胡朝平
機(jī)械波的多解問題是高中物理的一個難點(diǎn),也是歷來高考中的熱點(diǎn).學(xué)生在求解機(jī)械波問題時,往往由于對波動的實(shí)質(zhì)理解不深刻、對題目中隱含條件挖掘不透徹、對已知條件使用不全面等,常常會出現(xiàn)解答不完整而造成漏解.本文限于橫波沿一條直線傳播的情形,就常見的機(jī)械波多解問題通過剖析其成因進(jìn)行歸類例析,力求幫助大家掌握解決此類問題的方法.
一、造成波動問題多解的原因有
傳播方向、波長大小、波形周期、質(zhì)點(diǎn)振動方向、傳播時間、質(zhì)點(diǎn)振動圖像.
1.傳播方向?qū)е碌亩嘟鈫栴}
波源起振后產(chǎn)生的波可以在介質(zhì)中向四周傳播.若題中沒有特別注明傳播方向,則求解時必須討論其傳播方向,從而導(dǎo)致了波的多解問題.
例1 一列簡諧橫波在t=0時刻的波形如圖1中的實(shí)線所示,t=0.02 s時刻的波形如圖1所示中虛線所示.若該波的周期T大于0.02 s,則該波的傳播速度可能是(? ).
A.1 m/s B.2m/s C.3m/s D.5 m/s
圖1
解析 由于該波的周期大于0.02 s,則波沿傳播方向傳播的距離小于一個波長,即Δx<8 cm.
若波向右傳播,則Δx=2 cm,
v=ΔxΔt=0.020.02 m/s=1 m/s
若波向左傳播,則Δx=6 cm,
v=ΔxΔt=0.060.02 m/s=3? m/s
故A、C正確.
答案:AC
2.波長大小導(dǎo)致的多解問題
因題中沒有給定波長的確切條件,故引起答案的不確定性導(dǎo)致多解問題.
例2 一列簡諧橫波沿直線傳播,某時刻該列波上正好經(jīng)過平衡位置的兩質(zhì)點(diǎn)相距6 m,且這兩質(zhì)點(diǎn)之間的波峰只有一個,則該簡諧波可能的波長為(? ).
A.4 m、6 m和8 m? B.6 m、8 m和12 m
C.4 m、6 m和12 mD.4 m、8 m和12 m
解析 畫出符合條件的所有可能波形,如圖2所示.分別有λ2 =6 m,λ=6 m,3λ2=6 m,則λ可能為4 m、6 m和12 m,C正確.
圖2
答案:C
3.波形周期導(dǎo)致的多解問題
簡諧機(jī)械波是周期性的,每經(jīng)過一個周期波形與原波形重復(fù),從而導(dǎo)致了問題的多解性.
例3 如圖3所示中實(shí)線是一列簡諧波在某一時刻的波形圖線,虛線是0.2s后它的波形圖線.這列波可能的傳播速度是.
圖3
解析 從圖上可以看出λ=4m,當(dāng)波沿x正方向傳播時,兩次波形之間間隔的時間為:14T,114T,214T,…,4n+14T.
而4n+14T=0.2s
T=4×0.24n+1s
由波速公式v=λT代入數(shù)據(jù)得:v=4n+30.2 m/s=20n+5 m/s (n=0,1,2,…);
當(dāng)波沿x負(fù)方向傳播時,兩次波形之間間隔的時間為:34T,134T,234T,…,4m+34T
4m+34T=0.2,T=4×0.24m+3,
由波速公式v=λT
代入數(shù)據(jù)得:v′=4m+30.2 m/s=20m+15 m/s (m=0,1,2,…)
此題的答案為:(20n+5) m/s,(n=0,1,2,…)和(20m+15) m/s,(m=0,1,2,…).
