房春梅

(集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000)

非線性微分方程在非線性科學(xué)中的作用越來(lái)越明顯,特別是解析解的構(gòu)造.目前,在幾代專家的不斷努力下,發(fā)展了大量構(gòu)造微分方程解析解的有效方法[1-5].Nakamura利用黎曼 theta函數(shù)的擬周期性和Hirota直接法提出了一種求非線性微分方程擬周期波解的簡(jiǎn)單方法[6].范恩貴和田守富等人將此方法進(jìn)行改進(jìn)并求得了很多微分方程的周期波解[7-10].此外,近期人們得到了(3+1)維爆破孤子方程[11]、Boussinesq方程[12]、耦合雙線性方程[13]、Toda-型方程[14]等的N周期波解.

(2+1)維Sawada-Kotera方程(SK)方程[15]為如下所示:

它是著名的劉維爾場(chǎng)論的守恒流方程,廣泛應(yīng)用于亞臨界弦,二維量子引力規(guī)范場(chǎng)論,共形場(chǎng)論和非線性科學(xué)等物理分支.對(duì)于SK方程,文獻(xiàn)[16]利用τ函數(shù)獲得了貝克隆變換和Lax對(duì),其行波解[17]、呼吸波解[18]、lump解和共振條狀孤子解[19]、Painleve性質(zhì)[20]、新的雙線性貝克隆變換[21]、多孤子解[22]、初邊值問(wèn)題與darboux-levi型變換[23]以及一些其它孤波解被成功地獲得[24-27].但其黎曼theta函數(shù)周期波解還沒(méi)有得到.該文構(gòu)造了SK方程的雙線性表示,孤子解和黎曼theta函數(shù)周期波解,并給出了周期波解和孤子解之間的關(guān)系.

1 (2+1)維SK方程的雙線性形式和孤子解

這一節(jié),構(gòu)造了SK方程的雙線性形式和孤子解,下面簡(jiǎn)要介紹如何利用Bell多項(xiàng)式得到方程(1)的雙線性表示式.為了找到式(1)的雙線性表示式,引入以下變換:

u=c(t)qxx,

(2)

其中c(t)是一個(gè)待定函數(shù).將變換式(2)代入式(1),得到：

對(duì)式(3)關(guān)于x積分一次變成：

5c(t)2q2xq4x-5c(t)2q2xqx,y+5c(t)q2y-δ=0,

(4)

其中δ是一個(gè)積分常數(shù).假設(shè)c(t)=1則方程(4)變?yōu)?/p>

利用P-多項(xiàng)式,等式(5)可以表示為

E(q)=Px,t(q)-P6x(q)+5P2y(q)-5P3x,y(q)-δ=0.

(6)

根據(jù)貝爾多項(xiàng)式的相關(guān)性質(zhì),并進(jìn)行如下變換：

q=2(lnf)?u=c(t)q2x=2(lnf)xx.

(7)

可得到SK方程的雙線性表示式為如下所示：

接下來(lái),將利用SK方程(1)的雙線性表示式構(gòu)造它的N階孤子解.在式(8)中令δ=0,并假設(shè)f可以按參數(shù)ε展開(kāi)成級(jí)數(shù)為

根據(jù)Hirota直接法,結(jié)合雙線性表示式(8)和式(9),通過(guò)計(jì)算很容易得到式(1)式的N階孤子解為

其中：

當(dāng)N=1時(shí),得到SK方程的一階孤子解為

u=2[ln(1+eη)]xx.

(12)

其中:

η=px+qy+ωt+η(0),ω=p5+5p2q-5q2p-1.

當(dāng)N=2時(shí),二階孤子解為

u=2[ln(1+eη1+eη2+eη1+η2+A12)]xx.

(13)

其中:

(2+1)維SK方程的一階和二階孤立波解的空間傳播圖如圖1和圖2所示.

2 (2+1)-維 SK方程的周期波解

在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上,獲得SK方程的黎曼theta函數(shù)周期波解.黎曼theta函數(shù)定義為

其中n=(n1,n2,…,nN)T∈ZN是N階整數(shù)值向量，ξ=(ξ1,ξ2,…,ξN)T∈CN是N階復(fù)相位變量.特別地,令N=1時(shí),黎曼theta函數(shù)為

其中相位變量ξ=kx1+lx2+…+ρxN+ωt+ε,且Im(τ)>0.

