林光偉，王 珊，高俊偉，張西亞，高德東*

(1.青海大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，青海 西寧 810016； 2.陽(yáng)光能源(青海)有限公司，青海 西寧 810000)

太陽(yáng)能高新技術(shù)與半導(dǎo)體技術(shù)應(yīng)用的不斷發(fā)展，要求硅晶體具有更高的品質(zhì)[1]，這是硅晶體生產(chǎn)過(guò)程中需要解決的重要問(wèn)題。由于硅晶體的質(zhì)量是依靠生產(chǎn)過(guò)程的工藝參數(shù)來(lái)決定[2]。因此，對(duì)硅晶體生長(zhǎng)過(guò)程的生長(zhǎng)參數(shù)進(jìn)行建模輸出，是提高晶體質(zhì)量的方式之一[3]。

在硅晶體生長(zhǎng)參數(shù)的研究中，前人主要從溫度以及生長(zhǎng)速度兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。這是因?yàn)闇囟鹊姆植紩?huì)影響晶體中點(diǎn)缺陷和原子氧的形成、擴(kuò)散和聚集，同時(shí)會(huì)影響晶體冷卻過(guò)程中產(chǎn)生的殘余應(yīng)力[4-5]。而均勻的晶體生長(zhǎng)速度能讓結(jié)晶過(guò)程穩(wěn)定進(jìn)行并提高晶體質(zhì)量。因此,Natsume等[6]研究了硅晶體生長(zhǎng)速率與溫度梯度的關(guān)系，建立了晶體生長(zhǎng)過(guò)程的體積輻射傳熱模型，采用體輻射算法對(duì)參與的不規(guī)則殼體進(jìn)行輻射分析，達(dá)到了預(yù)測(cè)晶體生長(zhǎng)爐內(nèi)的溫度分布的目的。Winkler等[7-8]提出了一種基于模型的晶體生長(zhǎng)過(guò)程控制的新方法，該方法將非線性模型的控制器作為控制系統(tǒng)的核心并與傳統(tǒng)的PID控制器相結(jié)合使用，實(shí)現(xiàn)了對(duì)晶體直徑和生長(zhǎng)速率軌跡的跟蹤。此外，還實(shí)現(xiàn)了從稱重信號(hào)重建晶體半徑和晶體生長(zhǎng)速率。Neubert等[9-10]使用復(fù)雜的非線性模型和傳統(tǒng)線性PID控制器的組合來(lái)跟蹤晶體半徑和生長(zhǎng)速率，并且以加熱功率和提拉速度作為操縱變量，實(shí)現(xiàn)控制作用。Abdollahi等[11]建立了晶體生長(zhǎng)和半徑生長(zhǎng)的幾何模型，并設(shè)計(jì)線性化的控制器來(lái)調(diào)節(jié)和跟蹤所需的參考晶體半徑，為晶體生長(zhǎng)和溫度調(diào)節(jié)的復(fù)雜耦合系統(tǒng)提供了一個(gè)統(tǒng)一的調(diào)節(jié)框架。劉兵[12]在對(duì)熱場(chǎng)的控制系統(tǒng)進(jìn)行研究時(shí)，分析了生長(zhǎng)晶體的熱傳遞示意圖，以及晶體的熱傳導(dǎo)方程，以此導(dǎo)出了晶體中溫度矢量沿軸向和徑向的分量。段偉峰等[13]在對(duì)硅單晶等徑階段直徑模型辨識(shí)與控制研究中，分析了在固液界面處能量的流動(dòng)傳遞情況，建立了晶體直徑、晶體提拉速度以及熱場(chǎng)溫度三者之間的關(guān)系，最終得到了晶體直徑的表達(dá)方程。周耐根等[14]從分子動(dòng)力學(xué)的角度出發(fā)，分析了晶體的生長(zhǎng)速率與溫度的關(guān)系式，研究了硅晶體生長(zhǎng)速率與過(guò)冷度的關(guān)系，得出在晶體生長(zhǎng)時(shí)，過(guò)冷度越大，晶體的生長(zhǎng)速率越快。

