楊麗麗，李文龍，孔祥龍,2，許 浩

(1.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109；2.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

多學科設計優(yōu)化(Multidisciplinary Design Optimization, MDO)通過充分探索和利用工程系統(tǒng)中相互作用的協同機制設計復雜系統(tǒng)和子系統(tǒng)，是大型復雜工程系統(tǒng)的重要設計方法。協同優(yōu)化(Collaborative Optimization, CO)方法因為其分布式的兩級優(yōu)化結構和高度的學科自治性，在工業(yè)界被認為是一種較有前途的MDO方法。然而，在產品的設計、制造和使用過程中，由于知識理論的缺乏、對實際模型的簡化及物理量的隨機性等，使輸出變量不可避免地存在不確定性[1]，這些不確定性可能導致系統(tǒng)構件失效或不能正常工作。消除不確定性因素比較困難，而減小不確定性因素的影響則相對容易，魯棒優(yōu)化設計的目的即是在不減少不確定性因素來源的情況下，使系統(tǒng)性能對不確定性因素的變化不敏感，尋找一個同時保證產品性能最優(yōu)和不確定性環(huán)境下魯棒性的設計點。在復雜工程系統(tǒng)的MDO問題中，魯棒協同優(yōu)化(Robust Collaborative Optimization, RCO)方法因具有更貼近工程實際的潛在優(yōu)勢而得到設計者的廣泛關注。

對于不確定性設計問題，不確定性因素可以分為輸入量的不確定性和模型不確定性，輸入量的不確定性主要由輸入變量和參數帶來，如零件材料、尺寸帶有的不確定性；模型不確定性主要來源于建模仿真過程的簡化、近似處理，以及計算求解過程中的數值誤差。以往有關RCO方法的文獻主要在輸入量的不確定性下，研究不確定性的傳播、系統(tǒng)輸出不確定性的評估和RCO問題的求解。輸入量的不確定性描述方法主要有概率分布表征方法和區(qū)間分布表征方法。DU等在系統(tǒng)不確定性分析方法(System Uncertainty Analysis, SUA)[2]的基礎上，采用CO進行了概率分布不確定下的多學科魯棒設計，提出一種層次型魯棒MDO方法[3]；XIONG等[4]針對概率型不確定性問題，提出一種基于動態(tài)松弛因子的矩配魯棒協同優(yōu)化(Moment-Matching Robust Collaborative Optimization, MM-RCO)方法，將系統(tǒng)輸出的均值和方差都當作輔助設計變量在系統(tǒng)級和子系統(tǒng)級中進行優(yōu)化；GU等[5]針對區(qū)間分布型不確定性問題，利用最壞情況不確定性評估方法[6]和靈敏度分析方法對MDO問題系統(tǒng)輸出的不確定性進行評估，在CO框架中考慮不確定性設計，提出一種基于隱性不確定性傳遞(Implicit Uncertainty Propagation, IUP)的RCO方法；LI等[7-8]給出一種簡化的基于IUP的魯棒協同優(yōu)化(Simplified Implicit Uncertainty Propagation Robust Collaborative Optimization, SIUPRCO)模型，將系統(tǒng)輸出的不確定量也作為輔助設計變量，提高了魯棒協同優(yōu)化的求解效率。然而，有關RCO方法模型不確定性的研究還比較少。HU等[9-10]基于動態(tài)的近似模型提出近似模型輔助多目標魯棒協同優(yōu)化(Approximation Assisted Multi-objective collaborative Robust Optimization, AA-McRO)方法和新的近似模型輔助多目標魯棒協同優(yōu)化(new Approximation Assisted Multi-objective collaborative Robust Optimization, new AA-McRO)方法，通過均方根誤差來量化近似建模帶來的不確定性，并將其加入系統(tǒng)輸出的不確定量評估中，提高了優(yōu)化求解效率和結果的魯棒性。