答案:(20n+5)m/s,(n=0,1,2,…)和(20m+15) m/s,(m=0,1,2,…)
4.質(zhì)點(diǎn)振動方向?qū)е露嘟鈫栴}
例4 一根張緊的水平彈性長繩上的a、b兩點(diǎn),相距14.0 m,b點(diǎn)在a點(diǎn)的右方,如圖4所示.當(dāng)一列簡諧橫波沿此長繩向右傳播時,若a點(diǎn)的位移達(dá)到正極大時,b點(diǎn)的位移恰為零,且向下運(yùn)動,經(jīng)過1.00 s后,a點(diǎn)的位移為零,且向下運(yùn)動,而b點(diǎn)的位移達(dá)到負(fù)極大,則這簡諧橫波的波速可能等于(? ).
A.4.67 m/s B.6 m/s C.10 m/s D.14 m/s
圖4????????? 圖5
解析 由于波向右傳播,據(jù)“a點(diǎn)位移達(dá)正極大時,b點(diǎn)的位移恰為零,且向下運(yùn)動”,可畫出此時a、b間的最簡波形,如圖5所示.因未明確a、b距離與波長的約束關(guān)系,故a、b間的距離存在“周期性”.即n1+34λ=ab=14m (n1=0,1,2,…)
因所給定時間與周期的關(guān)系未知,故運(yùn)動時間也存在“周期性”.即(n2+14)T=Δt=1.00 s(n2=0,1,2,…)
因此可能的波速為v=λT=14(4n2+1)4n1+3m/s
當(dāng)n2=0,n1=0時,v=4.67 m/s;
當(dāng)n2=0,n1=1時,v=2 m/s;
(n2=0,v隨n1增大還將減小.)
當(dāng)n2=1,n1=0時,v=23.3 m/s;(n1=0,V隨n2的增大而增大.)
當(dāng)n2=1,n1=1時,v=10 m/s;
據(jù)以上計算數(shù)據(jù),不可能出現(xiàn)B和D選項(xiàng)的結(jié)果,故選項(xiàng)A、C正確.
答案:AC
5.傳播時間導(dǎo)致的多解問題
題目中所給定的時間條件不充分,可能比一個周期長,可能比一個周期短,從而導(dǎo)致了多解問題的出現(xiàn).
例5 某時刻的波形圖如圖6所示,波沿x軸正方向傳播,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=0.32 m.從此時刻開始計時.
圖6
(1)若P點(diǎn)經(jīng)0.4 s第一次達(dá)到最大正位移,求波速.
(2)若P點(diǎn)經(jīng)0.4 s到達(dá)平衡位置,波速又如何?
解析 (1)依題意,經(jīng)時間Δt=0.4 s,波向右傳播的距離Δx=0.32 m-0.2 m=0.12 m,此時P點(diǎn)恰好第一次達(dá)到最大正位移
波速 v=ΔxΔt=0.120.4 m/s=0.3? m/s.
(2)波向右傳播Δx′=0.32 m,P點(diǎn)恰好第一次達(dá)到平衡位置,由波的周期性可知,波可能傳播的距離Δx′=0.32+λ2n,(n=0、1、2、3…)
波速v′=Δx′Δt=0.32+
0.82n0.4? m/s
=(0.8+n)? m/s,(n=0、1、2、3…)
答案:(1)0.3? m/s (2)(0.8+n) m/s,(n=0、1、2、3…)
6.波動圖像上和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動導(dǎo)致的多解問題在波動問題中,往往只給出完整波形的一部分,或給出幾個特殊點(diǎn),而其余信息均處于隱含狀態(tài).這樣波形就有多種情況,形成波動問題的多解性.
例6 一列正弦橫波在x軸上傳播,a、b是x軸上相距sab=6m的兩質(zhì)點(diǎn),t=0,b點(diǎn)正好振動到最高點(diǎn)而a點(diǎn)恰好經(jīng)過平衡位置向上運(yùn)動,已知這列波的頻率為25 Hz.
(1)設(shè)a、b在x軸上的距離小于一個波長,試求出該波的波速.
(2)設(shè)a、b在x軸上的距離大于一個波長,試求出該波的波速,若波速為40 m/s時,求波的傳播方向.