但是考慮到在硅晶體生長(zhǎng)過(guò)程中有固液氣相混合熱傳遞、熔體流動(dòng)、固液界面的熱力學(xué)現(xiàn)象和提拉生長(zhǎng)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)存在，使得硅晶體生長(zhǎng)研究在數(shù)值求解上依舊具有一定的復(fù)雜性[15]。最近有學(xué)者在晶體生長(zhǎng)過(guò)程自動(dòng)化的研究中[16]，建立降階模型作為數(shù)值模型監(jiān)測(cè)和控制的基礎(chǔ)，以達(dá)到輸出生長(zhǎng)參數(shù)的目的。因此，基于簡(jiǎn)化的數(shù)值模型對(duì)求解晶體生長(zhǎng)內(nèi)部參數(shù)有重要作用，本文建立的非線性化數(shù)值模型將加熱器的熱量作為主要輸入，將硅晶體生長(zhǎng)速度及內(nèi)部溫度梯度作為目標(biāo)對(duì)象進(jìn)行輸出，以實(shí)現(xiàn)對(duì)晶體生長(zhǎng)過(guò)程的分析，從而提高晶體的最終質(zhì)量。

1 數(shù)值模型建立

1.1晶體生長(zhǎng)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)分析在硅晶體的生長(zhǎng)過(guò)程中，最常用的方法是直拉法。在籽晶棒的牽引下，晶體被緩慢拉出熔體的同時(shí)在固液界面處發(fā)生凝固，由于機(jī)械裝置的持續(xù)提拉，晶體獲得不斷的生長(zhǎng)。要建立數(shù)值模型對(duì)晶體生長(zhǎng)過(guò)程進(jìn)行研究，需要分析晶體生長(zhǎng)工藝過(guò)程，并處理重要的物性參數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)晶體生長(zhǎng)過(guò)程中的溫度分布及晶體生長(zhǎng)速度的輸出?？紤]到硅晶體等徑生長(zhǎng)過(guò)程，即晶體直徑穩(wěn)定的生長(zhǎng)階段，各工藝參數(shù)與生長(zhǎng)參數(shù)相對(duì)穩(wěn)定，因此以下數(shù)值模型的分析與建立以等徑生長(zhǎng)階段為主。圖1為硅晶體生長(zhǎng)過(guò)程的簡(jiǎn)化模型，多晶硅原料在坩堝中受到加熱器的輻射加熱，溫度升高熔化形成硅熔體，種晶之后在晶體生長(zhǎng)界面處凝固結(jié)晶形成硅晶體。同時(shí)，晶體與坩堝在不同方向具有一定的旋轉(zhuǎn)速度，以保證晶體生長(zhǎng)的穩(wěn)定進(jìn)行。圖1中，Ml為熔體質(zhì)量，Md為彎月面質(zhì)量，Ms為晶體的質(zhì)量。因此，在初始200 kg的投料量下，從硅熔體凝固結(jié)晶為最終的晶體，忽略結(jié)晶過(guò)程的少量損失，整個(gè)生長(zhǎng)過(guò)程始終處于質(zhì)量守恒狀態(tài)。考慮到晶體的質(zhì)量與晶體的生長(zhǎng)速度有緊密關(guān)系，因此深入到硅晶體生長(zhǎng)的微觀界面(圖2)，把晶體作為單獨(dú)分析對(duì)象，晶體在生長(zhǎng)過(guò)程中，在豎直方向上受到向上的提拉力F和浮力Ff，向下有晶體下表面受到的表面張力Fm和自身的重力G，進(jìn)一步在力的矢量方向中進(jìn)行表示。而晶體的生長(zhǎng)速度vS受提拉速度vp、硅熔體液面下降速度vl、結(jié)晶速度vd及坩堝上升速度vc的共同影響，在速度矢量方向中表示。

圖1 硅晶體生長(zhǎng)二維簡(jiǎn)化模型Fig.1 Two-dimensional simplified model of silicon crystal growth

