楊海濤，趙仲霞，楊海燕，蔡 彥，傅永平

(1.昭通學(xué)院物理化學(xué)系，云南 昭通 657000；2.滇西科技師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，云南 臨滄 677000)

α 衰變作為不穩(wěn)定原子核的一種重要衰變方式，在原子核的合成及核結(jié)構(gòu)的研究等方面起著重要作用.通過未知原子核到已知核區(qū)的原子核的α 衰變的探測可鑒別新核素的合成，通過原子核α 衰變可以獲得原子核的結(jié)構(gòu)信息：如基態(tài)能量、核有效相互作用、殼效應(yīng)、原子核的宇稱和自旋等信息[1-3].1928年Gmow、Guney和Condon利用量子隧道理論成功地解釋了α 衰變，隨后出現(xiàn)各種描述原子核α 衰變的理論模型及方法，如殼模型、類裂變模型、結(jié)團(tuán)模型、推廣液滴模型、兩勢方法等[4-12].另一種研究α 衰變的方法是解析公式，第1個描述α 衰變的公式由Geiger和Nuttal[13]在1911年提出.隨后在Geiger-Nuttal公式的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了各種解析公式，如：Viola-Seaborg Semi-empirical relationship(VSS)公式[14]、統(tǒng)一裂變(UDL)公式[7]、Royer公式[4]等.不論是半經(jīng)典方法還是解析公式在一定程度上都能較好地描述原子核的α衰變.起初由于受到探測器靈敏度的影響，限制了測量長壽命粒子的α衰變半衰期（半衰期>1019～1020a），209Bi(1.8×1019a)被認(rèn)為是最重的穩(wěn)定核，直到2012年P(guān)b的α 衰變半衰期的測量（>1035a）[15].盡管自然界存在的Pb的4種同位素其α 衰變在能量上是允許的，但因其長壽命被認(rèn)為是最重的穩(wěn)定元素，而且重核及超重核結(jié)團(tuán)放射性的產(chǎn)物是Pb或者接近Pb的原子核，作為Z=82質(zhì)子幻數(shù)核Pb因其特殊性質(zhì)受到理論學(xué)家和實驗學(xué)家的關(guān)注.最近，Beeman[16]使用高度靈敏儀器對4種天然Pb同位素204,206～208Pb的α半衰期上限作了相應(yīng)估測，Devi等[17]利用類統(tǒng)一裂變方法計算了182～202Pb之間部分核的α 衰變，也對198,200,204Pb核的α 衰變半衰期作了預(yù)測，但缺乏對Pb同位素鏈的整體系統(tǒng)研究.Santhosh等[15]利用庫倫和親和勢模型對Pb同位素鏈的α 衰變半衰期作了計算，但因其較大偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差1.061），導(dǎo)致其對部分核α衰變預(yù)測值可信度不高.基于Pb及其同位素的特殊性質(zhì)，精確地計算及預(yù)測未知核的α衰變半衰期對于Pb同位素的合成和研究至關(guān)重要.本文利用能夠較好地描述原子核α 衰變的統(tǒng)一裂變模型對Pb同位素鏈的α 衰變半衰期進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并利用改進(jìn)的解析公式——Royer公式和VSS公式作了相應(yīng)的計算，通過計算值與實驗數(shù)據(jù)的比較，結(jié)果表明，統(tǒng)一裂變模型能夠很好地再現(xiàn)Pb同位素鏈的α 衰變半衰期實驗值，基于此情況，對未知核193,195,197～209,211～220Pb的α 衰變半衰期作了預(yù)測.

1 理論框架

1.1 統(tǒng)一裂變模型（The unified fission model）在統(tǒng)一裂變模型中，當(dāng)r≥R1+R2， 勢壘V(r)是由庫侖勢、親和勢和離心勢組成，當(dāng)r

式（1）系數(shù)a0、a1、a2可以由相應(yīng)的邊界條件確定，μ是折合質(zhì)量，是離心勢，V P是親和勢，具體的計算方法見文獻(xiàn)[18]，l是α粒子帶走的軌道角動量，根據(jù)角動量和宇稱守恒定律，α 粒子帶走的最小軌道角動量由式（2）計算得到：

其中Ji，J j，πi， πj分別是母核和子核的自旋和宇稱.采用一維WKB近似，出射粒子穿透勢壘的幾率可以表示為：

其中Rin，Rout分別是勢壘入射和出射點(diǎn)，滿足關(guān)系式V(Rin)=V(Rout)=Qα，α衰變半衰期T1/2由衰變常數(shù)λ計算得到，即T1/2=ln 2/λ，衰變常數(shù)被定義為 λ=Pαν0P，其中Pα是α粒子預(yù)形成因子，取偶-偶（Z-N）核Pα=0.43， 奇-A核Pα=0.35， 奇-奇核Pα=0.18[19].ν0為碰撞頻率，這里采用量子力學(xué)方法計算獲得碰撞頻率[18].

