7a)和(7b)以及式(8a)和(8b)的收斂性證明過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)[30],本文不再贅述.根據(jù)文獻(xiàn)[30]中的定理,定義dg(t),可知.現(xiàn)證明分布式觀測(cè)器(8c)～(8i)以及式(8j)和(8k)的收斂性.

構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)如下:

對(duì)V(t) 求導(dǎo)可得

令ζ(t)=V2(t)+V3(t)+V4(t),根據(jù)算法1 中的步驟3,可將式(25)進(jìn)一步化為

更進(jìn)一步由式(26)可得

因?yàn)橄到y(tǒng)通信拓?fù)湓趖=tβ發(fā)生變化,如果β ≥1,則由引理1 可知

結(jié)合式(27)和(29)可得

同理根據(jù)式(26)可以推出

進(jìn)一步根據(jù)遞歸方法可得

其中

討論以下兩種情況:

由t?t0=t?tβ+tβ?tβ?1+···+t1?t0≥t?tβ+βαmin且 ln?1?θαmin<0可得limt→∞V(t)≤ζ(t),矛盾,所以上述假設(shè)不成立.

進(jìn)一步可得

接下來(lái)證明在控制器(8m)～(8q)的作用下異構(gòu)集群系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤.將控制器(8m)～(8q)代入式(1)中可得

由算法1 中的步驟6 和等式(12)可知

進(jìn)而式(44)可化簡(jiǎn)為

考慮如下Lyapunov 函數(shù):

進(jìn)而可得

2.2 領(lǐng)導(dǎo)者存在未知輸入時(shí)控制協(xié)議的設(shè)計(jì)

當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入是未知不可設(shè)計(jì)時(shí),通常對(duì)應(yīng)領(lǐng)導(dǎo)者是非合作目標(biāo)的情況,則只對(duì)跟隨者g ∈{2,3,···,1+N}設(shè)計(jì)如下控制協(xié)議:

其中,各符號(hào)變量表示的含義保持不變.與控制協(xié)議(8)對(duì)比分析可知,式(54d)中利用的是領(lǐng)導(dǎo)者的全部狀態(tài)信息,而式(8d)中利用的是領(lǐng)導(dǎo)者根據(jù)輸出信息對(duì)其自身狀態(tài)信息的估計(jì)值,造成上述協(xié)議不同的原因是當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入是未知不可設(shè)計(jì)時(shí),無(wú)法通過(guò)領(lǐng)導(dǎo)者的輸出信息估計(jì)領(lǐng)導(dǎo)者的全部狀態(tài)信息,因此需要某個(gè)跟隨者能夠獲取領(lǐng)導(dǎo)者的全部狀態(tài)信息.相應(yīng)的,式(54c)相比于式(8c),去掉對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者自身狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)誤差的滑模補(bǔ)償項(xiàng).需要說(shuō)明的是,此時(shí)h(t) 為由某個(gè)能夠獲取領(lǐng)導(dǎo)者全部狀態(tài)信息的跟隨者調(diào)控的時(shí)變向量,控制協(xié)議(54)中的其他待定參數(shù)仍由算法1 確定.值得注意的是,當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入是未知不可設(shè)計(jì)時(shí),根據(jù)式(1)可知,此時(shí)領(lǐng)導(dǎo)者的未知輸入和未知擾動(dòng)對(duì)跟隨者來(lái)說(shuō)可整體看作領(lǐng)導(dǎo)者的未知輸入,因此可以得到下列定理.

定理2.對(duì)于任意給定的有界初始狀態(tài),如果集群系統(tǒng)中的跟隨者采用控制協(xié)議(54),通信拓?fù)涞淖钚●v留時(shí)間滿足 ln?1?θαmin<0 和ln?2?2μαmin<0,同時(shí)等式(12)成立,則異構(gòu)集群系統(tǒng)能夠在有向拓?fù)淝袚Q條件下實(shí)現(xiàn)對(duì)存在未知輸入領(lǐng)導(dǎo)者的輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤.