圖2 硅晶體生長(zhǎng)微觀界面Fig.2 Micro interface of silicon crystal growth

根據(jù)動(dòng)力學(xué)原理，在豎直方向上建立方程式為：

(1)

式中：Fm′為晶體下表面受到的張力在豎直方向上的分力，有Fm′=Fmcos(aC+aO)，aC與aO分別為傾斜角和晶體生長(zhǎng)角。在晶體生長(zhǎng)過(guò)程中，自身的重力不斷增大，與重力呈線性關(guān)系的浮力與表面張力也隨之增大，因此假定在豎直方向上的重力、浮力及表面張力互相抵消，可以得到：

(2)

隨著結(jié)晶生長(zhǎng)過(guò)程的不斷發(fā)生，為保證生長(zhǎng)界面始終處于同一水平位置，需要上升坩堝位置來(lái)彌補(bǔ)坩堝內(nèi)熔體液面的下降，因此鍋升速度vc方向向上。由于凝固結(jié)晶的速度vd及提拉速度vp的方向都為向上，坩堝內(nèi)硅熔體液面下降速度vl向下。則，晶體生長(zhǎng)速度vS表示為：

vS=vp+vl-vd-vC

(3)

在硅晶體的等徑生長(zhǎng)階段，外部提拉速度保持恒定，提拉速度與坩堝的上升速度為常數(shù)，且有工藝參數(shù)堝跟比，即vp/vc=K為定值。

(4)

式中：ρS為晶體密度；晶體的半徑為r；提拉力F(t)和晶體生長(zhǎng)速度vS(t)都與時(shí)間相關(guān)。通過(guò)晶體生長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程分析，實(shí)現(xiàn)了外部提拉力與晶體生長(zhǎng)速度的動(dòng)態(tài)過(guò)程建立。

1.2晶體生長(zhǎng)過(guò)程的熱量流動(dòng)分析進(jìn)一步為找到溫度分布與生長(zhǎng)速度的關(guān)系，需要引入熱量的傳遞，耦合動(dòng)力學(xué)以實(shí)現(xiàn)對(duì)晶體生長(zhǎng)速度及溫度梯度的輸出。由于數(shù)值模型的建立是基于等徑生長(zhǎng)過(guò)程，此過(guò)程熱場(chǎng)處于熱平衡，溫度場(chǎng)處于穩(wěn)定態(tài)，因此以加熱器的輸出熱量流經(jīng)晶體生長(zhǎng)界面，到達(dá)晶體內(nèi)部的流動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析。根據(jù)圖3所示的硅晶體生長(zhǎng)過(guò)程的熱量流圖，熱量傳遞以熱輻射和熱傳導(dǎo)為主。加熱器的熱量輻射到坩堝，坩堝通過(guò)熱對(duì)流及熱傳導(dǎo)加熱硅熔體，硅熔體溫度升高在生長(zhǎng)界面處凝固結(jié)晶形成硅晶體。

圖3 硅晶體生長(zhǎng)過(guò)程的熱量流圖Fig.3 Heat flow diagram of silicon crystal growth

依據(jù)上述分析，建立熱平衡方程式。

加熱器輻射到坩堝的熱量Qt計(jì)算[17]如下：

Qt=Aσε(T12-T22)=k1Qh

(5)

式中：A為輻射到坩堝外壁面積；σ為Stefan-Boltzmann常量；ε為石墨加熱器發(fā)射率；T1為加熱器表面溫度；T2為坩堝所處的環(huán)境溫度；Qh為加熱器輸出熱量，與加熱器的功率相關(guān)。

加熱器輻射于坩堝外壁的熱量通過(guò)熱對(duì)流及熱傳導(dǎo)傳遞到熔體，而到達(dá)熔體的熱量，一部分會(huì)通過(guò)熔體的自由表面耗散，則到達(dá)生長(zhǎng)界面的熱量Ql=k2Qt。考慮到熔體內(nèi)部的熱對(duì)流過(guò)程及其復(fù)雜，采用此公式可以不用分析復(fù)雜的對(duì)流換熱過(guò)程，通過(guò)熔體自由表面的溫度計(jì)算出耗散的熱量，計(jì)算出到達(dá)生長(zhǎng)界面處的剩余熱量。