當(dāng)N=2時(shí),黎曼theta函數(shù)表示為

其中變量ξi=kix1+lix2+…+ρixN+ωit+εi,i=1,2,n=(n1,n2)T∈Z2,ξ=(ξ1,ξ2)∈C2,且-iτ是一個(gè)實(shí)值正定對(duì)稱2×2矩陣，表示為

定理1設(shè)?(ξ,τ)是N=1,ξ=kx+ly+ωt+ε時(shí)的黎曼theta函數(shù),則SK方程的一階周期波解為

(18)

其中:

且

其中k,ε,τ為自由參數(shù).

結(jié)合式(21)和式(8),可以得到以下結(jié)果:

20(2n-1)2π2l2,+δ)eπi(2n2-2n+1)τ=0.

(22)

根據(jù)表達(dá)式(20)、等式(22)可以重寫(xiě)為如下形式:

解上述方程組,可得到方程(1)的周期波解為

(24)

其中?(ξ,τ)由式(15)給出，k,ε,τ是自由參數(shù).

類似于上述求一階周期波解的過(guò)程,可以得到關(guān)于二階周期波解的如下定理.

在原有通信實(shí)訓(xùn)室基礎(chǔ)之上，新建移動(dòng)無(wú)線網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中心。以移動(dòng)無(wú)線網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化為主要建設(shè)內(nèi)容。學(xué)員可通過(guò)各種網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化工具進(jìn)行系統(tǒng)采集移動(dòng)無(wú)線網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)、定點(diǎn)路測(cè)數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)分析及優(yōu)化等實(shí)訓(xùn)，實(shí)訓(xùn)場(chǎng)地及設(shè)備按照企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)要求設(shè)置，形成真實(shí)的職業(yè)環(huán)境。

定理2設(shè)?(ξ,τ)是N=2,ξi=kix+liy+ωit+εi,i=1,2,時(shí)的黎曼theta函數(shù),則SK方程的二階周期波解為

(25)

其中參數(shù)ω1,ω2,u0,δ滿足下面關(guān)系式：

H(ω1,ω2,u0,δ)T=b,

(26)

而且

H=(hij)4×4,b=(b1,b2,b3,b4)T,

(27)

證明根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的定理2,參數(shù)ki,li,ωi和εi滿足下面的方程組:

下面引入以下變換來(lái)構(gòu)造SK方程的更一般的雙線性形式,設(shè):

將上式代入式(1)中并關(guān)于x積分一次,可以很容易地得到SK方程更廣義的雙線性表示式為

此外,根據(jù)式(28)以及廣義雙線性形式,可以得到下面的4個(gè)等式:

80π4〈2n-θi,k〉3〈2n-θi,l〉-20π2〈2n-θi,l〉2+δ)×eπi[〈τ(n-θi),(n-θi)+(τn,n)〉]=0,

(30)

根據(jù)表達(dá)式(27),上面的方程組可以改寫(xiě)為

解式(31),可以得到方程(1)的以下二階周期波解:

(32)

其中?(ξ1,ξ2)由式(16)給出,ki,li,εi和τij是任意參數(shù).

(2+1)維SK方程的一階周期波解在參數(shù)k=0.2,l=0.3,τ=2i,ε=0以及二階周期波解在參數(shù)k1=0.01,k2=0.3,l1=0.1,l2=-2,τ11=i,τ22=2i,ε1=ε2=0下的空間傳播圖如圖3和圖4所示.

3 漸近分析

下面將給出關(guān)于一階周期波解漸近性質(zhì)的定理及其詳細(xì)證明.

定理3假設(shè)(ω,δ)是方程組(23)的解,在一階周期波解式(18)中令

(34)

(35)

再利用文獻(xiàn)[8]中的公式(4.10)和(4.12),可以得到:

由文獻(xiàn)[8]中的命題3,進(jìn)一步可以得到:

再根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的(4.11)式,能得出:

(38)

δ→0,2πiω→p5+5p2q-5q2p-1.

(39)

為給出漸近關(guān)系,將周期函數(shù)?(ξ)展開(kāi)成如下形式:

(40)

(41)

?(ξ,τ)→1+eη.

(43)

4 結(jié)論

該文得到了SK方程(1)的兩類解,即N階孤子解(10)和黎曼theta函數(shù)解(18)、(25).從文中可以看出,非線性微分方程一旦寫(xiě)成雙線性形式,就可以分別用Hirota直接法和Hirota-黎曼theta函數(shù)相結(jié)合得到其孤子解和黎曼theta函數(shù)周期波解.孤子解和黎曼theta函數(shù)解之間似乎沒(méi)有什么聯(lián)系,但是從定理3可以看出,黎曼theta函數(shù)周期波解在某些極限條件下趨向于對(duì)應(yīng)的孤子解.