1.2 計算原子核α衰變半衰期的解析公式

（1）推廣的Royer（G-Royer）公式Royer公式經(jīng)常被用來計算重核及超重核的α 衰變半衰期，而且理論計算結(jié)果與實驗值吻合得較好，但是該公式中未考慮α粒子帶走軌道角動量對α 衰變半衰期的影響，由于未考慮軌道角動量的影響，在理論計算中導(dǎo)致模型勢壘比實際勢壘低，引起α 粒子穿透勢壘的幾率偏大，導(dǎo)致理論半衰期比實際值要小，因此，最近鄧俊剛等[20]在Royer公式的基礎(chǔ)上添加離心勢的影響項，得到了推廣的Royer (G-Royer)公式：

其中前3項對應(yīng)的是Royer公式對應(yīng)的項，第4項是離心勢項，第5項是考慮未配對核子的阻塞效應(yīng)項.A,Z,Qα分別對應(yīng)母核的質(zhì)量數(shù)、電荷數(shù)和對應(yīng)的α 衰變能.a,b,c,d和h為可調(diào)參數(shù)，由大量實驗數(shù)據(jù)擬合得到，其值分別取a=?26.812 5，b=?1.125 5，c=1.605 7，d=0.051 3.母核為偶-偶核、奇-偶核、偶-奇核和奇-奇核時h分別取0，0.362 5，0.281 2和0.748 6[20].

（2）VSS公式(Viol a-Seabor g Semi-empir ical r el at ionship)Viola等[10]在Geiger-Nuttal公式的基礎(chǔ)上提出了描述原子核α 衰變半衰期The Viola-Seaborg Semi-empirical relationship(VSS)公式：

其中Z為母核的原子序數(shù)，Qα為母核對應(yīng)的α衰變能，單位為MeV,a,b,c和d為可調(diào)參數(shù)，由大量實驗數(shù)據(jù)擬合得到，hlog是由未配對核子引起的阻塞效應(yīng)項.參數(shù)a,b,c,d分別取1.661 75，-8.516 6，-0.202 8，-33.9069.母核為偶-偶核、奇-偶核、偶-奇核和奇-奇核時hlog分別取0，0.772，1.066和1.114[14].

2 結(jié)果分析

采用統(tǒng)一裂變模型（UFM），我們計算了Pb同位素鏈(178≤A≤220）的α 衰變半衰期，計算過程中考慮預(yù)形成因子的影響，同時也采用了較為廣泛描述α 衰變半衰期的2個解析公式，即推廣的Royer（G-Royer）公式和VSS公式進(jìn)行計算.計算結(jié)果見表1，第1、2列分別為Pb核質(zhì)量數(shù)、中子數(shù)；第3列是Pb同位素鏈的α衰變能實驗值，取自原子核質(zhì)量數(shù)據(jù)表AME2016[21]；第4列為α衰變過程中α 粒子帶走最小軌道角動量，由母核和子核基態(tài)宇稱和自旋通過公式(2)計算得到，原子核基態(tài)自旋宇稱取自實驗數(shù)據(jù)表NUBASE2016[22]；第5～8列分別為Pb同位素鏈的α 衰變半衰期實驗值[18]、VSS公式計算值、G-Royer公式計算值和UFM計算值以10為底的對數(shù)值.為了檢驗?zāi)Ｐ秃徒馕龉接嬎阒蹬c實驗值之間的偏差，我們計算了α 衰變半衰期計算值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，由于實驗值只有18個核，因此，計算了這18個核對應(yīng)衰變的計算值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，具體計算公式

表1 Pb同位素鏈(178≤A≤220)α 衰變半衰期的實驗值和UFM模型、G?Royer公式和VSS公式計算結(jié)果的對比Tab.1 The comparsion of the caculated α decay half-lives of 178—220Pb isotopes with expeimental values and with the values of UFM,G-Royer and VSS