由于晶體凝固結(jié)晶時(shí)會(huì)釋放結(jié)晶潛熱Qf，其中Qf=ρSπr2vdΔH，因此，到達(dá)晶體內(nèi)部的熱量QS為：

QS=Qf+Ql=Qf+k1k2Qh

(6)

聯(lián)立式(3)與式(6)，則：

QS-kQh=ρSπr2ΔH((1-K)vp+vl-vS)

(7)

式中：k=k1k2為定值常數(shù)，ΔH為潛熱。根據(jù)式(7)，建立了晶體生長(zhǎng)過(guò)程的熱量輸入與晶體生長(zhǎng)速度的關(guān)系。因此，將熱量作為模型的輸入，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)晶體生長(zhǎng)速度的輸出。但為了對(duì)晶體生長(zhǎng)的溫度梯度進(jìn)行輸出，在式(7)基礎(chǔ)上，還需進(jìn)一步建立與晶體的內(nèi)部溫度梯度的聯(lián)系。根據(jù)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)中晶體內(nèi)的熱傳導(dǎo)方程，得到晶體內(nèi)部的溫度梯度沿軸向分量為[18]：

(8)

式中：h為晶體與環(huán)境的熱交換系數(shù)與晶體本身的熱傳導(dǎo)系數(shù)的比值，為定值常數(shù)；x表示晶體在半徑方向的距離。因此，式(8)可以求解出在半徑方向上任意位置的溫度梯度，但考慮到實(shí)際晶體生長(zhǎng)過(guò)程中，紅外溫度測(cè)量?jī)x器對(duì)晶體表面的溫度測(cè)量比較準(zhǔn)確，為后續(xù)更好的比較模型與實(shí)際晶體生長(zhǎng)的溫度差異，因此以x=r處作為模型的溫度輸出點(diǎn)，輸出晶體表面溫度梯度為：

(9)

1.3硅晶體生長(zhǎng)的溫度梯度及生長(zhǎng)速度數(shù)值模型式(4)和式(9)分別建立了提拉力與晶體生長(zhǎng)速度、加熱器熱量與晶體的生長(zhǎng)速度及晶體溫度梯度的關(guān)系。因此，將加熱器的熱量及外部提拉力作為模型輸入，晶體的溫度梯度及生長(zhǎng)速度作為輸出，建立數(shù)值模型，實(shí)現(xiàn)非線性化的輸入輸出。

考慮到外部提拉力是根據(jù)晶體的質(zhì)量增大而均勻增大，因此在設(shè)置外部提拉力F(t)時(shí)，采用的方式是將實(shí)際生長(zhǎng)過(guò)程中提拉力數(shù)值擬合成線性函數(shù)，再作為模型輸入。而對(duì)Qh(t)輸入采取的是對(duì)加熱器的功率轉(zhuǎn)化成熱量再輸入。

在式(4)的基礎(chǔ)上，可以得到：

(10)

在式(9)的基礎(chǔ)上，可以得到：

(11)

模型建立是在等徑生長(zhǎng)過(guò)程的封閉邊界條件下，此時(shí)外部提拉保持恒速，晶體的生長(zhǎng)半徑為均勻半徑，堝跟比固定，熔體高度均勻下降。因此，依據(jù)數(shù)值模型，在輸入外部提拉力及加熱器熱量的情況下，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)晶體的溫度梯度及生長(zhǎng)速度的輸出。

2 數(shù)值仿真與計(jì)算參數(shù)

為驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，采用FLUENT軟件對(duì)上述的數(shù)值模型進(jìn)行仿真。仿真以CL120-97爐的二維爐體幾何結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，主要部件為熱屏、單晶硅、石英坩堝、熔體硅、加熱器、保溫炭氈、鍋幫等，物性參數(shù)如表1。將爐體進(jìn)行四邊形網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格總計(jì)37 152個(gè)(圖4)。

