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基于雙憶阻混沌電路的分析及應用

2021-12-08 02:51:22袁延超李玉霞
關鍵詞:磁滯回線電路仿真磁控

袁延超,袁 方,李玉霞

(山東科技大學 電氣與自動化工程學院,山東 青島 266590)

憶阻器概念于1971年由Chua[1]提出,首次將電荷與磁通關系聯(lián)系起來。2008年,惠普實驗室工作人員使用納米技術基于摻雜的TiO2薄膜成功研制了具有憶阻器特性的實物器件,首次將真實器件與憶阻器概念聯(lián)系起來[2]。憶阻器是除電阻、電容和電感以外的第四種基本電路元件。文獻[3]提出憶阻器是一個具有二端口網(wǎng)絡的器件,憶阻器阻值的大小不只與加在其兩端的電壓極性、大小及加在其兩端電壓的持續(xù)時間長短有關,并且與加在它兩端電壓歷史值有關,即使斷電,憶阻器的阻值也不會消失。利用憶阻器的非易失性可以模擬人腦神經(jīng)網(wǎng)絡的功能,已被應用于人工神經(jīng)網(wǎng)絡領域[4-6]、人工智能[7-9]和電子工程[10]等領域。

目前憶阻器實際器件的實現(xiàn)難度和成本都比較大,尚未發(fā)展到商用階段,研究多集中在憶阻器的數(shù)學模型和憶阻器仿真器[11-14]方面。憶阻器作為一種新型非線性元件,引入電路后很容易實現(xiàn)電路的混沌振蕩,構建基于憶阻器的混沌電路對研究憶阻器的應用及非線性動力學的發(fā)展具有重要意義。文獻[15]提出一種由實際器件組成的浮地憶阻器仿真器,用于模擬閾值型二進制憶阻器的動態(tài)特性。文獻[16]提出新的三相二極管橋式憶阻器記憶特性,通過數(shù)值仿真和電路仿真分析了v-i磁滯回線。通過將憶阻器應用到新的混沌電路,或者替換原有電路中的線性或非線性元件,可以生成動力學特性更為豐富的混沌吸引子[17-19]。文獻[20]提出一個局部有源憶阻器模型,基于該憶阻器模型設計一個混沌系統(tǒng),該混沌系統(tǒng)具有復雜的分岔特性。文獻[21]將磁控憶阻器引入到多翼混沌系統(tǒng)中,深入分析在不同位置加入憶阻器對多翼超混沌系統(tǒng)的影響。研究表明,憶阻混沌系統(tǒng)具有復雜動力學行為,采用數(shù)值仿真、電路仿真和硬件電路實驗表明了系統(tǒng)暫態(tài)混沌[22]、隱藏吸引子、自激振蕩、倍周期分岔、超多穩(wěn)定性[23]、超混沌等一些復雜動力學特性。文獻[24]提出一種基于憶阻的文氏橋混沌電路,主要分析系統(tǒng)的共存吸引子和多穩(wěn)定性。憶阻混沌系統(tǒng)極端依賴憶阻的初始狀態(tài),固定參數(shù)選取不同初值可以得到共存多吸引子。系統(tǒng)存在不同種類的吸引子,每一種吸引子是由不同初始狀態(tài)自激振蕩形成的。根據(jù)憶阻混沌系統(tǒng)具有復雜動力學行為這一優(yōu)勢,混沌系統(tǒng)可以應用在信息加密和保密通信領域。文獻[25]基于分數(shù)階憶阻混沌電路,采用一種新的圖片加密算法,實現(xiàn)圖像信息的加密。目前研究多憶阻高維混沌系統(tǒng)的相對較少,大多只進行數(shù)值仿真和電路仿真,研究硬件電路實現(xiàn)的較少。針對這一現(xiàn)狀,設計兩種憶阻器仿真器,并基于憶阻器設計一個新的五維混沌電路,對其進行Matlab數(shù)值仿真和動力學特性分析,并利用Multisim軟件對其進行電路仿真驗證。最后,用實際器件搭建系統(tǒng)硬件電路,并基于此電路設計一個隨機信號發(fā)生器。

