曾俊豪

(中鐵四院集團南寧勘察設計院有限公司，廣西 南寧 530003)

0 引言

新建鐵路項目通常要將線路設計起點引入既有車站，與既有線按規(guī)定線間距并行一段距離；既有鐵路改、擴建工程也要先恢復既有線位和線形，二者都涉及到既有線測量與恢復。鐵路線路在日常運營中由于受到輪軌沖擊，軌枕上部巨大壓力向下傳導使得道床發(fā)生沉降，線路縱斷面在不同地質區(qū)段會不同程度偏離設計線位[1]?？v斷面變形累積會影響線路平順度和旅客乘車體驗，同時也為行車埋下安全隱患[2]?？v斷面擬合是通過上道測量既有線路的軌面高程，按照一定的方法(如最小二乘法)，將軌面高程點用一條連續(xù)、平滑的曲線連接起來，考慮規(guī)范約束，最終得到一條抬、落道工程量最小的縱斷面[3-4]，為既有線整正或新線引入提供依據(jù)。

既有線縱斷面擬合方法目前主要分為2類。①幾何特征法。該法的核心是將縱斷面根據(jù)線形特征進行準確分段，直線段主要計算斜率和截距，曲線段主要計算圓心、半徑[5-6]，通過最小二乘法逐段進行擬合，該法較依賴設計人員的經(jīng)驗去判斷變坡點或豎圓曲線起、終點的位置，且難以從全局確定最佳變坡點的位置。②組合優(yōu)化方法。該法通過建立數(shù)學模型將既有線擬合問題轉化為組合優(yōu)化問題，以抬、落道量最小為主要優(yōu)化目標、規(guī)范要求為約束條件，再通過啟發(fā)式算法或商業(yè)數(shù)學軟件[7]求解模型。其中遺傳算法作為一種基于遺傳機理的群體尋優(yōu)搜索算法，在公路縱斷面設計應用中已經(jīng)較為成熟[8-9]，在鐵路既有線設計與擬合方面的應用較少。通過嘗試將幾何特征法與組合優(yōu)化法相結合，充分挖掘縱斷面線形幾何特征，基于最小二乘法進行分段擬合，以變坡點位置為決策變量建立組合優(yōu)化模型，采用遺傳算法進行全局尋優(yōu)。

首先提出變坡點的漸進識別方法獲取所有可能的變坡點，并以此為分段依據(jù)提出基于最小二乘法的連續(xù)縱坡擬合方法和豎圓曲線分段計算方法，建立縱斷面擬合數(shù)學規(guī)劃模型，以可能變坡點里程作為決策變量，最小抬、落道量為優(yōu)化目標，規(guī)范相關規(guī)定為約束條件，結合問題特征設計遺傳算法進行求解，最后通過實例驗證模型與算法的高效性，方法可用于輔助工程設計。

1 基于回歸分析的縱斷面擬合方法

由現(xiàn)場實測的鐵路線路高程點是離散分布的，可大致反映既有縱斷面的線形特征，其中變坡點及兩側坡度決定了縱斷面的起伏狀態(tài)。基于最小二乘原理，提出的擬合方法首先是通過既有高程信息分段確定出可能的變坡點集合，再據(jù)此計算出各坡段的最佳坡度，最終得到擬合程度最高且連續(xù)的縱斷面。

1.1 變坡點漸進識別方法

(1)

P={mpk│|di|>|di-1|and |di|>|di+1|,i≠1,i≠n}?M

(2)

對可能變坡點的里程集合P的第k個元素mpk∈P按里程進行升序排列，當相鄰2個元素的差值乘積dmpk×dmpk+1<0，則保留可能變坡點mpk和mpk+1，否則剔除可能變坡點mpk+1，上述運算過程如圖1所示。

圖1 確定可能變坡點的位置示意

通過上述運算過程可得第一批可能變坡點，然后再按可能變坡點的里程集合P對全線里程進行分段，如圖1可分為：起點～變坡點1、變坡點1～變坡點2、變坡點2～終點共3段，再逐段按上述過程迭代運算，每迭代一次,按里程升序排列一次，直到終點段停止計算，實現(xiàn)變坡點的漸進識別。具體步驟如算法1所示，最終輸出幾何意義上可能成為變坡點的集合。

