陶 軍，劉 瑜,2

（1.安徽大學電子信息工程學院，安徽 合肥 230601；2.計算智能與信號處理教育部重點實驗室，安徽 合肥 230601）

時域有限差分法[1]（Finite difference time domain method,FDTD）是電磁計算建模中廣泛應用的數(shù)值方法[2]之一。對于電磁問題，F(xiàn)DTD被表示為離散化的麥克斯韋微分方程[3-4]，逐時空步迭代，完成問題的求解。常規(guī)FDTD的計算量龐大且求解時間較長，通?？梢試L試并行計算或利用圖形處理器（GPU）等軟硬件手段提高運算效率。當前人工智能和深度學習的發(fā)展，為電磁計算的數(shù)值建模提供了新的思路。

本文基于卷積神經網(wǎng)絡（Convolutional neural network,CNN）的計算原理，探討了FDTD方法與CNN結構的等價性特點。在此基礎上，優(yōu)化結構和超參數(shù)，構建自由空間電磁波傳播的FDTD-CNN仿真模型，并將此模型應用于一維等離子體光子晶體的電磁傳播模擬，評估驗證了FDTD-CNN模型的泛化復用性與計算性能特點。

1 時域有限差分與卷積神經網(wǎng)絡模型

FDTD方法將電磁波Ε、H分量在空間和時間上交替抽樣，將Maxwell方程表示為時域的差分方程，迭代更新逐次推進。FDTD方法在一維情況下可表示為如下的差分格式：

從數(shù)學角度來看，卷積離散后，可寫為

卷積神經網(wǎng)絡[5-8]由一個或者多個卷積層和末端的全連接層，以及激活函數(shù)組成。輸入尺寸為(N,Cin,H,W)，輸出尺寸為(N,Cout,Hout,Wout)的卷積層數(shù)學形式可表示為

其中，O為卷積層的輸出；B為卷積層的偏置；W為卷積層的權重，即卷積核參數(shù)；I為卷積層的輸入。圖1直觀地展示了卷積層的卷積操作：大小為m×m的卷積核在大小為n×n的輸入上每次滑動一個步長（默認為1）的距離，最終可得大小為Hout×Wout的輸出。忽略偏置，填充步長為1，卷積核大小為3×3卷積層的輸出坐標為(i,j)點的計算公式為

圖1 卷積操作

一維情況下，式（4）可簡化為

改變W取值，一維卷積操作可變?yōu)榍跋蚧蚝笙虿罘帧Ρ仁剑?）和式（5）可以發(fā)現(xiàn)，一維情況下，當卷積核對應參數(shù)與差分相同時，卷積操作與差分操作在數(shù)學上等價，即差分可視為特殊的卷積，數(shù)學上的這種等價關系使其可用卷積代替差分實現(xiàn)FDTD方法。

2 FDTD-CNN模型構建

FDTD迭代方程表明在更新電場（或磁場）時需要磁場（或電場）的信息，且電場與磁場的參數(shù)存在區(qū)別，因此為E、H分別設置卷積層和線性層。CNN模型訓練前這部分參數(shù)需要根據(jù)材料的性質進行一定程度的初始化，降低模型在開始訓練時的損失，提高訓練速度。更新電磁場后，加入吸收邊界的信息對電磁場邊界處的值進行修正。組合電場、磁場和邊界條件的信息后，經卷積層和全連接層修正和調整，計算出下一時間步的E（或H）。對于吸收邊界，卷積后分別使用雙曲正切基函數(shù)和Tanh Shrink函數(shù)壓縮場值，將邊界中的電磁場按場值大小分開處理，避免因場值大小相差懸殊導致部分信息丟失。CNN具體網(wǎng)絡結構設置如圖2所示，模型參數(shù)設置如表1所示。

圖2 卷積神經網(wǎng)絡結構

表1中數(shù)字序號后的參數(shù)為計算域模型的參數(shù)，字母序號后的參數(shù)為吸收邊界模型的參數(shù)。表中Conv1D表示卷積層，k為卷積核尺寸，p為填充，s為卷積核每次移動的步長，Linear為線性層，s為線性層的輸出，Pooling為池化。

表1 一維CNN模型參數(shù)

作為一種深度學習方法，CNN模型是從大量的數(shù)據(jù)訓練中學習到相關的規(guī)律和邏輯，并利用學習來的規(guī)律預測未知現(xiàn)象。因此，高質量的訓練數(shù)據(jù)是CNN模型成功的關鍵。對于FDTD-CNN模型，可采用常規(guī)FDTD計算結果作為訓練數(shù)據(jù)，例如仿真一維無限大自由空間，計算空間設置為40 000個網(wǎng)格，兩側邊界條件設為10層伸縮坐標完美匹配層（PML），時間穩(wěn)定因子s=0.5。采用升余弦函數(shù)和正弦函數(shù)作為激勵源的信號函數(shù)。為提高數(shù)據(jù)的多樣性，可改變激勵源峰值和位置，多次計算，記錄電場與磁場值，寫入.CSV文件并保存為CNN訓練數(shù)據(jù)。

