江蘇省蘇州市楓橋中心小學(xué) 韓雅琴

2014 年版的蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材增加了一些思考題，這些思考題與必學(xué)知識(shí)聯(lián)系，按學(xué)生年齡的大小、接受能力的差異循序漸進(jìn)、螺旋上升地分散在各冊(cè)教材中。思考題的設(shè)置旨在讓學(xué)生在解決具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問(wèn)題中提高學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。

蘇教版教材五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”整理與練習(xí)中有這樣一道思考題：

在方格紙上畫一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，通過(guò)剪、拼分別把它們轉(zhuǎn)化成平行四邊形。你能根據(jù)轉(zhuǎn)化成的平行四邊形與原來(lái)圖形的關(guān)系，推導(dǎo)出三角形和梯形的面積公式嗎？

此題旨在讓學(xué)生通過(guò)剪、拼等操作活動(dòng)，探尋用不同的方法推導(dǎo)三角形和梯形的面積公式，促使學(xué)生深化理解三角形和梯形的面積公式，鍛煉思維的靈活性和開(kāi)放性。教學(xué)此題時(shí)，如何有效激活學(xué)生的思維，引領(lǐng)學(xué)生的思維向更深處漫溯呢？筆者進(jìn)行了如下教學(xué)嘗試和思考。

片段一：?jiǎn)栴}引導(dǎo)，點(diǎn)燃思維火花

首先，教師提問(wèn)：“三角形和梯形的面積是怎樣算的？”

學(xué)生說(shuō)道：三角形面積＝底×高÷2；梯形面積＝（上底+下底）×高÷2。

接著，教師問(wèn)道：三角形和梯形的面積公式是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的？

學(xué)生說(shuō)道：把兩個(gè)完全相同的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移拼成一個(gè)平行四邊形。因?yàn)槠闯傻钠叫兴倪呅蔚牡缀透叻謩e等于三角形的底和高，所以每個(gè)三角形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半。同樣，把兩個(gè)完全相同的梯形通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移拼成一個(gè)平行四邊形。因?yàn)槠闯傻钠叫兴倪呅蔚牡椎扔谔菪蔚摹吧系?下底”，高等于梯形的高，所以梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半。

教師又追問(wèn)：三角形和梯形的面積公式推導(dǎo)過(guò)程有什么相同之處嗎？

學(xué)生交流討論后說(shuō)道：都是先用“兩個(gè)”完全相同的三角形或梯形拼成一個(gè)平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出三角形或梯形的面積公式。

教師又引導(dǎo)學(xué)生思考：如果只有一個(gè)三角形或一個(gè)梯形，能通過(guò)剪、拼分別把它們轉(zhuǎn)化成平行四邊形嗎？根據(jù)轉(zhuǎn)化成的平行四邊形與原來(lái)圖形的關(guān)系，能推導(dǎo)出三角形和梯形的面積公式嗎？

【思考】教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇泊爾說(shuō)過(guò)：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。此題的知識(shí)基礎(chǔ)是三角形和梯形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)和計(jì)算方法。據(jù)此，教師層層遞進(jìn)地提出三個(gè)問(wèn)題：①三角形和梯形的面積是怎樣算的？②三角形和梯形的面積公式是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的？③三角形和梯形的面積公式推導(dǎo)過(guò)程有什么相同之處嗎？通過(guò)這組問(wèn)題促使學(xué)生充分調(diào)動(dòng)已有的認(rèn)知儲(chǔ)備，主動(dòng)回顧三角形和梯形的面積公式及推導(dǎo)過(guò)程，思考圖形面積公式推導(dǎo)中的相同之處。這樣的問(wèn)題有助于喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的興趣，激活學(xué)生的思維。隨后，教師又適時(shí)拋出新的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，自然而然地將學(xué)生引入到新的探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中。

片段二：?jiǎn)栴}引探，拓寬思維空間

活動(dòng)與思考：

1.畫一畫：在方格紙上任意畫一個(gè)三角形并剪下來(lái)。

2.剪一剪、拼一拼：把一個(gè)三角形剪拼成平行四邊形。

3.想一想：剪拼成的平行四邊形與原來(lái)圖形的關(guān)系，并推導(dǎo)三角形的面積公式。

學(xué)生演示剪拼過(guò)程，并說(shuō)明推導(dǎo)方法。

方法一： 沿著三角形左右兩條邊的中點(diǎn)剪開(kāi)，然后旋轉(zhuǎn)上面的小三角形，與下面的梯形拼成一個(gè)平行四邊形。剪、拼后的平行四邊形的底和面積分別與原來(lái)三角形的底和面積相等，高是原來(lái)三角形高的一半。所以，三角形面積＝平行四邊形面積＝底×（高÷2）＝底×高÷2。

方法二：沿著三角形底邊上的中點(diǎn)和另一條邊的中點(diǎn)剪下一個(gè)三角形，旋轉(zhuǎn)后拼成一個(gè)平行四邊形。剪、拼后的平行四邊形的高和面積分別與原來(lái)三角形的高和面積相等，底是原來(lái)三角形的一半。所以，三角形面積＝平行四邊形面積＝（底÷2）×高＝底×高÷2。