算法1 可能變坡點里程集合求解算法

輸入：線路里程M，既有高程E。

輸出：可能變坡點里程集合P。

初始化：P=Φ，擬合起點里程ms=m1，擬合終點里程mE=mn；

第1步：按式(1)對線路段ms～mE進行擬合；

第2步：從里程ms至mE按式(2)識別可能變坡點mpi；

第3步：判斷當差值乘積dmpk×dmpk+1<0時，則P∪mpk，P∪mpk+1；否則P∪mpk；

第4步：將集合P中的變坡點里程按升序排列；

第5步：按集合P中的變坡點進行分段，更新擬合起點里程ms和終點里程mE；

第6步：若已經(jīng)擬合到終點里程段，則返回可能變坡點里程集合P，否則返回第1步。

1.2 連續(xù)縱坡擬合

當相鄰坡段的最大坡度代數(shù)差小于規(guī)范規(guī)定時，連續(xù)縱坡的坡度擬合按求得的變坡點集合P逐坡段進行一維線性擬合，為保證坡段的連續(xù)性，前一坡段的終點將作為后一坡段的起點，如圖2所示?？赡茏兤曼c是根據(jù)既有高程數(shù)據(jù)計算得到的，對擬合而言設計高程與既有高程不一定相同，故為了線形擬合效果最佳，人工經(jīng)驗做法通常是在臨近可能變坡點之前或之后里程進行試算。一條既有線的縱斷面擬合起點第一個坡段的高程為既有測量值，其后的坡段都是以前一坡段終點里程的擬合高程作為起點高程。變坡點位置的選擇對其后的坡段的影響將傳播到線路終點。

圖2 連續(xù)縱坡擬合示意圖

1.3 豎圓曲線分段與計算

為了保證列車運行的平順性、安全性和旅客乘車舒適性，不同等級鐵路相鄰坡度差超過一定范圍時應采用圓曲線形豎曲線連接。豎圓曲線可表示為

(mi-mc)2+(ei-ec)2=R2

(3)

式中，mc、ec、R分別為豎圓曲線的圓心里程、圓心高程、半徑。

縱斷面設計階段根據(jù)相鄰坡度代數(shù)差確定圓曲線的參數(shù)，豎圓曲線的擬合則是根據(jù)離散測點數(shù)據(jù)去反推其參數(shù)與邊界。以圖3為例，點A、B、D分別為3個測點，其中D為可能變坡點mpk∈P，假設其都在圓曲線上，點C為圓曲線的切線交點，從幾何角度顯然有∠ADB>∠ACB，即通過與可能變坡點mpk連線得到的相鄰坡度差大于設計坡度差。

圖3 三點法構造等腰三角形

計算采用三點法[1,10]進行圓曲線方程計算并進行分段，選取測點構造等腰或近似等腰三角形以減小測點位置誤差對豎圓曲線圓心、半徑精確度的影響。具體是以可能變坡點mpk∈P構成等腰三角形的頂角，向大、小里程方向各選取一個相鄰且等距的測點構成等腰三角形的底角。

對每一可能變坡點兩側坡段計算坡度代數(shù)差，對于代數(shù)差超過規(guī)范的采用上述方法計算圓曲線方程，將計算得到的圓半徑與規(guī)范規(guī)定的最小豎曲線半徑比較，反推該里程的可能變坡點是否需要采用圓曲線連接。

對于可采用豎圓曲線連接的相鄰坡段，逐一將可能變坡點兩側的測點里程代入圓曲線方程，直到計算高程與實測高程偏差超過閾值，得到豎圓曲線的范圍。

2 數(shù)學模型

從系統(tǒng)工程角度，基于可能變坡點集合P中的變坡點劃分坡段，可實現(xiàn)統(tǒng)計學意義上的最佳擬合，而實際上并不一定能計算出全線最優(yōu)的擬合縱斷面，且約束條件如豎曲線和道岔不能重疊、最小坡段長度等未考慮在內(nèi)。孫曉麗[11]以變坡點的坡長和坡度作為優(yōu)化設計變量建立整正模型，等價于全線中的所有測點皆為潛在的變坡點，大大增加了搜索的難度。利用既有縱斷面線形特征，根據(jù)識別到的變坡點求解最佳坡度值，對可能變坡點集合P進行鄰域優(yōu)化調整，可有效減少計算復雜度，求解系統(tǒng)最優(yōu)擬合方案。

數(shù)學模型表示如下

(4)

s.t.