續(xù)表1

對應(yīng)半衰期以10為底對數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：VSS公式是1.533 9，G-Royer公式是0.818 9，考慮預(yù)形成因子的UFM模型是0.910 5. 由計算結(jié)果可見，利用UFM模型計算結(jié)果比Santhosh 等利用庫倫和親近勢模型計算結(jié)果要好[15].同時可以看出考慮了離心勢對α 衰變半衰期的影響后，G-Royer公式要比未考慮離心勢的VSS公式更符合實驗值.由此可見，對于α 粒子帶走軌道角動量不為0的α 衰變，離心勢在計算α衰變半衰期時不能被忽略，是因為α 粒子帶走軌道角動量不為0，總勢能中將包含離心勢，引起勢壘高度變高，α 粒子穿透勢壘幾率將會變小，導(dǎo)致半衰期變大.通過UFM模型計算的結(jié)果與實驗對比來看，標(biāo)準(zhǔn)偏差相比G-Royer公式要大，原因是我們所采用的預(yù)形成因子是常數(shù)，來自the Density-Dependent Cluster Model (DDCM)擬合數(shù)據(jù)[19]，因此要得到更加符合實驗數(shù)據(jù)的預(yù)形成因子，需根據(jù)模型自身進(jìn)行預(yù)形成因子的擬合.整體而言，在一定程度上UFM模型能夠很好再現(xiàn)實驗數(shù)據(jù).因此預(yù)測數(shù)據(jù)具有一定的可信度.圖1給出了178～220Pb同位素鏈α 衰變半衰期的各理論計算值與實驗值隨中子數(shù)變化情況，其中黑色正方點(diǎn)代表VSS公式計算值，紅色圓點(diǎn)代表推廣Royer（G-Royer）公式計算值，綠色倒三角形代表統(tǒng)一裂變模型（UFM）計算值，藍(lán)色五角星代表實驗值（Exp.），實驗值取自實驗數(shù)據(jù)表NUBASE2016[22].在圖1中可以看出Pb同位素鏈的α衰變半衰期的對數(shù)隨著中子數(shù)的增加逐漸增大，到達(dá)最大值后又迅速下降，到達(dá)極小值后又開始增加，最大值和極小值的出現(xiàn)反映了母核和子核的結(jié)構(gòu)相關(guān)信息.lg(T1/2/s） 最大值在207Pb（Z=82，N=125）核處，因為它本身接近雙幻核208Pb.同樣l g(T1/2/s） 極 小值在210Pb核處，因為它的α衰變子核是206Hg（Z=80，N=126）接近雙幻核.這2種結(jié)果都表明中子殼結(jié)構(gòu)在α 衰變過程中的作用.同時根據(jù)UFM模型的可靠性給出了自然界存在的4種天然204,206～208Pb的 α 半衰期，其值與Beeman等[16]使用高度靈敏儀器測量的半衰期下限有很大的偏差，與Santhosh等[15]理論計算結(jié)果接近.由于統(tǒng)一裂變模型和2個解析公式的大多數(shù)計算值與已知的實驗半衰期吻合得很好，因此其預(yù)測結(jié)果有一定的可靠性，利用UFM模型和2個解析公式對未知核193,195,197～209,211～220Pb的α 衰變半衰期作了預(yù)測，預(yù)測值見表1.

圖1 17 8～2 2 0Pb同位素鏈的α 衰變半衰期的理論計算值的對比（半衰期T1/2單位：s）Fi g.1 The comparison of the calculated α decay half-lives of 178—220Pb isotopes(T 1/2is in seconds)

3 總結(jié)

在統(tǒng)一裂變模型下考慮α 衰變預(yù)形成因子的影響，系統(tǒng)地計算了178～220Pb同位素鏈的α 衰變半衰期，并用包含離心勢的G-Royer公式和VSS公式進(jìn)行了計算，將計算結(jié)果與實驗值進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明包含離心勢的G-Royer公式比不含離心勢的VSS公式的計算結(jié)果更符合實驗數(shù)據(jù)，說明離心勢在α 衰變過程中的重要作用. 并分析了207,210Pb對應(yīng) α 衰變半衰期極大和極小值的原因. 實驗值與理論計算值較好的一致性表明統(tǒng)一裂變模型、G-Royer公式和VSS公式對于Pb同位素鏈的α 衰變半衰期的計算有一定的可靠性，利用統(tǒng)一裂變模型和2個解析公式對未知核193,195,197～209,211～220Pb的α 衰變半衰期作了預(yù)測，預(yù)測值能為實驗工作提供一定的理論參考.