3 FDTD-CNN模型訓練與結果分析

一維FDTD仿真的數(shù)據(jù)相似度較高，為避免在訓練時產生過擬合問題，需在訓練前進行數(shù)據(jù)增強預處理，給數(shù)據(jù)添加隨機噪聲。這里選擇高斯噪聲，峰值隨當前學習率變化。在訓練時發(fā)現(xiàn)高斯噪聲峰值與當前學習率比值設為15:1時訓練效果最好。隨后將數(shù)據(jù)按8:1的比例隨機亂序劃分為數(shù)據(jù)集和測試集，模型每次讀取6組數(shù)據(jù)進行訓練，模型初始學習率設為0.001，采用絕對值誤差（MAE）損失函數(shù)。因為數(shù)據(jù)存在前后關聯(lián)，保留前后時間步的梯度參與CNN模型參數(shù)的更新可以提升訓練效果。但長時間步的梯度累積會導致訓練速度下降，為提升速度選擇每5步對梯度進行截斷。FDTD-CNN模型在參數(shù)進行初始化后開始訓練，當損失函數(shù)的結果小于期望或長時間變化較小時保存模型并調整學習率。MAE損失函數(shù)的數(shù)學方程可表示為

CNN模型支持單精度（single）和半精度（binary16）浮點數(shù)格式。在訓練時以及之后的驗證中分別采用單精度和半精度數(shù)運行10萬步，任取一段網(wǎng)格點的電場值，與常規(guī)FDTD以及解析解的計算結果相比較，結果如圖3所示（橫坐標為網(wǎng)格數(shù)）。可見單精度和半精度下FDTD-CNN模型與傳統(tǒng)FDTD的仿真結果吻合得很好，這表明CNN結構具備模擬電磁波傳播的能力。

圖3 一維自由空間仿真結果

為進一步測試FDTD-CNN模型的泛化特性，以及對復雜介質電磁問題的處理能力，改變數(shù)據(jù)集重新訓練模型。復雜介質數(shù)據(jù)集采用一維等離子體光子晶體[9]，由等離子體和介質交替組成。每層等離子體和介質的厚度為10個網(wǎng)格，物理結構如圖4所示。介質的相對介電常數(shù)設為4，等離子體參數(shù)設為ωp=4π×1010、vc=3×1010，其中ωp為等離子體頻率，vc為碰撞頻率。計算域設為190個網(wǎng)格，兩側使用10層PML進行截斷。采用處于光子晶體通帶內的100 GHz正弦波激勵。多次改變激勵源峰值和位置進行計算，提高數(shù)據(jù)的多樣性，最后將仿真結果寫入.CSV文件并保存數(shù)據(jù)。

圖4 一維光子晶體結構

基于和一維自由空間仿真相同的訓練策略，初始化光子晶體FDTD-CNN模型后，在單精度和半精度下分別運行2萬步，結果與常規(guī)FDTD比較如圖5所示。為驗證FDTD-CNN模型的泛化能力，改變正弦波激勵的頻率為光子晶體禁帶內的66 GHz，計算結果如圖6所示?？梢钥闯?，F(xiàn)DTD-CNN模型在光子晶體仿真中仍然有良好的表現(xiàn)，對不同介質、不同頻率仿真的數(shù)據(jù)有良好的適應性，具備一定的泛化復用能力。

圖5 光子晶體通帶仿真結果

圖6 光子晶體禁帶仿真結果

在FDTD-CNN模型的計算性能方面，利用一維自由空間仿真區(qū)域的可縮放性，保持網(wǎng)格參數(shù)與激勵源不變，逐次增加網(wǎng)格數(shù)從10 000到5 000 000，分別計算10萬步，記錄運行所用時間和占用的內存資源，結果如表2所示?？梢?，由于CNN模型可自動執(zhí)行圖形處理器（GPU）并行化的特點，不論單精度還是半精度模式，計算時間均優(yōu)于傳統(tǒng)的FDTD，隨著網(wǎng)格點增多，計算規(guī)模擴大，優(yōu)勢更加明顯。而單精度、半精度兩種模式的CNN模型，半精度計算時間稍短，但差異不大，主要優(yōu)勢是占用內存比單精度少，隨著計算規(guī)模擴大，節(jié)省內存的優(yōu)勢也更加明顯，從前述仿真結果可知，半精度和單精度的CNN模型計算誤差非常接近，因此，對于大尺度的電磁仿真問題，半精度CNN模型更加適用。

表2 計算時間和占用內存比較

4 結論

綜上所述，利用卷積操作與差分運算的內在聯(lián)系，構建了電磁傳播計算的FDTD-CNN模型，以及適用于模型訓練的FDTD計算域數(shù)據(jù)集。為避免一維模型訓練中易出現(xiàn)的過擬合問題，進一步探討了添加高斯噪聲的數(shù)據(jù)增強預處理技術。實例計算表明，該模型訓練后能夠較好地模擬不同介質特征的電磁傳播現(xiàn)象，并且具備良好的泛化復用性。

與傳統(tǒng)FDTD相比，F(xiàn)DTD-CNN模型的應用需要預先準備好用于訓練的、能夠良好描述計算域特征的數(shù)據(jù)集，這是深度學習類算法的一個固有特點，增加了模型應用的困難。而傳統(tǒng)FDTD已普遍應用了幾十年，積累了大量的電磁計算特征數(shù)據(jù)，對這些數(shù)據(jù)的有效利用，正好滿足了模型訓練的數(shù)據(jù)資源需求。FDTD-CNN模型將傳統(tǒng)電磁計算與深度學習相結合，不僅為電磁計算的數(shù)值建模提供了新的思路，更重要的是為長期積累的大量電磁計算數(shù)據(jù)的分析與再利用提供了有效途徑。