胡朝平

機(jī)械波的多解問題是高中物理的一個難點(diǎn)，也是歷來高考中的熱點(diǎn).學(xué)生在求解機(jī)械波問題時，往往由于對波動的實(shí)質(zhì)理解不深刻、對題目中隱含條件挖掘不透徹、對已知條件使用不全面等，常常會出現(xiàn)解答不完整而造成漏解.本文限于橫波沿一條直線傳播的情形，就常見的機(jī)械波多解問題通過剖析其成因進(jìn)行歸類例析，力求幫助大家掌握解決此類問題的方法.

一、造成波動問題多解的原因有

傳播方向、波長大小、波形周期、質(zhì)點(diǎn)振動方向、傳播時間、質(zhì)點(diǎn)振動圖像.

1.傳播方向?qū)е碌亩嘟鈫栴}

波源起振后產(chǎn)生的波可以在介質(zhì)中向四周傳播.若題中沒有特別注明傳播方向，則求解時必須討論其傳播方向，從而導(dǎo)致了波的多解問題.

例1 一列簡諧橫波在t=0時刻的波形如圖1中的實(shí)線所示，t=0.02 s時刻的波形如圖1所示中虛線所示.若該波的周期T大于0.02 s，則該波的傳播速度可能是（? ）.

A.1 m/s B.2m/s C.3m/s D.5 m/s

圖1

解析 由于該波的周期大于0.02 s，則波沿傳播方向傳播的距離小于一個波長，即Δx<8 cm.

若波向右傳播，則Δx=2 cm，

v=ΔxΔt=0.020.02 m/s=1 m/s

若波向左傳播，則Δx=6 cm，

v=ΔxΔt=0.060.02 m/s=3? m/s

故A、C正確.

答案：AC

2.波長大小導(dǎo)致的多解問題

因題中沒有給定波長的確切條件，故引起答案的不確定性導(dǎo)致多解問題.

例2 一列簡諧橫波沿直線傳播，某時刻該列波上正好經(jīng)過平衡位置的兩質(zhì)點(diǎn)相距6 m，且這兩質(zhì)點(diǎn)之間的波峰只有一個，則該簡諧波可能的波長為（? ）.

A.4 m、6 m和8 m? B.6 m、8 m和12 m

C.4 m、6 m和12 mD.4 m、8 m和12 m

解析 畫出符合條件的所有可能波形，如圖2所示.分別有λ2 =6 m，λ=6 m，3λ2=6 m，則λ可能為4 m、6 m和12 m，C正確.

圖2

答案：C

3.波形周期導(dǎo)致的多解問題

簡諧機(jī)械波是周期性的，每經(jīng)過一個周期波形與原波形重復(fù)，從而導(dǎo)致了問題的多解性.

例3 如圖3所示中實(shí)線是一列簡諧波在某一時刻的波形圖線，虛線是0.2s后它的波形圖線.這列波可能的傳播速度是.

圖3

解析 從圖上可以看出λ=4m，當(dāng)波沿x正方向傳播時，兩次波形之間間隔的時間為：14T，114T，214T，…，4n+14T.

而4n+14T=0.2s

T=4×0.24n+1s

由波速公式v=λT代入數(shù)據(jù)得：v=4n+30.2 m/s=20n+5 m/s （n=0，1，2，…）;

當(dāng)波沿x負(fù)方向傳播時，兩次波形之間間隔的時間為：34T，134T，234T，…，4m+34T

4m+34T=0.2，T=4×0.24m+3，

由波速公式v=λT

代入數(shù)據(jù)得：v′=4m+30.2 m/s=20m+15 m/s （m=0，1，2，…）

此題的答案為：（20n+5） m/s，（n=0，1，2，…）和（20m+15） m/s，（m=0，1，2，…）.

