謝祖強(qiáng)

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院 機(jī)械與智能制造學(xué)院，福建 福州 350007)

0 引 言

液壓自定心中心架具有自定心、定心定位精度高、操作方便等優(yōu)點(diǎn)是細(xì)長軸類零件加工理想的輔助支撐裝置[1]。由于該裝置技術(shù)含量高，市場需求大，我國主要依賴從德國和美國等國家進(jìn)口。近年來，國內(nèi)對其開展了一系列研究，在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方面，文獻(xiàn)[2]～[7]對中心架關(guān)鍵件平移凸輪及聯(lián)動(dòng)復(fù)位機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)；在制造方面，文獻(xiàn)[8]基于 CAXA 軟件用凸輪理論曲線等距平移的方法生成數(shù)控加工代碼，文獻(xiàn)[9]將凸輪實(shí)際廓線坐標(biāo)值導(dǎo)入 UG 軟件生成數(shù)控加工代碼對凸輪進(jìn)行非等徑銑削加工。

上述研究中，多基于包絡(luò)線法得出凸輪廓線，表達(dá)式復(fù)雜，文獻(xiàn)[7]用速度瞬心法推出公式與包絡(luò)線法計(jì)算結(jié)果存在較大誤差。加工方面,采用分點(diǎn)在CAD軟件上擬合生成實(shí)體模型及數(shù)控加工代碼加工，無法事先確定誤差，加工精度難以保證。目前國內(nèi)大多數(shù)控系統(tǒng)仍只具有直線和圓弧插補(bǔ)功能，采用直線逼近非圓曲線仍是主要加工方法[10-11]。其中等間距法計(jì)算簡單，應(yīng)用方便[12]。筆者基于速度瞬心法推導(dǎo)中心架凸輪實(shí)際廓線方程，基于牛頓迭代法設(shè)計(jì)非圓曲線等間距直線逼近算法，經(jīng)濟(jì)、高效地實(shí)現(xiàn)中心架凸輪機(jī)構(gòu)高精度設(shè)計(jì)與加工。

1 自定心中心架的工作原理

中心架工作原理如圖1所示。液壓油缸驅(qū)動(dòng)凸輪使擺桿繞旋軸O1、O2軸轉(zhuǎn)，使?jié)L輪C、D、E同步運(yùn)動(dòng)形成3點(diǎn)夾持夾緊工件，同時(shí)使被夾持工件軸心始終保持在O3位置，實(shí)現(xiàn)自定心[3]。

2 中心架凸輪廓線的設(shè)計(jì)與分析

2.1 中心架凸輪理論廓線

自定心中心架凸輪機(jī)構(gòu)參數(shù)及坐標(biāo)系如圖1所示,其中L=OE,L0=O1O3,L1=O1D,L2=O1A,R為工件半徑，r、r0均為滾輪半徑，δ=φ-α-β。根據(jù)對稱性，只求凸輪在坐標(biāo)系第一象限內(nèi)廓線方程。由圖1可得，夾持角：

(1)

(2)

(3)

式中：A點(diǎn)坐標(biāo)即為凸輪理論廓線方程。

圖1 自定心中心架的工作原理

2.2 中心架凸輪實(shí)際廓線

如圖2所示，凸輪相對于擺桿的速度瞬心為P21。設(shè)Vy為凸輪沿y軸方向的速度，ω為擺桿O1A的角速度，VO1y為O1點(diǎn)相對凸輪的移動(dòng)速度，∠O1AP=90°-θ，∠O1PA=δ-∠O1AP。

圖2 速度瞬心計(jì)算圖

由速度瞬心法得：Vy=ω·O1P，Vy=-VO1y

則：-VO1y=ω·O1P

(4)

(5)

(6)

整理得:O1P=K

(7)

在ΔAO1P中，由正弦定理：

(8)

整理得凸輪壓力角：

(9)

如圖2，建立局部坐標(biāo)系x′Ay′,由坐標(biāo)變換得：

(10)