RCO方法是在CO框架上發(fā)展的，也具有CO的缺點。針對CO中系統(tǒng)級二次一致性等式約束易導致優(yōu)化求解困難的問題[11]，學者們在其提出的各種RCO方法中，都采用了CO的一些改進措施，例如在系統(tǒng)級引入罰函數[5]或松弛因子[4,9-10]等。然而，采用這些改進方法求解RCO問題時，很難使一致性等式約束成立，從而使共享設計變量在系統(tǒng)級和學科級之間不可避免地存在差異。在進行RCO設計時，設計者選取的最終解來自系統(tǒng)級的優(yōu)化結果，而約束函數的魯棒性評估是基于各子學科的優(yōu)化結果在學科級進行的。由于共享設計變量在系統(tǒng)級和學科級之間存在差異，使設計者所取得的最終解的魯棒性受到質疑。在RCO設計過程中，系統(tǒng)級最優(yōu)解與學科級最優(yōu)解中共享設計變量的差異為RCO結構框架本身固有的模型不確定性，對于某些學科級最優(yōu)解位于其可行域邊界上的優(yōu)化問題，該學科級最優(yōu)解與系統(tǒng)級最優(yōu)解之間通常有較大差異，這種模型不確定性相對于魯棒設計中設計變量的不確定性變差已可忽視，因此其對約束條件魯棒性評估是否產生影響需要評估，而以往各種RCO方法均未對這種模型不確定性進行研究。

本文的主要工作是研究RCO結構框架中的模型不確定性因素對約束函數魯棒性評估的影響，并對一般RCO方法進行改進，以改善優(yōu)化結果的魯棒性。針對區(qū)間不確定性下的RCO問題，本文基于松弛因子方法首次分析了RCO設計過程中來源于共享變量不一致性的模型不確定性對子學科約束函數魯棒性評估的影響，并定義了一個指標因子定量描述該模型不確定性在約束條件魯棒性評估中的貢獻；然后，提出一種混合不確定性魯棒協同優(yōu)化(Mixed Uncertainty Robust Collaborative Optimization，MURCO)方法，對子學科中的魯棒約束函數進行修正，使不確定性因素包括各輸入變量的不確定性，以及在RCO求解過程中產生的模型不確定性，從而使RCO中的約束條件魯棒性評估更加可靠；最后，將MURCO應用到一個衛(wèi)星結構的魯棒優(yōu)化設計問題中，驗證了該方法對工程問題的適用性。

1 研究背景

1.1 標準CO問題

多學科CO方法的基本思想是將優(yōu)化問題分解為系統(tǒng)級和學科級兩級結構，一般兩級CO問題的系統(tǒng)級優(yōu)化和學科級優(yōu)化數學模型如下：

(1)系統(tǒng)級優(yōu)化問題

minF(z)。

s.t.

(1)

(2)學科級優(yōu)化問題

s.t.

gi(xLi,xSi)≤0；

xi=[xLi,xSi]。

(2)

1.2 一般RCO問題

魯棒設計包括目標函數的魯棒性設計和約束函數的魯棒性設計，目標函數的魯棒性要求目標函數對各種不確定性因素的波動不敏感，約束條件的魯棒性則要求在不確定性因素影響下最優(yōu)解仍然在設計問題的可行域內[12]。在多學科CO框架中，目標函數的魯棒設計和約束函數的魯棒設計分別在系統(tǒng)級和學科級優(yōu)化過程中進行。參考文獻[5]，本文采用基于靈敏度分析的魯棒優(yōu)化模型和最壞情況不確定性評估方法來評估函數變量的不確定量，得到RCO問題的數學模型：

(1)系統(tǒng)級優(yōu)化問題

minFR=ωF+(1-ω)ΔF；

s.t.

(3)

式中：FR為魯棒目標函數；ΔF為目標函數的最大變差；Δzj為全局設計變量zj的變差，表示輸入變量的不確定量；ω為加權系數，0≤ω≤1。在RCO問題中，目標函數的魯棒性一方面要求目標值取得最小，另一方面要求目標函數的變差取得最小，因此是一個多目標優(yōu)化問題。因為本文的主要研究內容為約束函數的魯棒性評估問題，所以將系統(tǒng)級的目標函數魯棒性簡單定義為目標函數值及其變差的加權和。

(2)學科級優(yōu)化問題

s.t.

gRi=gi(xi)+ΔgRi≤0；

xi=[xSi,xLi]。

(4)

式中：gRi為魯棒約束函數；ΔgRi為約束函數的不確定量；ΔxSij和ΔxLij分別為子學科i的局部設計向量和共享設計向量的變差；silo為第i個子學科的局部設計變量數。

在式(3)和式(4)中，目標函數和約束函數的變差均采用了靈敏度分析和最壞情況評估方法，近似為一階泰勒展開式的絕對值之和。在輸出變量的變差評估中，采用基于區(qū)間分析的表達方式來定義設計變量的不確定量，即定義了設計變量的上、下邊界，如Δx∈[-ηx,ηx],η∈[0,1]，η為比例因子。因為式(3)和式(4)中函數變量的不確定量評估采用線性近似的方法，所以適用于設計變量不確定量較小的不確定性優(yōu)化問題。