1 磁控憶阻器與荷控憶阻器

1.1 磁控憶阻器模型及對應的仿真器

根據(jù)磁控憶阻器的定義[26],一個n階磁控憶阻器模型的定義式為:

(1)

其中:W表示憶阻器憶導值,x表示n階磁控憶阻器模型的內(nèi)部狀態(tài)變量,im和vm分別表示通過憶阻器的電流和電壓。本研究磁控憶阻器模型[12]的表達式為:

(2)

其中,am、bn、A、B、C是憶阻器模型的參數(shù),φ為磁控憶阻器的磁通。根據(jù)磁控憶阻器模型的數(shù)學表達式設計的憶阻器仿真器由運算放大器、乘法器、電阻、電容及電壓源組成,如圖1所示。

圖1 磁控憶阻器仿真器Fig. 1 Flux-controlled memristor emulator

(3)

(4)

通過對式(2)~(4)整理,磁控憶阻器仿真器的表達式可以寫為:

(5)

當在磁控憶阻器仿真器兩端輸入不同頻率正弦電壓源信號vm= sin(2πf)時,其v-i磁滯回線如圖2所示??梢钥闯鰒-i特性曲線是一條閉合的緊磁滯回線,這些磁滯回線在v-i平面上都經(jīng)過原點,且在原點處相交,滿足憶阻器的零點相交性。隨著激勵信號源頻率的增加,憶阻器的磁滯回線所包含區(qū)域面積逐漸減少,當頻率趨于無窮大時,憶阻器的磁滯回線最終會退化為一條直線。

圖2 磁控憶阻器仿真器在不同頻率下v-i磁滯回線Fig. 2 The v-i hysteresis loops of flux-controlled memristor emulator with different frequencies

1.2 有源荷控憶阻器模型及對應的仿真器

根據(jù)荷控憶阻器的定義[26],一個n階荷控憶阻器模型的定義為:

(6)

其中,M表示荷控憶阻器的憶阻值,x表示n階荷控憶阻器模型的內(nèi)部狀態(tài)變量。本研究提出的荷控憶阻器模型的表達式為:

(7)

其中q表示荷控憶阻器模型的電荷。根據(jù)荷控憶阻器模型的表達式構建其仿真器如圖3所示,此荷控憶阻器仿真器由乘法器、運算放大器、電阻、電容組成。

在圖3中,v0是運算放大器U1A的輸出電壓,通過計算得到其表達式v0=R13R16im/(2R9+R13)。由于R13= 10 Ω,相對R9= 1 kΩ很小,R13可以忽略不計,故v0≈R13R16im/(2R9)。令ε=R13R16/(2R9),v0經(jīng)過反相器輸出U1D= -v0q2,由R17、R14、R21、運算放大器U1C構成反相加法器,U1C的輸出為vm,可以推導出vm與im的關系為:

圖3 荷控憶阻器仿真器Fig. 3 Charge-controlled memristor emulator

(8)

由R22、C2、U2A組成的積分電路可以得到U2A的輸出,如式(9)所示。

(9)

由此,可以推導出荷控憶阻器仿真器的表達式:

(10)

其中,m= -εR17/R14,n=εR17/R21。當在荷控憶阻器仿真器兩端施加不同頻率正弦交流源信號im=sin(2πf)時,其磁滯回線如圖4所示。從圖中可以看出這些磁滯回線在v-i平面上都經(jīng)過原點,滿足憶阻器的零點相交性。其磁滯回線都在第二、四象限,表明此荷控憶阻器是有源的。隨著激勵信號頻率的增加,憶阻器的磁滯回線呈壓縮狀態(tài);當頻率進一步增大,憶阻器的磁滯回線會逐漸變成一條單值曲線,這表明憶阻器具有頻率依賴性。

圖4 有源荷控憶阻器仿真器在不同頻率下v-i磁滯回線Fig. 4 The v-i hysteresis loops of active charge-controlled memristor emulator with different frequencies f