由于控制協(xié)議(8)和(54)的主要不同體現(xiàn)在跟隨者對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)信息的觀測(cè)方法上,因此定理2 的證明過(guò)程類(lèi)似定理1,此處略.由符號(hào)函數(shù)sgn(·)可知,控制協(xié)議(8)和(54)采用滑模控制方法來(lái)消除領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入、領(lǐng)導(dǎo)者的未知擾動(dòng)以及跟隨者自身的未知擾動(dòng)對(duì)集群系統(tǒng)的影響,因此抖振現(xiàn)象必然存在.現(xiàn)對(duì)控制協(xié)議(8)和(54)進(jìn)行改進(jìn),參考文獻(xiàn)[16]提供的方法,分別用下列連續(xù)向量函數(shù)、cg(t) 代替控制協(xié)議(8) 和(54)中的、fg(t),進(jìn)而使控制輸入產(chǎn)生較為平滑的連續(xù)性變化,能夠很好地抑制滑模的抖振現(xiàn)象.

推論1.如果在控制協(xié)議(8) 中采用代替控制、fg(t),則異構(gòu)集群系統(tǒng)對(duì)存在已知輸入領(lǐng)導(dǎo)者的輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤誤差(定義為‖yg(t)?zg(h(t))?y1(t)‖1)是一致最終有界的.

推論2.如果在控制協(xié)議(54) 中采用代替控制,則異構(gòu)集群系統(tǒng)對(duì)存在未知輸入領(lǐng)導(dǎo)者的輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤誤差(定義為‖yg(t)?zg(h(t))?y1(t)‖1)是一致最終有界的.

考慮到篇幅原因,本文略去推論1 和推論2 的證明過(guò)程,感興趣的讀者可結(jié)合本文定理1 以及文獻(xiàn)[16]中定理2 進(jìn)行推導(dǎo)證明.由推論1 和推論2可知 limt→∞‖yg(t)?zg(h(t))?y1(t)‖1≤Θg,Θg與、?g的選取有關(guān).通過(guò)選取恰當(dāng)?shù)?g可使‖yg(t)?zg(h(t))?y1(t)‖1收斂到0 附近較小的有界區(qū)間內(nèi),以滿足實(shí)際應(yīng)用需求.

由于控制協(xié)議(8)和(54)中均采用滑?？刂品椒?分析自適應(yīng)律(8g)～(8i)、(8p)、(54f)、(54g)、(54m)可知,自適應(yīng)增益φg(t) 、ηg(t) 、υg(t) 和κg(t)會(huì)一直緩慢地變大,因此可對(duì)自適應(yīng)律(8g)～(8i)、(8p)、(54f)、(54g)、(54m)增加如下約束:

注4.由式(1)可知,本文研究的集群系統(tǒng)模型考慮比較簡(jiǎn)單的匹配擾動(dòng),同時(shí)要求未知擾動(dòng)滿足假設(shè)3,因此設(shè)計(jì)的自身狀態(tài)觀測(cè)器(7a)、(7b)、(8a)、(8b)以及(54a)、(54b)借鑒文獻(xiàn)[30]的研究成果,其結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單.如果模型考慮不匹配擾動(dòng)或者觀測(cè)器匹配條件不滿足等更加復(fù)雜的條件時(shí),對(duì)于未知擾動(dòng)的假設(shè)條件也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化,可根據(jù)擾動(dòng)形式的不同參考文獻(xiàn)[32?33]設(shè)計(jì)更加復(fù)雜的全維或降維觀測(cè)器.需要指出的是,當(dāng)集群系統(tǒng)模型中擾動(dòng)形式更加復(fù)雜時(shí),除了對(duì)觀測(cè)器(7a)、(7b)、(8a)、(8b)以及(54a)、(54b)進(jìn)行改進(jìn)外,分布式觀測(cè)器(8c)～(8i)、(54c)～(54g)以及控制器(8m)～(8q)、(54j)～(54n)也要進(jìn)行一定的改進(jìn),例如模型考慮不匹配擾動(dòng),即式(1)寫(xiě)為

則分布式觀測(cè)器(8c)～(8i)、(54c)～(54g)以及控制器(8m)～(8q)、(54j)～(54n)中需要增加針對(duì)不匹配擾動(dòng)Didi(t) 的滑模補(bǔ)償項(xiàng),此處不作詳細(xì)論述,后續(xù)將進(jìn)一步開(kāi)展相關(guān)研究.