1.3 自適應模擬退火算法

模擬退火(Simulated Annealing, SA)算法是一種啟發(fā)于固體物質退火過程的隨機搜索方法，具有參數少和適用性強等優(yōu)點。在凝聚態(tài)物理中，只要初始給定的溫度足夠高且冷卻速度足夠慢，緩慢下降的溫度就能使金屬中的原子在一個相應的低能量基態(tài)中重新排列并形成規(guī)則的晶體結構。優(yōu)化過程與金屬物質的退火過程非常相似，可以通過采用特定的算法適當控制溫度的下降過程來進行模擬退火，從而完成對優(yōu)化問題全局最優(yōu)解的搜索。自適應模擬退火(Adaptive Simulated Annealing, ASA)算法[13]在標準SA算法的基礎上，采用一套更快的退火程序和一種重退火策略進行自適應調整，改善了算法的收斂速度。ASA算法的迭代過程如圖1所示。

2 RCO中模型不確定性的影響分析

2.1 模型不確定性影響的定量化

考慮到CO求解過程中系統(tǒng)級一致性等式約束使得計算比較困難，學者們在提出的各種RCO方法中均采用了一些改進措施，如在系統(tǒng)級引入罰函數或者松弛因子等。然而從優(yōu)化結果來看，這些方法均對系統(tǒng)級一致性等式約束進行了松弛，很難完全消除共享設計變量在系統(tǒng)級與學科級之間的不一致性。在RCO框架中，約束函數的魯棒性評估在學科級中進行，而共享設計變量的最優(yōu)解取自系統(tǒng)級的優(yōu)化結果，設計者關注的也是最終由系統(tǒng)級得到的優(yōu)化解是否最優(yōu)且魯棒。在學科級魯棒設計問題的評估與優(yōu)化過程中，由共享設計變量不一致性帶來的模型不確定性可能會對約束函數魯棒性評估產生很大影響，使得約束函數魯棒性評估的精確性與所得最優(yōu)解的有效性受到質疑。

為了分析約束條件魯棒性評估的精確性，需要在優(yōu)化過程結束后通過系統(tǒng)分析對最終優(yōu)化解的真實魯棒約束函數值進行校核。魯棒約束函數的優(yōu)化值與系統(tǒng)分析值之間的偏差可以量化為

(5)

(6)

(7)

2.2 算例分析

s.t.

g2=(x2-2)2-x1≤0；

-10≤x1,x2≤10。

(8)

采用CO框架可以將問題(8)分解為1個系統(tǒng)級和2個學科級優(yōu)化問題，為了避免CO系統(tǒng)級收斂困難的問題，本文在系統(tǒng)級采用固定松弛因子的方法，設置松弛因子ε=0.000 5，則其RCO模型描述如下：

(1)系統(tǒng)級優(yōu)化問題

minFR=ωF+(1-ω)ΔF；

s.t.

z=[z1,z2]。

(9)

(2)子學科1優(yōu)化問題

s.t.

gR1=g1+ΔgR1≤0；

x1=[x11,x12]。

(10)

(3)子學科2優(yōu)化問題

s.t.

gR2=g2+ΔgR2≤0；

g2=(x22-2)2-x21；

x2=[x21,x22]。

(11)

表1 RCO方法的優(yōu)化結果

表2 RCO方法的魯棒性評估分析結果

3 混合不確定性魯棒協同優(yōu)化方法

多學科CO設計問題很難消除系統(tǒng)級與學科級之間的不一致性，因此這種模型不確定性不可避免，應該作為魯棒優(yōu)化設計時考慮的不確定因素。針對第2章分析的模型不確定性對約束函數魯棒性評估精確性產生影響的問題，本文在文獻[15]的基礎上提出一種MURCO方法，對學科級的魯棒約束函數表達式進行修正。