2 基于雙憶阻的混沌系統(tǒng)分析

2.1 基于雙憶阻的混沌電路

基于雙憶阻的混沌電路系統(tǒng)的簡圖如圖5所示。此混沌電路由一個磁控憶阻器、一個有源荷控憶阻器、兩個電容、一個電感及一個電阻經(jīng)過串并聯(lián)構成,各支路電流方向及電壓參考方向在圖5中標出。

圖5 雙憶阻的混沌電路設計Fig. 5 Chaotic circuit design of dual memristors

取電容C1兩端的電壓為v1,電容C2兩端的電壓為v2,磁控憶阻器W(φ)的憶導為W,φ為磁控憶阻器的磁通,荷控憶阻器模型M(q)的憶阻為M,荷控憶阻器的電荷為q,分別對應的5個狀態(tài)變量為v1、v2、im、φ和q。基于5個狀態(tài)變量,由基爾霍夫電流、電壓定律及電路元件的本構關系,可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程:

(11)

令x=v1,y=v2,z=im,w=φ,v=q,a=1/C1,g=1/C2,b=1/L,R=1,則式(11)可以進一步改寫為:

(12)

選擇系統(tǒng)參數(shù):a=8.7,g=30,b=0.6,am=0.3,bn=0.1,m=-1,n=30,A=4,B=10,C=-0.1。使用Jacobian方法計算Lyapunov指數(shù),得到LE1=0.237 7,LE2=-0.000 7,LE3=-0.561 1,LE4=-2.577 6,LE5=-38.327 7,其中最大Lyapunov指數(shù)大于0,系統(tǒng)處于混沌態(tài)。令初值為(0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01),采用龍格-庫塔ODE45算法進行Matlab數(shù)值仿真,系統(tǒng)電路產(chǎn)生的吸引子相圖如圖6(a)、6(b)、6(c)、6(d)所示。截面z=-0.5截面上的Poincaré映射在x-y平面的投影如圖6(e)所示,該憶阻混沌系統(tǒng)5個狀態(tài)變量的時域波形如圖6(f)所示,由此可見該系統(tǒng)的運動軌跡具有貌似隨機性、非周期性。由系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)、吸引子圖、Poincaré映射圖及時域波形圖可知,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖6 吸引子相圖、Poincaré映射圖及各狀態(tài)變量的時域波形圖Fig. 6 Phase diagrams of the chaotic attractor, Poincaré map, and time-domain waves with different state variables

2.2 平衡點分析

(13)

進一步化簡式(13),可得到系統(tǒng)的平衡點集為E= {(x,y,z,w,v)|x=y=z=0,w=C/B=0.01,v=v0},其中v0為任意實數(shù)。將a=8.7,g=30,b=0.6,am=0.3,bn=0.1,m=-1,n=30,A=4,B=10,C=-0.1代入式(12),將式(12)在平衡點處線性化后,可得Jacobian矩陣:

(14)

將Jacobian矩陣J代入det(λE-J)=0,得其特征根方程:

(15)

進一步化簡得到:

a0λ5+a1λ4+a2λ3+a3λ2+a4λ=0 。

(16)

其中:

(17)

由Routh-Hurwitz判據(jù)可知,當

(18)

時,系統(tǒng)的特征值(或特征值的實部)均為負,此時系統(tǒng)穩(wěn)定。為使式(12)產(chǎn)生混沌,則至少有1個特征值(或特征值的實部)為正,所以式(18)中各項應不全為正。例如,將v0=1時代入式(18),Δ1=65.2>0,Δ2=1×105>0,Δ3=2.43×109>0,Δ4=-8.16×1012,Δ5=0,此時系統(tǒng)平衡點不穩(wěn)定,符合產(chǎn)生混沌的平衡點穩(wěn)定性條件。