(5)

mpkEs,?mpk∈P,s∈S

(6)

mpk+1-mpk≥l,?mpk∈P

(7)

mp1-m0≥landmn-mp|P|≥l

(8)

vp≤vmax,?vp∈V

(9)

vp-vp-1≤vd,?vp∈V

(10)

3 遺傳算法設計

相較于將所有勘測點位作為潛在變坡點的模型，本文提出的模型將可能變坡點里程集合P作為決策變量，在數(shù)量上顯然小于前者。模型的求解思路是以可能變坡點里程mpk∈P為基準位置，模擬人工拉坡操作，在其左右鄰域范圍內(nèi)偏移變坡點的位置，以求得整體抬、落道最小的擬合線形，故本模型屬于組合優(yōu)化問題。遺傳算法是一種可多點并行隨機搜索的啟發(fā)式算法，在解決工程上組合優(yōu)化問題具有較好的適應性和魯棒性。針對模型特征設計遺傳操作算子以求解模型。

(1)初始染色體的生成。根據(jù)模型的特征和既有研究成果[11]，以0-1編碼方式來表示所有里程的狀態(tài)，其中基因為0表示該里程為非變坡點，1表示該里程為變坡點。該編碼方式形成的編碼空間中的所有點與可行解空間中的所有點一一對應。初始染色體是將所有可能變坡點里程mpk∈P的基因置為1，生成初始種群，如圖4所示。一個染色體中基因為0表示該里程的坡度值不變，基因為1表示該里程為變坡點。

圖4 初始染色體示意

圖5 單點交叉

圖6 鄰域基因反轉變異算子

(4)適應度函數(shù)。遺傳算法中采用適應度函數(shù)作為評價種群中個體優(yōu)劣的標準?？v斷面擬合的目標是要使得按設計縱斷面改造既有縱斷面時產(chǎn)生的土石方工程最小，與此直接相關的指標便是抬、落道量。模型中的目標函數(shù)是要求解最小的抬、落道量，算法的遺傳選擇操作是篩選出適應度函數(shù)最大的個體，故需建立標準適應度函數(shù)[11]，如式(11)所示。

(11)

式中，Z為目標函數(shù)，即抬、落道總量的絕對值，以此構建適應度函數(shù)可獲得較好的擬合效果。

綜上，既有線縱斷面擬合遺傳算法基本流程如圖7所示。

圖7 既有線縱斷面擬合遺傳算法基本流程

4 實例分析

以南寧局管內(nèi)某客貨共線鐵路的實測高程數(shù)據(jù)來驗證提出的模型與算法，并與人工擬合結果進行對比。線路起點里程K1+300，終點里程K5+300，總長4 km；鋪設一組9號單開道岔，考慮豎曲線切線長其起止范圍為K3+116.161～K3+185.009。自線路里程起點開始，直線段每20 m測量一個高程點，曲線段、道岔段處適當加密，共包含203個軌面測點，最小坡段長度l=250 m，最大坡度值vmax=6‰，相鄰坡段最大坡度差vd=15‰，相鄰坡段最大坡度代數(shù)差大于3‰，豎曲線半徑不得小于10 000 m。算法的輸入數(shù)據(jù)為既有線里程及其測量高程，輸出數(shù)據(jù)為設計坡度、設計高程及其高差、抬道量及坡長。

圖8 縱斷面擬合結果對比

在K3+061和K4+870處相鄰坡段的坡度代數(shù)差超過了3‰，故通過三點法構造等腰三角形算得兩處的豎圓曲線半徑分別為R=20 000 m和15 000 m，滿足規(guī)范要求。

優(yōu)化算法通過調整K3+061～K4+870里程內(nèi)的變坡點位置，擬合的總偏差絕對值相較于人工擬合結果減少了8.7%，如表1所示，各項指標均符合設計規(guī)范。優(yōu)化算法已嵌入程序，運行效率高，輸出結果可靠，可為設計提供輔助。

表1 優(yōu)化算法與人工擬合結果對比

5 結論

(1)基于最小二乘法提出基于線性回歸的縱斷面擬合方法，包括變坡點漸進識別方法、連續(xù)縱坡擬合和豎圓曲線分段計算方法；(2)以可能變坡點為調整對象建立既有線縱斷面擬合模型，針對問題特征設計遺傳算子以求解模型；(3)通過實例分析模型與遺傳算法擬合縱斷面的過程與效果，在符合設計規(guī)范的前提下，總抬、落道量的絕對值比人工擬合減少了8.7%。綜上，提出的模型與算法為既有線縱斷面優(yōu)化提供了一種新的思路，對豐富算法理論研究與提高工程設計效率具有積極意義。