3.1 新的學科級優(yōu)化問題表達式

在MURCO結構框架中，當計算學科級約束函數魯棒性變差時，對不確定性因素來源的考慮更加全面，其不僅包含輸入變量的不確定性，還包含代表優(yōu)化過程中共享設計變量不一致性的模型不確定性，即在子學科的約束函數魯棒性變差表達式中補充了由共享設計變量不一致性引起的約束函數變差，其評估方法也采用了基于一階泰勒級數展開式的靈敏度分析方法，同時在評估由設計變量不確定性引起的約束函數變差時，采用了系統(tǒng)級的共享設計變量變差Δz*替代學科級的對應值ΔxSi，以盡可能保持系統(tǒng)級與學科級的一致性。修正后的子學科魯棒約束函數表達式描述如下：

(12)

s.t.

xi=[xSi,xLi]。

(13)

3.2 算例分析

表3 MURCO方法的優(yōu)化結果

表4 MURCO方法的魯棒性評估分析結果

4 MURCO在衛(wèi)星結構優(yōu)化上的應用

隨著現代衛(wèi)星系統(tǒng)平臺規(guī)模的日益增大，結構優(yōu)化設計成為現代衛(wèi)星系統(tǒng)設計的重要技術，除了結構輕量化要求外，還對衛(wèi)星發(fā)射階段的結構強度和模態(tài)特性提出了要求。衛(wèi)星結構通常有很長的服役期，而且工作環(huán)境復雜多變，其在設計和工作中都存在很多不確定性因素，為了保證長期正常工作，設計者在進行結構設計時必須考慮不確定性因素對結構性能的影響，開展衛(wèi)星結構的魯棒性優(yōu)化設計。多學科CO方法因其分布式的兩級優(yōu)化結構和高度的學科自治性，在衛(wèi)星系統(tǒng)的優(yōu)化設計問題中已經得到廣泛應用[16-19]，然而采用RCO方法提高衛(wèi)星系統(tǒng)優(yōu)化設計結果魯棒性的研究還不多見。本文將多學科魯棒優(yōu)化設計理念應用到某衛(wèi)星結構優(yōu)化問題中，同時驗證MURCO方法的工程適用性。

4.1 衛(wèi)星結構優(yōu)化問題的描述

本文考慮衛(wèi)星結構的模態(tài)特性和靜態(tài)載荷下的力學特性兩個子學科對衛(wèi)星結構進行多學科魯棒優(yōu)化設計。某衛(wèi)星結構的有限元結構模型如圖2所示，通過有限元分析得出衛(wèi)星結構的模態(tài)特性，以及某一工況下的靜力學特性，建立優(yōu)化問題的簡化數學模型如下：

minF=M。

s.t.

g1=σmax-[σ]≤0；

g2=dmax-[τ]≤0；

g3=[fx]-fx≤0；

g4=[fy]-fy≤0；

g5=[fz]-fz≤0；

x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9]。

(14)

式中：目標函數為結構質量M最小化；σmax和ωmax為靜力學分析得到的結構最大正應力和最大位移，[σ]和[ω]為相應的許用應力和許用位移；fx，fy，fz分別為模態(tài)分析中衛(wèi)星結構的x，y，z方向一階基頻，[fx]，[fy]，[fz]分別為其下限；設計變量x1～x9為衛(wèi)星結構中重要構件(艙板和承力梁)的尺寸參數。

4.2 RCO數學模型

采用RCO方法可以將問題(14)分解為一個系統(tǒng)級優(yōu)化問題和兩個學科級優(yōu)化問題，即靜力學子學科和動力學子學科，g1和g2為靜力學子學科的約束條件，g3～g5為動力學子學科的約束條件，x1～x4為共享設計變量，x5，x6為靜力學子學科的局部設計變量，x7～x9為動力學子學科的局部設計變量。為了進一步體現一般RCO方法中的約束函數魯棒性評估問題，對問題(14)進行魯棒設計時只考慮了共享設計變量的不確定性，其變差設為Δx=±0.01x，在系統(tǒng)級也采用松弛因子方法，并分別采用一般RCO框架和本文提出的MURCO框架對建模進行求解，其中采用MURCO框架的衛(wèi)星結構數學模型描述如下：

(1)系統(tǒng)級優(yōu)化問題

minFR=ωM+(1-ω)ΔM；

s.t.

z=[z1,z2,z3,z4]。

(15)

(2)靜力學優(yōu)化問題

s.t.

x1=[xS11,xS12,xS13,xS14,x15,x16]。

(16)

(3)動力學優(yōu)化問題

s.t.

x2=[xS21,xS22,xS23,xS24,x27,x28,x29]。

(17)