式中：δ為x′軸與x軸的正向夾角。

整理得實(shí)際廓線：

(11)

式中：

由式(11)可見，當(dāng)中心架幾何參數(shù)確定后，凸輪實(shí)際廓線為僅與夾持角α有關(guān)的參數(shù)方程。

選擇自定心中心架參數(shù)如下[5]：L0=75 mm,L1=L2=74 mm,L=118 mm,φ=171°,β=44°,r0=9.5 mm,r=17.5 mm,工件半徑R=[4,50.5] mm，對應(yīng)夾持角α=[16.580,57.380]°。將上述模型編寫MATLAB程序，得到(xH,yH)坐標(biāo)值。與文獻(xiàn)[5]比較，計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后10位，兩種結(jié)果相等，驗(yàn)證了公式正確性。

2.3 凸輪廓線曲線分析

由式(11)，通過求導(dǎo)運(yùn)算得xH,yH一階導(dǎo)數(shù)值：

(12)

(13)

(14)

凸輪實(shí)際廓線曲率：

(15)

(16)

式中：上一組加減號表示內(nèi)包絡(luò)線，下一組加減號表示外包絡(luò)線。由式(16)求一階導(dǎo)數(shù)得[13]：

(17)

(18)

即凸輪實(shí)際廓線與理論廓線一階導(dǎo)數(shù)值相等。

由式(14)、(18)得：

(19)

(20)

式中：KA即為凸輪理論廓線曲率。

由式(18)、(20)結(jié)合曲線曲率半徑公式整理得：

(21)

(22)

式中：RH、RA分別為凸輪實(shí)際廓線和理論廓線的曲率半徑，“-”為內(nèi)包絡(luò)線，“+”為外包絡(luò)線，本文為“-”。式(3)求導(dǎo)得：

(23)

由式(18)、(20)～(23)可見，凸輪實(shí)際廓線一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、曲率均可由凸輪理論廓線方程導(dǎo)出。

將上述公式在MATLAB中編程計(jì)算，得在夾持范圍內(nèi)凸輪實(shí)際廓線導(dǎo)數(shù)值與α關(guān)系：隨著α增大：一階導(dǎo)數(shù)小于0，曲線單調(diào)下降；二階導(dǎo)數(shù)大于0，曲線凹；α最小時(shí)曲率半徑最小。

3 凸輪廓線直線逼近

3.1 直線逼近弓高誤差計(jì)算

如圖3所示，當(dāng)加工非圓曲線段AEB時(shí)，刀具沿直線段AB插補(bǔ)，插補(bǔ)過程中產(chǎn)生的連接兩端點(diǎn)的弦與弧最大法線誤差稱為弓高誤差，記為δmax。設(shè)從曲線上點(diǎn)A(x0,y0)出發(fā)，在x軸方向上以步長2h=x1-x0找到第一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)B(x1,y1)，設(shè)切線PQ//AB,切點(diǎn)T(xT,yT)，則TR為弓高誤差；設(shè)點(diǎn)C(xc,yc)為弦線AB的中點(diǎn)，CM垂直x軸，記：M(x1/2,y1/2)，直線CM與PQ交于N點(diǎn)。作CE⊥PQ，MD⊥CE，因直線逼近弦長很小，M和N點(diǎn)非常接近且CM

圖3 直線逼近弓高誤差

基于此文獻(xiàn)[13]分別給出了弓高誤差精確計(jì)算公式及近似計(jì)算公式：

精確計(jì)算公式：

(24)

近似計(jì)算公式：

(25)

3.2 等間距直線逼近算法

y2-yN=y0+y2-2y1

(26)