圖4 單晶爐網(wǎng)格化Fig.4 Gridding of single crystal furnace

表1 晶體生長(zhǎng)參數(shù)

由于數(shù)值模型只建立于晶體生長(zhǎng)的等徑階段，該階段中的單晶爐加熱器功率輸入恒定，晶體穩(wěn)定生長(zhǎng)。因此在模擬仿真時(shí)，保持單次實(shí)驗(yàn)的輸入功率穩(wěn)定，并且為了更加直觀的比較輸入功率對(duì)輸出參數(shù)的影響，設(shè)置加熱器輸入功率為37.5～40.5 kW。為進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)值模型極限條件，增加32.5 kW與50.5 kW作為輸入功率。

提拉力的大小與晶體的重量相關(guān)，隨著晶體質(zhì)量的增大而不斷增大。因此，根據(jù)陽(yáng)光能源(青海)有限公司所提供的提拉力數(shù)據(jù)，將晶體生長(zhǎng)過(guò)程中提拉力擬合成線性函數(shù)F(t)=1.286t+1.68(圖5)，并將u1(t)=F(t)設(shè)置為晶體內(nèi)部函數(shù)。

圖5 提拉力擬合函數(shù)Fig.5 Fitting function of lifting force

加熱器對(duì)熔體的加熱滿足熱輻射方程，熔體與晶體內(nèi)部傳熱滿足熱對(duì)流及熱傳導(dǎo)方程，模擬仿真中，熱對(duì)流采用層流模型，速度的解耦合采用SIMPLE算法，擴(kuò)散項(xiàng)的離散采用中心差分格式，對(duì)流項(xiàng)差分采用三階QUICK格式。計(jì)算條件：坩堝內(nèi)徑為533 mm，爐內(nèi)壓力為2 600 Pa，氬氣流量為50 L/min，生長(zhǎng)界面處的溫度為1 685 K，模型中的物性參數(shù)見(jiàn)表1，其他材料的參數(shù)在軟件中添加。模型仿真以晶體生長(zhǎng)的等徑階段為基礎(chǔ)，在不同的輸入功率下，研究分析晶體內(nèi)部溫度數(shù)值及生長(zhǎng)速度的變化。

3 結(jié)果與分析

3.1 溫度梯度結(jié)果對(duì)比

為達(dá)到仿真結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性，采用陽(yáng)光能源(青海)有限公司CL120-97單晶爐(圖6)，進(jìn)行相同環(huán)境的晶體生長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)。在實(shí)際晶體生長(zhǎng)中，采用高溫紅外測(cè)溫儀對(duì)晶體表面的溫度進(jìn)行測(cè)量，測(cè)溫儀的溫度測(cè)量為500 ℃到2 000 ℃，精度較好。對(duì)晶體的生長(zhǎng)速度的采集，先是通過(guò)布置在提拉桿上的速度傳感器得到提拉速度，然后在經(jīng)驗(yàn)公式的基礎(chǔ)上利用計(jì)算機(jī)計(jì)算出晶體生長(zhǎng)速度，最終通過(guò)顯示器顯示。在FLUENT軟件中，將晶體的溫度梯度數(shù)據(jù)輸出，仿真結(jié)果如表2，圖7a和圖7b為模型仿真結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的對(duì)比。為了對(duì)比驗(yàn)證數(shù)值模型的準(zhǔn)確性，將模型所得到的溫度數(shù)據(jù)與實(shí)際溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

圖6 實(shí)驗(yàn)用CL120-97單晶爐Fig.6 CL120-97 single crystal furnace for experiment

表2 不同加熱功率下硅晶體表面溫度數(shù)據(jù)

表2(續(xù))