2.3 參數(shù)a對動力學行為的影響

隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化,系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性也會隨之變化,導致系統(tǒng)軌道處于不同狀態(tài)。在初始條件(0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01)下,固定系統(tǒng)參數(shù)g=30,b=0.6,am=0.3,bn=0.1,m=-1,n=30,A=4,B=10,C=-0.1。當a在[7, 12]范圍變化時,系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖7(a)所示,由于第4根與第5根Lyapunov指數(shù)為更小的負數(shù),為了圖示清晰,LE4、LE5未畫出;狀態(tài)變量x隨參數(shù)a變化的分岔圖如圖7(b)所示。

圖7 系統(tǒng)狀態(tài)隨參數(shù)a變化的Lyapunov譜圖(a)與x隨參數(shù)a變化的分岔圖(b)Fig. 7 Lyapunov exponent spectra of system state varying with a (a) and bifurcation diagram of x varying with a (b)

由圖7可知,當a∈[7, 12]時,系統(tǒng)由周期軌道出發(fā)經(jīng)過短暫的倍周期快速跳到混沌狀態(tài),然后經(jīng)過一段混沌狀態(tài)直接切換到倍周期,再從倍周期變?yōu)槎啻沃芷谂c混沌相互切換狀態(tài)。當a∈[7, 8.01]時,系統(tǒng)一直處于倍周期;當a∈(8.01, 9.05]時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);當a∈(9.05, 9.99]時,系統(tǒng)處于倍周期;當a∈(9.99, 12]時,系統(tǒng)經(jīng)歷了多次倍周期與混沌切換狀態(tài)。從圖中可以看出分岔圖是對稱分岔的,這是由于吸引子相圖對稱導致。選取不同的參數(shù)a,狀態(tài)變量x隨變量w變化的幾種相圖如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)在參數(shù)a不同情況下的w-x平面相圖Fig. 8 Phase diagrams of system in w-x plane varying with a

2.4 共存分岔現(xiàn)象與共存吸引子

選擇系統(tǒng)參數(shù)a=8.7,g=30,am=0.3,bn=0.1,m=-1,n=30,A=4,B=10,C=-0.1,狀態(tài)變量x隨參數(shù)b在[0.05, 0.8]的變化由圖9(a)Lyapunov指數(shù)譜可知,在初值(0.1, 0.1, 0.1, 0, 0)條件下,隨著參數(shù)b的不斷增大,系統(tǒng)開始從周期經(jīng)過短暫的混沌再到倍周期,再經(jīng)過多次倍周期與混沌切換狀態(tài)變到混沌,再由混沌快速變?yōu)楸吨芷冢購谋吨芷谧優(yōu)榛煦?,最終再由混沌從倍周期演變?yōu)閱沃芷凇kS著參數(shù)b的變化,當b∈(0.05, 0.107]時,系統(tǒng)開始進入倍周期;當b∈(0.107, 0.125]時,系統(tǒng)由周期軌變?yōu)榛煦鐮顟B(tài);當b∈(0.125, 0.215]時,系統(tǒng)由混沌狀態(tài)變?yōu)楸吨芷?;當b∈(0.215, 0.516]時,系統(tǒng)經(jīng)歷多次混沌與倍周期切換狀態(tài);當b∈(0.516, 0.59]時,系統(tǒng)處于倍周期;當b∈(0.59, 0.695]時,系統(tǒng)由倍周期變?yōu)榛煦鐮顟B(tài);當b∈(0.695, 0.8]時,系統(tǒng)從倍周期逐漸變?yōu)閱沃芷凇?/p>

圖9 系統(tǒng)狀態(tài)x隨參數(shù)b變化的Lyapunov指數(shù)譜圖與在不同初始條件下隨參數(shù)b變化的共存分岔圖Fig. 9 Lyapunov exponent spectra of system state x varying with b and coexistence bifurcation diagram varying with b at different initial conditions