圖4 等間距法逼近原理

因曲線單調(diào)下降f′(x)<0，直線斜率kBC<0，則ΔABC中∠BCN是鈍角，則：CB

如圖4所示，假設(shè)非圓曲線在A′點(diǎn)處曲率半徑最小，直線段A′B′弓高誤差δmax小等于允差δy，則在整條曲線上，若每段直線逼近弦長都小等于A′B′，則每段弓高誤差就都小等于δy。以λ=|xi-xi-1|為步長，計(jì)算起始點(diǎn)A對應(yīng)的弦長AB，若A′位于曲線分割起點(diǎn)，則以λ為步長對曲線進(jìn)行分割；否則尋找分割起點(diǎn)處步長λ′使其對應(yīng)的弦長AB≤A′B′，以λ′為步長對曲線進(jìn)行等間距分割。

3.3 凸輪廓線等間距直線逼近

(27)

(2) 比較δmax與δy，若δmax>δy，縮小步長：Δα←Δα/2；若δmax<δy，增大步長：Δα←Δα+Δα/2回到步驟(1)；若|δmax-δy|≤ε，計(jì)算終止。輸出：δmax，B(xH1,yH1),2h=|xH1-xH0|，弦長LAB=

(3) 凸輪廓線為凹且單調(diào)下降，最高點(diǎn)為分割起點(diǎn)，令α0=αmax，λ=2h，計(jì)算：A(xH0,yH0)。

(4) 計(jì)算：xH1=xH0+λ，由牛頓迭代法計(jì)算坐標(biāo)值xH1對應(yīng)的α值，代入式(11)求得yH1，計(jì)算：LAB′；牛頓迭代初值：α0,終止條件：|αk+1-αk|≤ε，牛頓迭代格式：

(28)

(5) 比較LAB與LAB′，若LAB′>LAB，縮小步長：λ←λ/2；若LAB′

(6) 從分割起點(diǎn)α0=αmax處曲線進(jìn)行分割，令xHi=xH0+iλ,(i=0,1,…)，如步驟(4)計(jì)算xHi對應(yīng)的yHi值，若xHi超出[αmin,αmax]的范圍，以端點(diǎn)代替計(jì)算終點(diǎn)，停止計(jì)算。輸出:點(diǎn)坐標(biāo)(xHi,yHi)，弦長LABi。

由式(25)近似弓高誤差公式計(jì)算流程與上述步驟類似，記xH1/2=xH0+h，用如步驟(4)牛頓迭代法計(jì)算xH1/2對應(yīng)yH1/2的值。近似計(jì)算公式中無需求解切點(diǎn)坐標(biāo)值，因此牛頓迭代格式中只需求得凸輪廓線方程的一階導(dǎo)數(shù)值，計(jì)算更方便。

將上述算法編寫MATLAB程序，選擇計(jì)算精度ε=1.0×10-7，允差δy=0.001 mm，分別按式(24)、(25)計(jì)算弓高誤差，得凸輪廓線方程等間距直線逼近點(diǎn)坐標(biāo)值、弦長及弓高誤差，由式(24)計(jì)算結(jié)果如表1所列，表中序號1對應(yīng)α=57.380 43°，序號63對應(yīng)α=16.562 34°已超出計(jì)算范圍，用曲線端點(diǎn)序號64代替。表中可見各段弓高誤差值均小于允差，在起始點(diǎn)處弦長最大。由式(25)計(jì)算直線逼近段數(shù)與式(24)計(jì)算相同，對應(yīng)段弦長差值為Δ，如表1所示，其中Δmax=1.875 9×10-4mm，相對誤差為0.013%，且位于起始點(diǎn)處，驗(yàn)證了算法正確性。