4.3 優(yōu)化求解及結果分析

在系統(tǒng)級優(yōu)化問題中，采用全局ASA算法分別對一般RCO框架和MURCO框架下的優(yōu)化模型進行求解，通過500次迭代后，得到優(yōu)化結果及其系統(tǒng)分析結果如表5～表7所示。

表5 RCO方法和MURCO方法的優(yōu)化結果

表6 RCO方法的魯棒性評估分析結果

表7 MURCO方法的魯棒性評估分析結果

由表5可見，通過兩種RCO方法和全局ASA算法，上述衛(wèi)星結構的魯棒優(yōu)化設計問題得到了與目標函數值非常相近的全局最優(yōu)解，然而從約束函數的魯棒性評估分析結果來看，兩種方法有很大差別，如表6和表7所示。采用一般RCO方法求解時，在兩個子學科的約束函數魯棒性評估結果中，模型不確定性帶來的約束函數變差都占有較大比例，尤其是非線性較強的動力學子學科的約束函數，模型不確定性產生的最大約束函數變差達到了由設計變量不確定性所引起變差的14.937%，再次證明了系統(tǒng)級與學科級不一致性對約束函數魯棒性評估的影響不可忽視。當考慮模型不確定性影響，并采用MURCO方法求解時，優(yōu)化結果與系統(tǒng)分析結果之間的偏差明顯降低，相對于設計變量不確定性引起的變差，偏差的最大值不超過變差的1%。優(yōu)化結果與系統(tǒng)分析結果之間的偏差不能被完全消除，是由于在評估模型不確定性引起的約束函數變差時采用了基于一階泰勒展開式的靈敏度分析方法，該方法對非線性約束函數不夠精確，仍然殘留了一定模型誤差，然而由表7可見，該誤差基本被降低到可以忽略的范圍內。因此，本文所提MURCO方法對改善RCO問題中約束函數魯棒性評估的精確性非常有效，而且適用于具有一定非線性的工程優(yōu)化問題。

5 結束語

基于罰函數方法、松弛因子方法等改進措施的RCO方法，在某種程度上均對系統(tǒng)級一致性等式約束進行了松弛，導致優(yōu)化結果中系統(tǒng)級共享設計變量與學科級之間存在一定差異，給魯棒優(yōu)化設計帶來了一定模型不確定性。本文首先通過采用松弛因子方法和ASA算法對一個數值算例進行RCO求解，分析了該模型不確定性對輸出變量魯棒性評估的影響，得到的優(yōu)化結果表明，這種模型不確定性使約束函數魯棒性評估產生了很大偏差，在魯棒優(yōu)化設計過程中不應被忽略。

為了改善RCO結果的魯棒性，本文基于一階泰勒級數展開式的靈敏度分析方法，提出一種MURCO方法對子學科魯棒約束函數的表達式進行修正，使魯棒性評估過程中的不確定性因素不僅包括各輸入變量的不確定性，還考慮了CO求解過程中產生的模型不確定性，采用該方法求解分析數值算例，能夠顯著減小魯棒約束函數的系統(tǒng)分析值與優(yōu)化值之間的偏差，使其均不超過輸入變量不確定性帶來的約束函數變差的0.1%。

最后，本文將MURCO方法應用于一個衛(wèi)星結構的優(yōu)化設計問題，并基于松弛因子方法和ASA算法進行求解，得到一個滿意的魯棒最優(yōu)解。相對于一般RCO方法，MURCO方法顯著提高了約束函數魯棒性評估的精確度，即使針對動力學子學科中部分非線性較強的約束變量，也能將其魯棒約束函數的系統(tǒng)分析值與優(yōu)化值之間的偏差降低到可以忽略的量級，從而驗證了MURCO方法的可行性和工程適用性，為復雜系統(tǒng)的多學科魯棒優(yōu)化設計提供了一個有效且可靠的方法。

雖然MURCO方法在提高約束函數魯棒性評估精確性上表現出了較好的潛質，但是當復雜系統(tǒng)優(yōu)化問題包含更多子學科和耦合變量，且系統(tǒng)輸出具有高度的非線性時，MURCO方法的適用性還需進一步研究。將來的研究將考慮在求解復雜系統(tǒng)優(yōu)化設計問題時，將RCO框架與高效代理模型結合，同時考慮輸入量的不確定性和各種模型不確定性，探索不確定性的精確評估方法，研究適用于大型復雜工程系統(tǒng)更高效、更精確、更穩(wěn)健的優(yōu)化設計方法。