圖7 等徑生長(zhǎng)過(guò)程中的溫度Fig.7 Temperature during equal diameter growth

考慮到晶體生長(zhǎng)過(guò)程中，溫度梯度分布越均勻，晶體生長(zhǎng)方向上溫度線性化程度越高，所生長(zhǎng)出的晶體質(zhì)量越好。因此，采用線性度方程δ=1-Δy/y×100%，進(jìn)一步擬合模型與實(shí)際生長(zhǎng)的溫度梯度線性程度。根據(jù)圖7a，溫度與擬合直線最大偏差為Δy1=53 Κ，溫度y1=226 Κ，計(jì)算出δ1=76.5%；圖7b，溫度與擬合直線最大偏差為Δy2=34 Κ，溫度y2=218 Κ，計(jì)算出δ2=84.4%。因此，得到數(shù)值模型與實(shí)際晶體生長(zhǎng)的溫度線性化程度相差W2=δ2-δ1=7.9%。

以上通過(guò)溫度梯度誤差及溫度線性化程度分析，發(fā)現(xiàn)模型與實(shí)際晶體生長(zhǎng)得到的溫度數(shù)據(jù)誤差為6.83%，線性化程度相差7.9%。在忽略外界干擾對(duì)于晶體溫度的影響下，通過(guò)該數(shù)值模型所得到的溫度接近于實(shí)際數(shù)據(jù)，能夠反饋于模型輸入，進(jìn)一步通過(guò)調(diào)整數(shù)值模型的輸入，即調(diào)整功率及提拉力，實(shí)現(xiàn)調(diào)節(jié)晶體的溫度分布。

3.2 生長(zhǎng)速度結(jié)果對(duì)比

通過(guò)FLUENT軟件的仿真模擬，將晶體的移動(dòng)速度作為晶體的生長(zhǎng)速度輸出，仿真結(jié)果見(jiàn)表3。為避免功率對(duì)晶體生長(zhǎng)速度產(chǎn)生的影響，在仿真和實(shí)際晶體生長(zhǎng)前半段時(shí)間，輸入功率保持為39.5kW，結(jié)果對(duì)比如圖8a和圖8b，將模型得到的生長(zhǎng)速度與實(shí)際生長(zhǎng)速度進(jìn)行分析。

表3 不同加熱功率下硅晶體的生長(zhǎng)速度

圖8 等徑生長(zhǎng)過(guò)程中功率與晶體生長(zhǎng)速度的關(guān)系Fig.8 Relationship between power and crystal growth rate during equal diameter growth

生長(zhǎng)速度的線性化程度越高，則速度的波動(dòng)越小，晶體生長(zhǎng)越穩(wěn)定。因此，同樣采用線性度方程δ=1-Δy/y×100%，分析模型與實(shí)際生長(zhǎng)速度的線性程度。圖8a和圖8b為不同輸入功率下晶體的生長(zhǎng)速度情況，對(duì)比速度波動(dòng)最大時(shí)，兩者的線性化程度，因此選取輸入功率為32.5 kW時(shí)進(jìn)行計(jì)算線性化程度。根據(jù)圖8a生長(zhǎng)速度與擬合直線最大偏差為Δy3=0.046 mm/min，速度波動(dòng)y3=0.24 mm/min，計(jì)算出δ3=80.8%。根據(jù)圖8b生長(zhǎng)速度與擬合直線最大偏差為Δy4=0.084 mm/min，速度波動(dòng)y4=0.3 mm/min，計(jì)算出δ4=72%。得到數(shù)值模型與實(shí)際晶體生長(zhǎng)速度的線性化程度相差W4=δ3-δ4=8.8%。

