陳龍
一、水平轉(zhuǎn)臺(tái)
水平轉(zhuǎn)臺(tái)上單一物塊隨圓盤(pán)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是靠靜摩擦力來(lái)充當(dāng)向心力,而較為復(fù)雜的是繩子連兩物塊在圓盤(pán)上做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題.
例1 如圖1所示,在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上有沿半徑方向放置用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的A、B兩小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),細(xì)線處于剛好伸直狀態(tài)(未繃緊),A和B距軸心O的距離分別為R和2R,兩小物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間的最大靜摩擦力均為重力的K倍,兩物塊隨圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)與圓盤(pán)保持相對(duì)靜止,當(dāng)圓盤(pán)角速度緩慢從0增加時(shí),試分析兩小物塊所受摩擦力FfA、FfB隨轉(zhuǎn)臺(tái)角速度的平方(ω2)的變化圖像.
解析 當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度比較小時(shí),A、B物塊做
圖1圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由靜摩擦力提供, A的摩擦力為FfA=mω2R,B的摩擦力為FfB=mω22R,隨著角速度增大,由上兩式可知A、B物塊所受的摩擦力與ω2成正比.接著繼續(xù)增大角速度ω,B物塊的靜摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力Kmg,此時(shí)對(duì)B分析,Kmg=
mω212R可得:ω1=Kg2R ,此時(shí)A的摩擦力為
12Kmg.
此后繩子出現(xiàn)張力,B物塊所受的摩擦力不變;對(duì)A分析:FfA-FT=mω2R;對(duì)B分析:FT+Kmg=mω22R,兩式子聯(lián)立可得:FfA=3mω2R-Kmg,隨著角速度繼續(xù)增大,F(xiàn)fA也繼續(xù)增大,當(dāng)FfA增大到Kmg時(shí),A和B能圓盤(pán)保持相對(duì)靜止做圓周運(yùn)動(dòng)達(dá)到臨界,角速度不能再增加了,最大角速度為ω2有:Kmg=3mω22R-Kmg,得ω2=2Kg3R,如圖2、圖3所示.
圖2???????? 圖3
點(diǎn)撥 此題的關(guān)鍵是抓住A、B兩物塊和圓盤(pán)保持相對(duì)靜止做圓周運(yùn)動(dòng)始終角速度相等,屬于共軸傳動(dòng),B的半徑大所以B需要的向心力大,B先達(dá)到最大靜摩擦.角速度從0增大逐步分析出A、B摩擦力的表達(dá)式才能畫(huà)出圖像得到A、B摩擦力隨角速度ω的變化關(guān)系.
拓展 對(duì)于例1而言,若A、B兩物塊在圓心兩側(cè)如圖4所示,距軸心O的距離為R和2R,試分析兩小物塊所受摩擦力FfA、FfB隨轉(zhuǎn)臺(tái)角速度的平方(ω2)的變化圖像.
圖4
解析 當(dāng)角速度從0緩慢增大時(shí),A、B做圓周運(yùn)動(dòng)向心力僅由摩擦力提供,當(dāng)物塊B摩擦力增大到最大靜摩擦力時(shí)繩子開(kāi)始出現(xiàn)張力,此時(shí)角速度為ω1 ,對(duì)B分析:Kmg= mω212R可得:ω1=Kg2R,此時(shí)A的摩擦力為12Kmg.繼續(xù)增大角速度B受到最大靜摩擦力不足以充當(dāng)向心力,有離心趨勢(shì),需要繩子提供拉力.
即FT+Kmg=mω22R
對(duì)于A分析:繩子和摩擦力的合力充當(dāng)向心力,F(xiàn)T+FfA=mω2R
聯(lián)立可得:FfA=Kmg-mω2R,當(dāng)ω=KgR時(shí),F(xiàn)fA=0,F(xiàn)T=Kmg.角速度再繼續(xù)增大A的摩擦力方向反向,對(duì)A分析:FT-FfA=mω2R.聯(lián)立可得:FfA=mω2R-Kmg.當(dāng)ω=2KgR時(shí),F(xiàn)fA=Kmg
當(dāng)ω>2KgR時(shí),A、B整體在圓盤(pán)上發(fā)生相對(duì)滑動(dòng),如圖5、6所示.
圖5???????? 圖6
點(diǎn)撥 分析該問(wèn)題關(guān)鍵在于繩子出現(xiàn)張力后,兩物塊所受靜摩擦力隨角速度如何變化及A物塊摩擦力方向開(kāi)始反向?qū)?yīng)角速度.
二、圓錐擺
簡(jiǎn)化的圓錐擺模型向心力是由重力和繩子拉力合力來(lái)提供,而圓錐擺的變形,向心力由誰(shuí)來(lái)提供及臨界問(wèn)題較為復(fù)雜.