注5.本文提供的控制方法具有較強(qiáng)的普適性.首先本文研究的系統(tǒng)模型為異構(gòu)模型,如果系統(tǒng)模型為同構(gòu)模型,所有智能體具有相同的動(dòng)力學(xué)模型,滿足Ai=A ∈Rn×n、Bi=B ∈Rn×m、Ci=C ∈Rp×n、可以驗(yàn)證假設(shè)2 能夠成立,此時(shí)Rg=In、Ug=Im、Sg=0m×n,因此文獻(xiàn)[2?4],[6],[8],[11?14],[17],[20?21]研究的同構(gòu)系統(tǒng)模型可以看作異構(gòu)系統(tǒng)模型的特例.其次,本文研究的集群系統(tǒng)通信拓?fù)淇紤]有向拓?fù)淝袚Q的情況,而文獻(xiàn)[10?12]中考慮的無(wú)向拓?fù)涔潭ā⑽墨I(xiàn)[17]中考慮的無(wú)向拓?fù)淝袚Q以及文獻(xiàn)[4?9],[13],[15?16],[18?19],[21?22]中采用有向拓?fù)涔潭ǖ惹闆r均可以看作有向拓?fù)淝袚Q的特例.再次,本文研究的集群系統(tǒng)考慮考慮領(lǐng)導(dǎo)者存在已知或未知控制輸入,領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者均存在未知擾動(dòng)的情況,而文獻(xiàn)[16],[19]中研究的領(lǐng)導(dǎo)者不存在輸入或領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者不存在擾動(dòng)等情況都可以看作本文研究問(wèn)題的特例.最后,本文對(duì)時(shí)變編隊(duì)函數(shù)設(shè)計(jì)了分布式觀測(cè)器,進(jìn)而使時(shí)變編隊(duì)函數(shù)不再是全局信息,文獻(xiàn)[2?22]中的時(shí)變編隊(duì)函數(shù)均可看作是本文中時(shí)變編隊(duì)復(fù)合函數(shù)zg(h(t))的特例.

3 數(shù)值仿真

由于定理1 和定理2 的主要區(qū)別在于領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入是已知可設(shè)計(jì)的還是未知不可設(shè)計(jì)的,對(duì)應(yīng)控制協(xié)議(8)和控制協(xié)議(54)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法存在些許差異,在仿真層面上主要體現(xiàn)在領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)軌跡是否可控,對(duì)于跟隨者是否能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者的輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤沒(méi)有明顯影響,考慮到篇幅原因,在驗(yàn)證定理1 和定理2 時(shí),對(duì)集群系統(tǒng)模型以及控制協(xié)議(8)和(54)的相同參數(shù)部分采用同樣的選取方法,并對(duì)控制協(xié)議(8)和(54)中自適應(yīng)律(8g)～(8i)、(8p)、(54f)～(54g)、(54m)增加式(58)中的約束.假定集群系統(tǒng)含有7 個(gè)智能體,其中包括1 個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者(對(duì)合作目標(biāo)和非合作目標(biāo)兩種情況分開(kāi)討論)和6 個(gè)跟隨者,領(lǐng)導(dǎo)者標(biāo)號(hào)為1,跟隨者標(biāo)號(hào)為2～7,所有智能體采用如式(1)所示的異構(gòu)模型,設(shè)定如下:

仿真中僅考慮XOY平面運(yùn)動(dòng),集群系統(tǒng)在OX軸和OY軸方向上的控制可視為兩個(gè)獨(dú)立方向的解耦控制,所有智能體在OX軸和OY軸方向上的初始狀態(tài)在 (?8,8)中隨機(jī)選取,未知擾動(dòng)在(0,1)中隨機(jī)選取,當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者是合作目標(biāo)時(shí),領(lǐng)導(dǎo)者采用控制協(xié)議(7),其中=?0.1 cos(t),跟隨者采用控制協(xié)議(8),當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者是非合作目標(biāo)時(shí),領(lǐng)導(dǎo)者的未知控制輸入假定為?2 cos(t),跟隨者采用控制協(xié)議(54),根據(jù)算法1以及式(58),控制協(xié)議(7)、(8)和(54)中的其他參數(shù)確定如下:

表征輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤隊(duì)形的復(fù)合函數(shù)及相關(guān)參數(shù)設(shè)計(jì)如下:

通過(guò)分析上述復(fù)合函數(shù)可知,仿真中期望跟隨者在以領(lǐng)導(dǎo)者為圓心、為半徑的圓弧上繞領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)動(dòng),同時(shí)跟隨者之間保持固定的相對(duì)距離,領(lǐng)導(dǎo)者或與領(lǐng)導(dǎo)者直接通信的跟隨者能夠?qū)A弧半徑以及跟隨者繞領(lǐng)導(dǎo)者的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的實(shí)時(shí)調(diào)控,當(dāng)t∈[0,22) 時(shí),圓弧半徑為8,轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為1 rad/s,當(dāng)t∈[22,+∞) 時(shí),圓弧半徑增大為15,轉(zhuǎn)動(dòng)角速度增加為2 rad/s.圖4 給出了集群系統(tǒng)的通信拓?fù)潢P(guān)系,設(shè)定通信拓?fù)湓隈v留時(shí)間α=4s保持不變,到達(dá)切換時(shí)刻后在G1～G4之間切換.接下來(lái)對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者是合作目標(biāo)和非合作目標(biāo)兩種情況的圖例進(jìn)行分別說(shuō)明.

圖4 集群系統(tǒng)的通信拓?fù)潢P(guān)系Fig.4 The communication topologies of swarm systems

1)領(lǐng)導(dǎo)者是合作目標(biāo)

圖5 給出了控制協(xié)議(7)和(8)中的觀測(cè)器的估計(jì)誤差(以所有智能體對(duì)自身狀態(tài)和領(lǐng)導(dǎo)者調(diào)控的時(shí)變向量的估計(jì)誤差為例),定義所有智能體對(duì)自身狀態(tài)估計(jì)誤差的二范數(shù)其中i=1,2,···,7,定義領(lǐng)導(dǎo)者調(diào)控的時(shí)變向量估計(jì)誤差的二范數(shù)其中g(shù)=2,3,···,7.從圖5中可以看出,控制協(xié)議(7)和(8)中的觀測(cè)器是收斂的.需要說(shuō)明的是,圖5中在t=22 s時(shí)出現(xiàn)非連續(xù)的變化,原因是由于在t=22 s時(shí)編隊(duì)半徑瞬間增大且編隊(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度瞬間增加.圖6 給出了跟隨者控制協(xié)議(8)中自適應(yīng)增益(以和為例) 的變化曲線,其中g(shù)=2,3,···,7,由于對(duì)上述自適應(yīng)增益增加了(58)中的約束,同時(shí)在t=22 s 時(shí)編隊(duì)半徑瞬間增大且編隊(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度瞬間增加,因此圖6 中的自適應(yīng)增益曲線存在部分不可微點(diǎn).圖7 給出了跟隨者采用控制協(xié)議(8) 時(shí)在OX軸和OY軸方向上控制輸入的變化曲線,需要說(shuō)明的是,控制輸入在t=22 s 時(shí)發(fā)生非連續(xù)變化,也是由于該時(shí)刻編隊(duì)半徑瞬間增大且編隊(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度瞬間增加造成的.圖8 給出了集群系統(tǒng)在35s 內(nèi)的輸出軌跡,并給出了部分時(shí)刻領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的輸出分布.圖9給出了集群系統(tǒng)XOY平面內(nèi)的輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤誤差,定義如下:

圖5 控制協(xié)議(7)和(8)中觀測(cè)器的估計(jì)誤差Fig.5 The estimation errors of observers in control protocol (7) and control protocol (8)

圖6 跟隨者控制協(xié)議(8)中的自適應(yīng)增益變化曲線Fig.6 The varying curve of adaptive gains in followers′ control protocol (8)