答案：（20n+5）m/s，（n=0，1，2，…）和（20m+15） m/s，（m=0，1，2，…）

4.質(zhì)點(diǎn)振動方向?qū)е露嘟鈫栴}

例4 一根張緊的水平彈性長繩上的a、b兩點(diǎn)，相距14.0 m，b點(diǎn)在a點(diǎn)的右方，如圖4所示.當(dāng)一列簡諧橫波沿此長繩向右傳播時，若a點(diǎn)的位移達(dá)到正極大時，b點(diǎn)的位移恰為零，且向下運(yùn)動，經(jīng)過1.00 s后，a點(diǎn)的位移為零，且向下運(yùn)動，而b點(diǎn)的位移達(dá)到負(fù)極大，則這簡諧橫波的波速可能等于（? ）.

A.4.67 m/s B.6 m/s C.10 m/s D.14 m/s

圖4????????? 圖5

解析 由于波向右傳播，據(jù)“a點(diǎn)位移達(dá)正極大時，b點(diǎn)的位移恰為零，且向下運(yùn)動”，可畫出此時a、b間的最簡波形，如圖5所示.因未明確a、b距離與波長的約束關(guān)系，故a、b間的距離存在“周期性”.即n1+34λ=ab=14m （n1=0，1，2，…）

因所給定時間與周期的關(guān)系未知，故運(yùn)動時間也存在“周期性”.即（n2+14）T=Δt=1.00 s（n2=0，1，2，…）

因此可能的波速為v=λT=14（4n2+1）4n1+3m/s

當(dāng)n2=0，n1=0時，v=4.67 m/s;

當(dāng)n2=0，n1=1時，v=2 m/s;

（n2=0，v隨n1增大還將減小.）

當(dāng)n2=1，n1=0時，v=23.3 m/s;（n1=0，V隨n2的增大而增大.）

當(dāng)n2=1，n1=1時，v=10 m/s;

據(jù)以上計算數(shù)據(jù)，不可能出現(xiàn)B和D選項(xiàng)的結(jié)果，故選項(xiàng)A、C正確.

答案：AC

5.傳播時間導(dǎo)致的多解問題

題目中所給定的時間條件不充分，可能比一個周期長，可能比一個周期短，從而導(dǎo)致了多解問題的出現(xiàn).

例5 某時刻的波形圖如圖6所示，波沿x軸正方向傳播，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=0.32 m.從此時刻開始計時.

圖6

（1）若P點(diǎn)經(jīng)0.4 s第一次達(dá)到最大正位移，求波速.

（2）若P點(diǎn)經(jīng)0.4 s到達(dá)平衡位置，波速又如何？

解析 （1）依題意，經(jīng)時間Δt=0.4 s，波向右傳播的距離Δx=0.32 m-0.2 m=0.12 m，此時P點(diǎn)恰好第一次達(dá)到最大正位移

波速 v=ΔxΔt=0.120.4 m/s=0.3? m/s.

（2）波向右傳播Δx′=0.32 m，P點(diǎn)恰好第一次達(dá)到平衡位置，由波的周期性可知，波可能傳播的距離Δx′=0.32+λ2n，（n=0、1、2、3…）

波速v′=Δx′Δt=0.32+

0.82n0.4? m/s

=（0.8+n）? m/s，（n=0、1、2、3…）

答案：（1）0.3? m/s （2）（0.8+n） m/s，（n=0、1、2、3…）

6.波動圖像上和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動導(dǎo)致的多解問題在波動問題中，往往只給出完整波形的一部分，或給出幾個特殊點(diǎn)，而其余信息均處于隱含狀態(tài).這樣波形就有多種情況，形成波動問題的多解性.

例6 一列正弦橫波在x軸上傳播，a、b是x軸上相距sab=6m的兩質(zhì)點(diǎn)，t=0，b點(diǎn)正好振動到最高點(diǎn)而a點(diǎn)恰好經(jīng)過平衡位置向上運(yùn)動，已知這列波的頻率為25 Hz.

（1）設(shè)a、b在x軸上的距離小于一個波長，試求出該波的波速.

（2）設(shè)a、b在x軸上的距離大于一個波長，試求出該波的波速，若波速為40 m/s時，求波的傳播方向.

