張大鵬，吳 棟，雷勇軍

(國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

壓電俘能器[1]能收集環(huán)境中因振動(dòng)產(chǎn)生的機(jī)械能并轉(zhuǎn)換為可供納米元件使用的電能，具有能量密度高和工作模式簡(jiǎn)單[2]等特性，在為納米元件供電方面具有極大的應(yīng)用潛力。撓曲電效應(yīng)的研究是設(shè)計(jì)、分析和應(yīng)用壓電俘能器所涉及的基礎(chǔ)性問(wèn)題，針對(duì)撓曲電效應(yīng)開(kāi)展研究具有重要的工程意義和理論價(jià)值。

撓曲電效應(yīng)考慮非均勻應(yīng)變場(chǎng)與電場(chǎng)之間的耦合關(guān)系，認(rèn)為非均勻應(yīng)變介質(zhì)材料的電極化強(qiáng)度受電場(chǎng)、應(yīng)變和應(yīng)變梯度的影響。研究壓電納米元件力學(xué)行為的主要方法有實(shí)驗(yàn)測(cè)量法、分子動(dòng)力學(xué)模擬法和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論法。Ma等[3-4]通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得了鎂鈮酸鹽陶瓷、鈦酸鍶鋇陶瓷等材料具有較強(qiáng)的撓曲電效應(yīng)，遠(yuǎn)高于早期的預(yù)測(cè)值。Ma等[5-7]還通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了應(yīng)變梯度和溫度對(duì)鋯鈦酸鉛陶瓷和鈦酸鋇材料的撓曲電系數(shù)的影響。Hu等[8]基于變分原理，綜合考慮靜電力、應(yīng)變梯度和極化梯度，建立了納米介質(zhì)的控制方程。Maranganti等[9]開(kāi)創(chuàng)性地將格林函數(shù)法用于求解撓曲電問(wèn)題，該方法成為求解撓曲電問(wèn)題的基本方法。實(shí)驗(yàn)方法和分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果均表明，壓電納米元件的力學(xué)性能在納米尺度下具有明顯的尺度效應(yīng)[10-11]，經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)因忽略了材料的尺度效應(yīng)而難以準(zhǔn)確表達(dá)壓電納米元件的力學(xué)特性[12]。非局部理論[13]的提出彌補(bǔ)了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)在尺度效應(yīng)方面的不足，在描述納米材料的力學(xué)行為方面得到廣泛應(yīng)用。有學(xué)者認(rèn)為，為了更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)壓電納米元件的力學(xué)性能，有必要將非局部理論與應(yīng)變梯度理論相結(jié)合[14-16]。Lei等[17-18]分別研究了外加黏彈性阻尼下非局部Timoshenko納米梁和非局部Euler-Bernoulli梁的動(dòng)力學(xué)特性。楊帆[19]考慮非局部效應(yīng)，研究了表面效應(yīng)對(duì)壓電Euler-Bernoulli納米梁彎曲變形的影響。Yan等[20]考慮壓電納米材料的非局部效應(yīng)，研究了表面應(yīng)力、表面彈性和表面壓電效應(yīng)對(duì)Euler-Bernoulli梁屈曲行為和動(dòng)力學(xué)特性的影響。此外，Yan等[21]還基于非局部Timoshenko梁模型，得到非均勻邊界條件下壓電納米梁的振動(dòng)控制方程和諧振頻率的顯式表達(dá)式。實(shí)際工程中的納米元件多置于黏彈性材料制成的基體中，其等效力學(xué)模型為黏彈性基體中的梁、板等元件的分析模型，而目前綜合考慮尺度效應(yīng)、撓曲電效應(yīng)和基體黏彈性等因素的研究還相對(duì)較少。

本文基于非局部Timoshenko梁模型，研究撓曲電納米梁在黏彈性基體中的振動(dòng)特性，給出簡(jiǎn)支邊界條件下?lián)锨娂{米梁控制方程的求解方法，并通過(guò)算例對(duì)非局部參數(shù)、撓曲電系數(shù)和黏彈性基體等因素對(duì)撓曲電納米梁振動(dòng)特性的影響進(jìn)行分析，為壓電納米元件的設(shè)計(jì)、分析和應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 振動(dòng)控制方程與邊界條件

黏彈性基體中的撓曲電Timoshenko納米梁的力學(xué)模型如圖1所示。以撓曲電納米梁的中軸線(xiàn)左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系o-xz，其中x軸沿?fù)锨娂{米梁中軸線(xiàn)指向右端，z軸沿?fù)锨娂{米梁的橫向振動(dòng)方向與x軸正交。撓曲電納米梁的長(zhǎng)度、寬度和高度分別為L(zhǎng)、b和h。黏彈性基體采用經(jīng)典的visco-Pasternak黏彈性基體模型[22]模擬，該模型在Pasternak彈性基體模型的基礎(chǔ)上考慮了黏性阻尼的影響?；贛ajdoub等[23-24]對(duì)壓電納米結(jié)構(gòu)的研究，在壓電材料連續(xù)介質(zhì)理論的基礎(chǔ)上考慮納米材料的尺度效應(yīng)和極化與應(yīng)變梯度的耦合，忽略了高階極化梯度的影響。

圖1 黏彈性基體中的撓曲電Timoshenko納米梁Fig.1 Flexoelectric Timoshenko nano-beam in viscoelastic medium

考慮非局部效應(yīng)時(shí)，由內(nèi)能密度導(dǎo)出的本構(gòu)方程為：

[1-(e0a)2?2]σij=cijklεkl+dijkPk

(1)

[1-(e0a)2?2]τijk=fijklPl

(2)