例2 用一根細(xì)線一端系一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球,另一端固定在一光滑錐頂上,如圖7所示,設(shè)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω.線的張力為FT,試分析FT隨ω2變化的圖像.
圖7???????? 圖8
解析 設(shè)細(xì)線長(zhǎng)為L(zhǎng),錐面與豎直方向夾角為θ,當(dāng)ω=0時(shí),小球靜止,受重力mg、支持力FN和細(xì)線的拉力為FT而平衡,如圖8所示,則FT=mgcosθ.
當(dāng)ω>0時(shí),小球做圓周運(yùn)動(dòng),三力的合力來(lái)充當(dāng)向心力如圖9所示,由牛頓第二定律得:
FTsinθ-FNcosθ=mω2Lsinθ,F(xiàn)Tcosθ+FNsinθ=mg.
解得FT=mω2Lsin2θ+mgcosθ,F(xiàn)T關(guān)于ω2的函數(shù)為一次函數(shù),斜率為mrcosθ
FN=mgsinθ-mω2Lsinθcosθ
ω增大時(shí),F(xiàn)T增大,F(xiàn)N減小,當(dāng)FN=0時(shí),設(shè)角速度為ω0
ω0=gLcosθ,此時(shí)FT=mgcosθ.
當(dāng)ω>ω0時(shí),小球離開(kāi)錐面,線與豎直方向夾角變大,設(shè)為β,由牛頓第二定律得,F(xiàn)Tsinβ=mω2Lsinβ,所以FT=mLω2, FT關(guān)于ω2的函數(shù)為正比例函數(shù),斜率為mL>mrcosθ,如圖10所示.
圖9???????? 圖10
點(diǎn)撥 此題分析的難點(diǎn)在于小球在錐面上時(shí)的受力問(wèn)題,繩子的拉力和錐面的支持力隨角速度如何變化,需要利用正交分解具體求解出拉力和支持力才能看出它們的關(guān)系.
拓展 如圖11(1)所示,裝置BOO′可繞豎直軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng),可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn),裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平,細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°,已知小球的質(zhì)量m=1kg,細(xì)線AC長(zhǎng)l=1m,B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等(重力加速度g取10m/s2,sin37°=35,cos37°=45)
圖11
(1)若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω1時(shí),細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°,求角速度ω1的大小;
(2)若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω2=503rad/s,求細(xì)線AC與豎直方向的夾角;
(3)裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng),試通過(guò)計(jì)算在圖11(2)中畫(huà)出細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω2變化的關(guān)系圖像.
解析 (1)細(xì)線AB上張力恰為零時(shí)有
T·sin37°=mω21r,T·cos37°=mg,r=l·sin37°
由以上各式得mgtan37°=mω21lsin37°
解得ω1=glcos37°=504rad/s=522rad/s
(2)由幾何關(guān)系可得,當(dāng)AB上有拉力時(shí),細(xì)線AB處于豎直方向,細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ′.設(shè)細(xì)線AB恰好豎直,但張力為零時(shí)有mgtanθ′=
mω20lsinθ′.
由B點(diǎn)到C點(diǎn)的水平距離和豎直距離相等,根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算sinθ′=lcos37°l=45
可得θ′=53°,故有ω0=503rad/s
又ω2=503rad/s,可得此時(shí)細(xì)線AB恰好豎直,細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ′=53° .
(3)ω≤ω1=522rad/s時(shí),細(xì)線AB水平,細(xì)線AC上張力的豎直分量等于小球的重力,有Tcosθ=mg,解得T=mgcosθ=12.5N.
ω1≤ω≤ω0時(shí)細(xì)線AB松弛,細(xì)線AC上張力的水平分量等于小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力,有Tsinθ=mω2lsinθ,解得T=mω2l.
ω>ω0時(shí),細(xì)線AB在豎直方向繃直,仍然由細(xì)線AC上張力的水平分量提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力,有Tsinθ=mω2lsinθ,解得T=mω2l.
綜上所述有ω≤ω1=522rad/s時(shí),T=12.5N不變;ω>ω1時(shí),T=mω2l=ω2N;
T-ω2關(guān)系圖像如圖12所示:
圖12
根據(jù)以上分析可知,結(jié)合圖像法來(lái)分析水平面圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題,關(guān)鍵在于通過(guò)受力分析找到向心力真正的來(lái)源,利用牛頓第二定律表達(dá)出物體受力和角速度的關(guān)系式,進(jìn)而畫(huà)出圖像使得臨界問(wèn)題清晰明了.
(收稿日期:2021-09-28)