圖7

解析 （1）若波向右傳播，a和b兩質(zhì)點(diǎn)應(yīng)于如圖7所示的a1和b1的兩位置，sab=34λ1=6m，λ1=8m，向右傳播的波速v1=λ1f=200? m/s.

若波向左傳播，a和b兩質(zhì)點(diǎn)應(yīng)分別位于圖7中a2和b1兩位置，sab=14λ2=6 m，λ2=24 m，向左傳播的波速v2=λ2f=600? m/s.

（2）因a，b在x軸上的距離大于一個波長，若波向右傳播，a質(zhì)點(diǎn)若位于圖7中a1的位置，則b質(zhì)點(diǎn)可位于b1，b2，…等位置，此時，sab=34λ右+nλ右=6 m，（n=1，2，3，…），λ右=244n+3 m，向右傳播的波速v右=λ右f=6004n+3? m/s，（n=1，2，3，…）

若波向左傳播，a質(zhì)點(diǎn)若位于圖7中的a2的位置，則b質(zhì)點(diǎn)可位于b1，b2，…等位置，此時，sab=

34λ左+nλ左=6 m，λ左=244n+1 m.向左傳播的波速 v左=λ左f=6004n+1 m/s，（n=1，2，3，…）

當(dāng)波速為40? m/s時，該波向左傳播，應(yīng)有：6004n+1 =40，n=144，無整數(shù)解，故不可能向左.設(shè)波向右傳播，有6004n+3=40，n=3，故可以判定當(dāng)波速為40? m/s時，波傳播的方向是由左向右.

答案：（1）600? m/s （2）40? m/s

例7 一簡諧橫波沿水平繩沿x軸負(fù)方向以

v=20 m/s的波速傳播.已知t=0時的波形如圖8所示，繩上兩質(zhì)點(diǎn)M、N的平衡位置分別是xM=5 m、xN=35 m.從該時刻開始計時，求：

（1）質(zhì)點(diǎn)N第一次回到平衡位置的時間t;

（2）平衡位置在x=20m的質(zhì)點(diǎn)，其振動的位移隨時間變化的表達(dá)式（用余弦函數(shù)表示）;

（3）經(jīng)過多長時間，質(zhì)點(diǎn)M、N振動的速度相同.圖8

解析 （1）機(jī)械波在均勻介質(zhì)中勻速傳播，波沿x軸負(fù)方向傳播，平衡位置的振動狀態(tài)距N點(diǎn)

t=Δxv=50-3520s，

解得t=0.75 s;

（2）由題知A=2 m，λ=40 m，T=λv=2 s，ω=2πT=π（rad/s）

該質(zhì)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為20 m=12λ，則該質(zhì)點(diǎn)的初相位為φ0=12×2π=π，

故該質(zhì)點(diǎn)的振動表達(dá)式為y=Acosωt+φ0=2cos（πt+π）（m）

或y=-2cosπt（m）;

（3）當(dāng)某質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置時，其兩側(cè)與它平衡位置間距相等的質(zhì)點(diǎn)速度相同，平衡位置的振動狀態(tài)傳播到MN中點(diǎn)的距離Δx′=λ4+nλ2（n=0，1，2…）

經(jīng)過的時間t′=Δx′v，

解得t′=（n+0.5）（s），（n=0，1，2…）

答案：（1）0.75s;（2） y=-2cosπt（m）;（3） t′=（n+0.5）（s），（n=0，1，2…）

二、解決波的多解問題的思路

一般采用從特殊到一般的思維方法，即找出一個周期內(nèi)滿足條件的關(guān)系Δt或Δx，若此關(guān)系為時間，則t=nT+Δt（n=0，1，2，…）;若此關(guān)系為距離，則x=nλ+Δx（n=0，1，2…）.

三、波的多解問題的一般解題步驟

（1）根據(jù)初末兩時刻的波形圖確定傳播距離與波長的關(guān)系通式.

（2）根據(jù)題設(shè)條件判斷是唯一解還是多解.

（3）根據(jù)波速公式v=ΔxΔt或v=λT=λf求波速.

（收稿日期：2021-09-10）