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：兩種不同的剪拼方法，有什么相同之處？

學(xué)生組織交流后說(shuō)道：轉(zhuǎn)化成的平行四邊形的面積不變，底或高變成了原來(lái)三角形底或高的一半。

教師組織學(xué)生繼續(xù)探究梯形面積公式的推導(dǎo)方法。學(xué)生演示剪拼過(guò)程，并說(shuō)明推導(dǎo)方法。

方法一： 沿著梯形兩條腰的中點(diǎn)剪開(kāi)，旋轉(zhuǎn)上面的小梯形，與下面的梯形拼成一個(gè)平行四邊形。剪、拼后平行四邊形的面積沒(méi)有變，底等于原來(lái)梯形的“上底+下底”，高是原來(lái)梯形的一半。所以，梯形面積＝平行四邊形面積＝（上底+下底）×高÷2。

方法二： 在一個(gè)等腰梯形的底邊上剪下一個(gè)小三角形，旋轉(zhuǎn)后與五邊形拼成一個(gè)平行四邊形。這個(gè)平行四邊形的面積和高都沒(méi)有變，底等于原來(lái)梯形“上底+下底”的一半。

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：新的推導(dǎo)方法和之前的有什么相同和不同？

學(xué)生說(shuō)道：相同點(diǎn)是都運(yùn)用了“轉(zhuǎn)化”的方法。通過(guò)剪、拼，把三角形或梯形轉(zhuǎn)化成了平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出三角形和梯形的面積公式。不同點(diǎn)是用兩個(gè)圖形拼，底和高不變，拼成的平行四邊形面積是原來(lái)圖形面積的2 倍。而用一個(gè)圖形剪拼，面積不變，拼成的平行四邊形的底或高是原來(lái)的一半。

教師強(qiáng)調(diào)：“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種方法。通過(guò)轉(zhuǎn)化，可以把陌生的問(wèn)題變成熟悉的問(wèn)題，把復(fù)雜的問(wèn)題變成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把抽象的問(wèn)題變成具體的問(wèn)題……從而使問(wèn)題得到解決。

最后，教師提問(wèn)：在這次探究活動(dòng)中，你們有什么新的收獲嗎？

【思考】在學(xué)習(xí)三角形和梯形面積時(shí)，雖然學(xué)生能準(zhǔn)確說(shuō)出它們的面積計(jì)算公式，但對(duì)于公式中的“÷2”以及三角形、梯形與轉(zhuǎn)化成的平行四邊形之間的關(guān)系理解不深，在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)容易混淆、出錯(cuò)。課上，教師給學(xué)生提供了充分的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生利用原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)“畫一畫”“剪一剪”“拼一拼”“想一想”等活動(dòng)，自主探索和推導(dǎo)三角形和梯形的面積計(jì)算公式，讓學(xué)生的思維得到了充分地發(fā)散，打破了原有轉(zhuǎn)化方法的“狹隘”。隨后，又在同伴的相互交流、相互補(bǔ)充中明晰了三角形和梯形面積公式中為什么要“÷2”。進(jìn)而，在“新的推導(dǎo)方法和之前的有什么相同，又有什么不同？”這一問(wèn)題的引領(lǐng)下，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考不同轉(zhuǎn)化方法之間的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生深化對(duì)于三角形和梯形面積計(jì)算公式的理解。

片段三：?jiǎn)栴}引思，挖掘思維深度

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：通過(guò)探究，我們發(fā)現(xiàn)三角形、梯形的面積與平行四邊形面積之間有著密切的聯(lián)系。那么，它們之間到底有著怎樣密切的聯(lián)系呢？

多媒體動(dòng)態(tài)演示：一個(gè)梯形，用字母a、b、h 分別表示它的上底、下底和高。然后慢慢移動(dòng)梯形下底的一個(gè)頂點(diǎn)，使梯形的下底長(zhǎng)度連續(xù)發(fā)生變化。

接著提問(wèn)：通過(guò)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生討論后說(shuō)道：當(dāng)梯形的下底縮短成一個(gè)點(diǎn)（即b=0）時(shí)就變成了三角形，此時(shí)梯形的面積公式就變成了S=(a+0)h÷2=ah÷2，也就是三角形的面積公式。當(dāng)梯形的下底與上底一樣長(zhǎng)（即b=a）時(shí)就變成了平行四邊形，此時(shí)梯形的面積公式就變成了S=(a+a)h÷2= ah，也就是平行四邊形的面積公式。

通過(guò)交流，學(xué)生認(rèn)識(shí)到：只要記住梯形的面積公式就能推導(dǎo)出三角形和平行四邊形的面積公式。梯形的面積公式是一個(gè)“萬(wàn)能”公式，用梯形的面積公式可以計(jì)算出之前學(xué)過(guò)的所有平面圖形的面積。

【思考】通過(guò)前面的探究學(xué)生已經(jīng)掌握了平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式，知道它們之間是有聯(lián)系的，但這種認(rèn)識(shí)是淺層次的，只是知道三角形和梯形可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形，三角形和梯形的面積等于轉(zhuǎn)化成的平行四邊形面積的一半。課上，教師以“它們之間到底有著怎樣密切的聯(lián)系呢？”這一問(wèn)題把學(xué)生的思維引向深入。隨后，教師借助幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示梯形與三角形、平行四邊形之間的變換過(guò)程，讓學(xué)生直觀、形象地看到了圖形間的神奇變換。在認(rèn)真觀察、深入思考后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了平面圖形面積計(jì)算公式間的內(nèi)在聯(lián)系，并且有了“梯形的面積公式是一個(gè)‘萬(wàn)能’公式”這一新的收獲。

總之，思考題是課堂教學(xué)的補(bǔ)充與深化，在教學(xué)中，教師要結(jié)合思考題的趣味性、思考性和綜合性等特點(diǎn)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，以問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促使學(xué)生積極主動(dòng)地參與探究活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生的思維從單一走向多元、從淺層走向深入，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維能力的提升。