表1 等間距法計(jì)算結(jié)果 /mm

4 加工與仿真

4.1 中心架凸輪機(jī)構(gòu)實(shí)體模型

如表1所列，由于非圓曲線逼近坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)量較大,手工編程難以實(shí)現(xiàn)。將表1計(jì)算結(jié)果(xH,yH)值寫成點(diǎn)列格式保存為“.txt”文件；在AutoCAD軟件命令行下輸入“l(fā)ine”命令回車，復(fù)制“.txt”文件中所有點(diǎn)坐標(biāo)值，粘貼到AutoCAD軟件命令行下回車，將點(diǎn)坐標(biāo)值批量導(dǎo)入AutoCAD中，且兩個(gè)相鄰點(diǎn)之間用直線段連接，將凸輪廓線曲線轉(zhuǎn)化為兩兩相連的折線，用鏡像命令得到對稱段直線逼近凸輪廓線，補(bǔ)充其他線條，完成凸輪實(shí)體建模，如圖5所示。圖中，凸輪實(shí)體模型只包括直線和圓弧，雖然凸輪輪廓經(jīng)過直線逼近處理,但其特征信息沒有丟失,可實(shí)現(xiàn)凸輪曲線高精度加工。

圖5 凸輪機(jī)構(gòu)直線逼近實(shí)體模型

4.2 數(shù)控加工代碼生成與仿真

選用FANUC數(shù)控立式銑床, 根據(jù)產(chǎn)品加工精度要求, 選擇φ6立銑刀對凸輪外廓進(jìn)行精加工，選擇φ10立銑刀對φ15H6銷孔進(jìn)行精加工。將圖5所示的凸輪機(jī)構(gòu)實(shí)體模型導(dǎo)入到MasterCAM軟件，通過拉伸操作生成厚度為25 mm的3D實(shí)體模型，設(shè)置精銑刀補(bǔ)方向?yàn)樽蟮堆a(bǔ)(G41),主軸轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針(M13)，設(shè)置加工工藝參數(shù)為：轉(zhuǎn)速6 000 r/min,進(jìn)給量500 mm/min,背吃刀量0.15 mm；精銑銷孔設(shè)置加工工藝參數(shù)為：轉(zhuǎn)速4 500 r/min,進(jìn)給量300 mm/min,背吃刀量0.15mm，通過MasterCAM軟件自動(dòng)編程系統(tǒng)產(chǎn)生的 NC代碼共計(jì)902行如圖6所示，生成刀具軌跡如圖7所示?？梢?，將非圓曲線通過直線逼近，在數(shù)控仿真軟件中生成數(shù)控加工代碼，可經(jīng)濟(jì)、高效地實(shí)現(xiàn)復(fù)雜廓線高精度加工。

圖6 數(shù)控加工程序代碼

圖7 數(shù)控加工刀具軌跡圖

5 結(jié) 論

(1) 運(yùn)用速度瞬心法建立自定心中心架凸輪實(shí)際廓線方程，與文獻(xiàn)公式比較，驗(yàn)證了公式正確性?；谕馆喞碚摾€推導(dǎo)凸輪實(shí)際廓線一階、二階導(dǎo)數(shù)及曲率半徑計(jì)算公式。

(2) 分析直線逼近弓高誤差計(jì)算原理，基于牛頓迭代法設(shè)計(jì)了非圓曲線等間距直線逼近算法，提出了等間距直線逼近點(diǎn)分割方法：凹且單調(diào)非圓曲線，從曲線高點(diǎn)開始沿x軸等間距分割；凸且單調(diào)非圓曲線，從曲線低點(diǎn)開始沿x軸等間距分割。

(3) 針對中心架凸輪廓線，選取相同計(jì)算精度與弓高允差，分別用弓高誤差精確計(jì)算公式與近似計(jì)算公式對凸輪廓線進(jìn)行等間距直線逼近，編程計(jì)算得弓高允差為0.001 mm 時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)。兩公式逼近直線段數(shù)相等，對應(yīng)段弦長差值很小，驗(yàn)證了算法正確性。

(4) 將直線逼近點(diǎn)坐標(biāo)值批量導(dǎo)入AutoCAD軟件生成實(shí)體模型，再導(dǎo)入MasterCAM軟件生成數(shù)控加工代碼，可經(jīng)濟(jì)、高效地實(shí)現(xiàn)中心架凸輪機(jī)構(gòu)及其他非圓曲線高精度加工。