通過(guò)生長(zhǎng)速度的誤差以及線性化程度分析，模型所得到的生長(zhǎng)速度與實(shí)際晶體生長(zhǎng)誤差為1.67%，線性化程度差異為8.8%，表明該模型所得到的輸出結(jié)果與實(shí)際晶體生長(zhǎng)速度相當(dāng)接近，能夠作為理論分析的基礎(chǔ)。同時(shí)，實(shí)際晶體生長(zhǎng)的線性化程度低于80%，而模型得到的線性化程度為80.8%，這是因?yàn)樵趯?shí)際的晶體生長(zhǎng)過(guò)程中，會(huì)受到氬氣流動(dòng)和熔體液面波動(dòng)等因素的影響，導(dǎo)致晶體生長(zhǎng)速度不穩(wěn)定，所以進(jìn)一步可以得出，數(shù)值模型所得到的數(shù)據(jù)相對(duì)實(shí)際晶體生長(zhǎng)避免了環(huán)境因素的影響，更接近理想晶體生長(zhǎng)速度，對(duì)反饋指導(dǎo)實(shí)際晶體生長(zhǎng)過(guò)程更有意義。

4 討論與結(jié)論

本文考慮到硅晶體生長(zhǎng)過(guò)程中晶體的溫度梯度以及生長(zhǎng)速度對(duì)晶體最終質(zhì)量的影響，因此建立數(shù)值模型輸出兩個(gè)參數(shù)，并在不同的加熱器功率下，將模型結(jié)果與實(shí)際晶體生長(zhǎng)過(guò)程對(duì)比。與Abdollahi等[11]建立的數(shù)值模型不同，該模型通過(guò)調(diào)整加熱器功率、外部提拉力來(lái)彌補(bǔ)外部干擾對(duì)晶體生長(zhǎng)產(chǎn)生的影響，優(yōu)化了晶體生長(zhǎng)環(huán)境。同時(shí)，該數(shù)值模型與Natsume等[6]研究的硅晶體生長(zhǎng)速率與溫度梯度模型相比，能更為簡(jiǎn)潔的得出硅晶體軸向溫度的分布，達(dá)到預(yù)測(cè)晶體生長(zhǎng)過(guò)程中溫度梯度的作用。因此，與以往研究的晶體生長(zhǎng)模型相比，該模型簡(jiǎn)化復(fù)雜的熱質(zhì)運(yùn)輸，考慮用于晶體生長(zhǎng)的熱量及外部體力動(dòng)力，實(shí)現(xiàn)晶體生長(zhǎng)過(guò)程的建模，同時(shí)該模型可以調(diào)節(jié)硅晶體生長(zhǎng)過(guò)程中的熱量輸入，減少在晶體生長(zhǎng)過(guò)程中所受到的干擾影響，保證晶體生長(zhǎng)過(guò)程中處于穩(wěn)定的生長(zhǎng)速度及均勻的溫度環(huán)境，對(duì)晶體生長(zhǎng)數(shù)值模型的優(yōu)化求解具有重要作用。

最終通過(guò)數(shù)值模型所輸出的晶體溫度梯度與實(shí)際晶體生長(zhǎng)溫度梯度的數(shù)據(jù)誤差為6.83%，溫度梯度的線性化程度相差為7.9%。所輸出的晶體生長(zhǎng)速度數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差為1.67%，線性化程度相差8.8%，在未考慮外界干擾對(duì)于溫度產(chǎn)生的影響下，模型所得到的溫度數(shù)據(jù)接近實(shí)際晶體生長(zhǎng)數(shù)據(jù)，速度波動(dòng)范圍小，數(shù)值模型得到的線性化程度好。表明該數(shù)值模型具有良好的一致性和實(shí)際性，可以輸出接近實(shí)際生長(zhǎng)過(guò)程中的溫度梯度及生長(zhǎng)速度，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)指導(dǎo)晶體的生長(zhǎng)。

因此，本文所建立的硅晶體生長(zhǎng)溫度梯度及生長(zhǎng)速度的數(shù)值模型，實(shí)現(xiàn)了非線性化的輸入輸出，同時(shí)輸出的結(jié)果接近實(shí)際的數(shù)據(jù)。在該模型的基礎(chǔ)上，可以調(diào)節(jié)晶體生長(zhǎng)速度的穩(wěn)定與內(nèi)部溫度分布的均勻，減少晶體生長(zhǎng)過(guò)程中所受到的干擾，提高晶體的最終質(zhì)量。