圖7
解析 (1)若波向右傳播,a和b兩質(zhì)點(diǎn)應(yīng)于如圖7所示的a1和b1的兩位置,sab=34λ1=6m,λ1=8m,向右傳播的波速v1=λ1f=200? m/s.
若波向左傳播,a和b兩質(zhì)點(diǎn)應(yīng)分別位于圖7中a2和b1兩位置,sab=14λ2=6 m,λ2=24 m,向左傳播的波速v2=λ2f=600? m/s.
(2)因a,b在x軸上的距離大于一個波長,若波向右傳播,a質(zhì)點(diǎn)若位于圖7中a1的位置,則b質(zhì)點(diǎn)可位于b1,b2,…等位置,此時,sab=34λ右+nλ右=6 m,(n=1,2,3,…),λ右=244n+3 m,向右傳播的波速v右=λ右f=6004n+3? m/s,(n=1,2,3,…)
若波向左傳播,a質(zhì)點(diǎn)若位于圖7中的a2的位置,則b質(zhì)點(diǎn)可位于b1,b2,…等位置,此時,sab=
34λ左+nλ左=6 m,λ左=244n+1 m.向左傳播的波速 v左=λ左f=6004n+1 m/s,(n=1,2,3,…)
當(dāng)波速為40? m/s時,該波向左傳播,應(yīng)有:6004n+1 =40,n=144,無整數(shù)解,故不可能向左.設(shè)波向右傳播,有6004n+3=40,n=3,故可以判定當(dāng)波速為40? m/s時,波傳播的方向是由左向右.
答案:(1)600? m/s (2)40? m/s
例7 一簡諧橫波沿水平繩沿x軸負(fù)方向以
v=20 m/s的波速傳播.已知t=0時的波形如圖8所示,繩上兩質(zhì)點(diǎn)M、N的平衡位置分別是xM=5 m、xN=35 m.從該時刻開始計時,求:
(1)質(zhì)點(diǎn)N第一次回到平衡位置的時間t;
(2)平衡位置在x=20m的質(zhì)點(diǎn),其振動的位移隨時間變化的表達(dá)式(用余弦函數(shù)表示);
(3)經(jīng)過多長時間,質(zhì)點(diǎn)M、N振動的速度相同.圖8
解析 (1)機(jī)械波在均勻介質(zhì)中勻速傳播,波沿x軸負(fù)方向傳播,平衡位置的振動狀態(tài)距N點(diǎn)
t=Δxv=50-3520s,
解得t=0.75 s;
(2)由題知A=2 m,λ=40 m,T=λv=2 s,ω=2πT=π(rad/s)
該質(zhì)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為20 m=12λ,則該質(zhì)點(diǎn)的初相位為φ0=12×2π=π,
故該質(zhì)點(diǎn)的振動表達(dá)式為y=Acosωt+φ0=2cos(πt+π)(m)
或y=-2cosπt(m);
(3)當(dāng)某質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置時,其兩側(cè)與它平衡位置間距相等的質(zhì)點(diǎn)速度相同,平衡位置的振動狀態(tài)傳播到MN中點(diǎn)的距離Δx′=λ4+nλ2(n=0,1,2…)
經(jīng)過的時間t′=Δx′v,
解得t′=(n+0.5)(s),(n=0,1,2…)
答案:(1)0.75s;(2) y=-2cosπt(m);(3) t′=(n+0.5)(s),(n=0,1,2…)
二、解決波的多解問題的思路
一般采用從特殊到一般的思維方法,即找出一個周期內(nèi)滿足條件的關(guān)系Δt或Δx,若此關(guān)系為時間,則t=nT+Δt(n=0,1,2,…);若此關(guān)系為距離,則x=nλ+Δx(n=0,1,2…).
三、波的多解問題的一般解題步驟
(1)根據(jù)初末兩時刻的波形圖確定傳播距離與波長的關(guān)系通式.
(2)根據(jù)題設(shè)條件判斷是唯一解還是多解.
(3)根據(jù)波速公式v=ΔxΔt或v=λT=λf求波速.
(收稿日期:2021-09-10)