圖7 跟隨者控制協(xié)議(8)中的控制輸入變化曲線Fig.7 The varying curve of control input in followers′ control protocol (8)

圖8 當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者是合作目標(biāo)時(shí)集群系統(tǒng)的輸出軌跡以及部分時(shí)刻的輸出信息Fig.8 The trajectory of output and the output information at partial moments associated with swarm systems when leader is cooperative target

其中,g=2,3,···,7.從圖9 中可以看出輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤誤差在編隊(duì)函數(shù)連續(xù)變化時(shí)快速收斂到0,在非連續(xù)變化瞬間會(huì)短暫增大(對(duì)應(yīng)t=22 s 時(shí)編隊(duì)半徑瞬間增大且編隊(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度增加),隨即快速收斂到0.

圖9 當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者是合作目標(biāo)時(shí)集群系統(tǒng)輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤誤差Fig.9 The error of time-varying output formation tracking related to swarm systems when leader is cooperative target

2)領(lǐng)導(dǎo)者是非合作目標(biāo)

考慮到領(lǐng)導(dǎo)者是合作目標(biāo)和非合作目標(biāo)兩種情況下,仿真中集群系統(tǒng)參數(shù)選取的差異主要體現(xiàn)在領(lǐng)導(dǎo)者控制輸入的不同,為更直觀地進(jìn)行仿真對(duì)比,當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者是非合作目標(biāo)時(shí),仿真結(jié)果僅展示集群系統(tǒng)的輸出分布和編隊(duì)跟蹤誤差.圖10 給出了集群系統(tǒng)在35s 內(nèi)的輸出軌跡,并給出了部分時(shí)刻領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的輸出分布.與圖8 中領(lǐng)導(dǎo)者相對(duì)規(guī)律的軌跡相比,圖10 模擬了非合作領(lǐng)導(dǎo)者進(jìn)行惡意機(jī)動(dòng)的場(chǎng)景.圖11 給出了集群系統(tǒng)XOY平面內(nèi)的輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤誤差 Υg.與圖9 類(lèi)似,從圖11中可以看出輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤誤差在編隊(duì)函數(shù)連續(xù)變化時(shí)快速收斂到0,在非連續(xù)變化瞬間會(huì)短暫增大(對(duì)應(yīng)t=22 s 時(shí)編隊(duì)半徑瞬間增大且編隊(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度增加),隨即快速收斂到0.因此定理1 和定理 2 通過(guò)數(shù)值仿真得到了驗(yàn)證.

圖10 當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者是非合作目標(biāo)時(shí)集群系統(tǒng)的輸出軌跡以及部分時(shí)刻的輸出信息Fig.10 The trajectory of output and the output information at partial moments associated with swarm systems when leader is noncooperative target

圖11 當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者是非合作目標(biāo)時(shí)集群系統(tǒng)輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤誤差Fig.11 The error of time-varying output formation tracking related to swarm systems when leader is noncooperative target

4 結(jié)論

本文研究了高階異構(gòu)集群系統(tǒng)輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題.基于觀測(cè)器理論、自適應(yīng)控制理論、滑?？刂评碚摰葮?gòu)造了分布式的控制協(xié)議,該控制協(xié)議分為觀測(cè)器和控制器兩個(gè)部分,觀測(cè)器包括對(duì)自身狀態(tài)的觀測(cè)器和跟隨者對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)的分布式觀測(cè)器,還包括針對(duì)時(shí)變編隊(duì)函數(shù)的分布式觀測(cè)器,基于上述觀測(cè)器構(gòu)造了控制器,擺脫了對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入上界值、與通信拓?fù)湎嚓P(guān)的拉普拉斯矩陣特征值以及時(shí)變編隊(duì)函數(shù)等全局信息的依賴(lài),使本文的控制方法成為完全分布式的控制方法,因此本文提供的控制方法具有較高的理論研究和實(shí)際應(yīng)用意義.未來(lái)會(huì)進(jìn)一步將相關(guān)理論成果在無(wú)人機(jī)和無(wú)人車(chē)等實(shí)際物理系統(tǒng)上進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證.