共存分岔現(xiàn)象[27]是分岔現(xiàn)象的新特性,是指在初始條件不同的情況下,系統(tǒng)隨參數(shù)的變化出現(xiàn)不同分岔的現(xiàn)象。共存吸引子是指在系統(tǒng)參數(shù)相同而初始條件不同的情況下,系統(tǒng)所產(chǎn)生不同的吸引子。分岔圖如圖9(b)所示,其中紅色部分初始條件是(0.1, 0.1, 0.1, 0, 0),藍色部分的初始條件是(-1, -1, 0, 0, 0)。固定參數(shù)a=8.7,g=30,am=0.3,bn=0.1,m=-1,n=30,A=4,B=10,C=-0.1,改變b的參數(shù),其共存吸引子相圖如圖10所示。

圖10 系統(tǒng)隨b變化時,w-x平面共存吸引子相圖Fig. 10 Phase diagrams of w-x plane coexistence attractors varying with b

圖10中紅色軌跡和藍色軌跡表示的初始條件同圖9,在w-x平面顯示的共存吸引子相圖。當b∈[0.59, 0.8]時,隨著參數(shù)b的不斷增大,由不同初值系統(tǒng)產(chǎn)生的共存吸引子歷經(jīng)共存混沌吸引子狀態(tài)、共存倍周期狀態(tài)、共存單周期狀態(tài)。

2.5 多穩(wěn)定性

如果系統(tǒng)具有不同幅值、不同頻率或不同位置的相同拓撲結構的共存吸引子,那么系統(tǒng)具有多穩(wěn)定性[19]。選擇混沌系統(tǒng)參數(shù)為a=8.7,g=30,b=0.6,am=0.3,bn=0.1,m=-1,n=30,A=4,B=10,C=-0.1,系統(tǒng)初始狀態(tài)(x(0), 0.01, 0.01, 0.01, 0.01),其中變量x(0)在[-10, 10]之間變化時,可以得到隨初值x(0)變化的Lyapunov指數(shù)譜圖與分岔圖,如圖11所示。由圖11可知,系統(tǒng)存在多次周期與混沌切換狀態(tài),表明系統(tǒng)存在不同的軌線。

圖11 系統(tǒng)隨初始狀態(tài)x(0)變化的Lyapunov指數(shù)譜圖與初始隨狀態(tài)x(0)變化的分岔圖Fig. 11 Lyapunov exponent spectra diagram varying with the initial state variable x(0) and bifurcation diagram varying with initial state variable x(0)

隨著初始狀態(tài)x(0)的變化,系統(tǒng)存在多種形狀不同的共存吸引子,如圖12所示,顯示了系統(tǒng)隨著初始狀態(tài)分量x(0)逐漸增加的幾種典型共存吸引子相圖,x(0)∈[-10, 10]。因為這些共存吸引子相圖在w-x平面是重疊的,為將每個吸引子相圖均勻排開,需將各個吸引子相圖沿w軸向右均勻平移一段距離。進而,各個吸引子相圖可以在w-x平面一同顯示。從圖中可以看出系統(tǒng)具有多種不同類型的共存吸引子,說明該系統(tǒng)具有多穩(wěn)定性。

圖12 系統(tǒng)隨初始狀態(tài)x(0)變化的幾種典型共存吸引子Fig. 12 Typical coexistence attractors varying with initial state variable x(0)

3 電路仿真與電路實現(xiàn)

3.1 電路仿真

對式(12)做時間尺度變換,令τ=Kt,K為時間尺度變換因子。時間尺度變換因子的大小影響系統(tǒng)時域演變的快慢和相軌跡稀疏稠密程度。時間尺度變換因子K越大,系統(tǒng)時域演變的越快,系統(tǒng)的混沌吸引子相圖軌線越密集;反之,系統(tǒng)時域演變的越慢,系統(tǒng)的混沌吸引子相圖軌線越稀疏。K往往要根據(jù)系統(tǒng)所需進行設置,所以K的取值不固定。為了便于后期電路實現(xiàn),使得電阻和電容取值大小合適,取系統(tǒng)時間尺度變換因子K= 1 000,將電路參數(shù)及憶阻器參數(shù)a=8.7,g=30,b=0.6,am=0.3,bn=0.1,m=-1,n=30,A=4,B=10,C=-0.1代入,得到:

(19)

根據(jù)狀態(tài)方程式(19),運用反相比例模塊、反相加法模塊、反向積分模塊及乘法器構成混沌系統(tǒng)的仿真電路,如圖13所示。

圖13 Multisim仿真電路Fig. 13 Multisim emulator circuit

根據(jù)圖13列寫方程,得到狀態(tài)方程:

(20)

根據(jù)式(19)與式(20)對應系數(shù)相等,可得:

(21)

取電容C1=C2=C3=C4=C5= 10nF,每個電容的初始電壓值為0.01 V,將各電容值代入式(21),求得各電阻值如圖13所示。Multisim電路仿真結果如圖14所示,與Matlab數(shù)值仿真結果圖6混沌吸引子相圖對比,可知兩者相圖是大體一致的,由此Multisim電路仿真驗證了理論分析的正確性。

圖14 Multisim仿真混沌吸引子圖Fig. 14 Chaotic attractors obtained by Multisim software simulation

3.2 電路實現(xiàn)

為了進行電路實驗,用實際器件在面包板上實現(xiàn)電路,并在示波器上獲得相應的吸引子相圖,如圖15所示。從示波器中可以看出搭建的實際電路的吸引子相圖驗證了Matlab數(shù)值仿真結果與Multisim電路仿真的正確性。

圖15 電路實現(xiàn)與吸引子圖Fig. 15 Circuit implementation and chaotic attractors

基于電路實現(xiàn)設計了一個隨機信號發(fā)生器[18]如圖16所示,隨機信號發(fā)生器由電壓比較器U1與比例運算放大器U2組成。當隨機信號發(fā)生器的輸入信號比參考電壓高時,電壓比較器U1輸出正飽和電壓,反之U1輸出負飽和電壓。U1輸出的飽和電壓作為比例運算放大器U2的輸入,U2的輸出可以獲得合適的邏輯電壓。隨機信號發(fā)生器參考電壓取0時,其輸入信號可以是系統(tǒng)的5個狀態(tài)變量(x,y,z,w,v)的任意一個狀態(tài)變量。通過實驗得出系統(tǒng)狀態(tài)變量z具有良好的隨機性,故選取系統(tǒng)狀態(tài)變量z作為隨機信號發(fā)生器輸入,Vout作為隨機信號發(fā)生器的輸出,通過Multisim電路仿真結果如圖16(b),硬件實現(xiàn)在示波器得出波形如圖16(c)所示。

圖16 隨機信號發(fā)生器電路圖及Multisim仿真圖與示波器圖Fig. 16 Circuit of random sequence generator and Multisim simulation & hardware circuit

4 結論

本研究提出磁控與有源荷控憶阻器模型兩種新的憶阻器模型,并分別設計了對應的憶阻器仿真器,結合憶阻器與電感串聯(lián)、電容并聯(lián)的電路接法構建了一個新的五維混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)具有一個平衡點集,并進行了平衡點分析;分析在不同初值條件下隨參數(shù)變化的共存分岔與共存吸引子,共存分岔現(xiàn)象使得加密密鑰空間更大,更適合應用在加密領域中。分析了系統(tǒng)隨初值變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖,系統(tǒng)具有多種共存吸引子,表明該系統(tǒng)具有多穩(wěn)定性。該混沌系統(tǒng)對初值具有極端靈敏性,可以產(chǎn)生穩(wěn)定、連續(xù)的混沌偽隨機序列信號,可以應用到信息加密及保密通信等領域。設計了一個Multisim仿真電路,其仿真結果與數(shù)值仿真結果具有一致性;在面包板上用實際器件搭建了硬件電路,實驗結果驗證了數(shù)值仿真與電路仿真的正確性。最后,在硬件電路實現(xiàn)的基礎上設計了一個隨機信號發(fā)生器,實驗結果驗證了系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性。隨機信號發(fā)生器電路設計比較簡單,電壓輸出可調(diào),生成的隨機序列比從數(shù)字平臺獲取的序列更隨機,更適合用在加密領域中。

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