Ei=aijPj+djkiεjk+fjkliεjk,l

(3)

假設(shè)壓電材料的極化方向與z軸平行，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，只考慮電場(chǎng)的z向分量，則電場(chǎng)可表示為：

(4)

撓曲電納米Timoshenko梁的位移場(chǎng)可表示為：

(5)

其中，u和w分別表示位移沿x軸和z軸的分量，φ為撓曲電納米梁橫截面相對(duì)于y軸的扭轉(zhuǎn)角。

應(yīng)變和應(yīng)變梯度的非零分量可表示為：

(6)

非局部應(yīng)力張量、非局部高階應(yīng)力張量和電場(chǎng)的非零分量可表示為：

[1-(e0a)2?2]σxx=c11εxx+d31Pz

(7)

[1-(e0a)2?2]σxz=kc44γxz

(8)

[1-(e0a)2?2]τxxz=f3113Pz

(9)

[1-(e0a)2?2]τxzx=f3131Pz

(10)

Ez=a33Pz+d31εxx+f3113εxx,z+f3131γxz,x

(11)

其中，k為T(mén)imoshenko梁的剪切修正系數(shù)，對(duì)于矩形截面梁，有k=5/6。

假設(shè)撓曲電納米梁內(nèi)部沒(méi)有自由電勢(shì)，由高斯定理可得：

ε0Ez,z+Pz,z=0

(12)

其中，ε0=8.85×10-12C/(V·m)為真空或空氣的介電常數(shù)。

電勢(shì)的邊界條件可表示為：

(13)

其中，V是施加在撓曲電納米梁的電壓。

將式(4)和式(6)代入式(12)并綜合考慮式(11)和式(13)，得到電勢(shì)和極化強(qiáng)度沿z軸的分量Φz(mì)和Pz的表達(dá)式分別為：

(14)

(15)

非局部應(yīng)力和非局部高階應(yīng)力關(guān)于扭轉(zhuǎn)角φ和撓度w的表達(dá)式為：

(16)

(17)

(18)

(19)

外力對(duì)撓曲電納米梁所做的虛功δW可表示為：

(20)

(21)

式中，kG、kw和ct分別為黏彈性基體的剪切彈性模量、Winkler彈性模量和阻尼系數(shù)。

撓曲電納米梁的動(dòng)能Πk可表示為：

(22)

其中，ρ為撓曲電納米梁的質(zhì)量密度。

撓曲電納米梁的應(yīng)變能U可表示為：

(23)

式(23)變分可得：

(24)

其中，撓曲電納米梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的彎矩M、剪切力Q和扭矩Mγ的表達(dá)式分別為：

(25)

其中，A為撓曲電納米梁的橫截面積。

根據(jù)哈密頓原理得到：

(26)

將式(20)、式(22)和式(24)代入式(26)，并考慮到δw和δφ在x∈[0,L]的任意性，得到黏彈性基體中撓曲電Timoshenko納米梁的控制方程表達(dá)式：

(27)

(28)

同時(shí)得到黏彈性基體中撓曲電Timoshenko納米梁的邊界條件表達(dá)式：

(29)

(30)

(31)

將彎矩M、剪切力Q和扭矩Mγ的表達(dá)式(25)代入撓曲電納米梁的控制方程中，可得撓曲電納米梁控制方程的具體表達(dá)式：

(32)

(33)

同樣地，撓曲電納米梁邊界條件可具體表示為：

(34)

(35)

(36)

為了便于計(jì)算和分析，引入以下無(wú)量綱參數(shù)：

將以上無(wú)量綱參數(shù)代入式(32)和式(33)，可得撓曲電納米梁控制方程的無(wú)量綱形式，其表達(dá)式為：

(37)

(38)

其中：

(39)

(40)

(41)

(42)

2 振動(dòng)控制方程求解

本節(jié)給出簡(jiǎn)支邊界條件下?lián)锨娂{米梁控制方程的求解方法。設(shè)撓曲電納米梁的無(wú)量綱控制方程式(37)和(38)的解形式為：

(43)

(44)

將式(43)代入式(37)和式(38)，可將撓曲電納米梁的無(wú)量綱控制方程表示為：

(45)

(46)

同樣地，撓曲電納米梁的無(wú)量綱邊界條件式(40)～(42)可表示為：

(47)

(48)

(49)

(50)

將式(50)代入式(45)和式(46)，撓曲電納米梁的控制方程可表示為：

(51)

(52)

a1Ω4+ia2Ω3+a3Ω2+ia4Ω+a5=0

(53)

其中：

(54)

(55)

a3=η(1+α2β2)(E4β2-E2)+

(56)

(57)

(58)

通過(guò)數(shù)值方法求解式(53)，即可得到撓曲電納米梁的無(wú)量綱固有頻率。需要說(shuō)明的是，對(duì)于式(40)～(42)給出的其他類(lèi)型邊界條件下?lián)锨娂{米梁振動(dòng)特性分析問(wèn)題，可以采用文獻(xiàn)[16-18]等常使用的分布參數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方法較方便地得到問(wèn)題的解。

3 算例分析

首先通過(guò)與文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所建模型和控制方程求解方法的正確性。在此基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地研究非局部效應(yīng)、撓曲電系數(shù)和黏彈性基體對(duì)撓曲電納米梁振動(dòng)特性的影響規(guī)律。如無(wú)特殊說(shuō)明，撓曲電納米梁的參數(shù)設(shè)置[25-27]如下：撓曲電納米梁的長(zhǎng)度L、高度h和寬度b分別為20 nm、2 nm和2 nm，撓曲電納米梁材料的彈性模量c11和c14分別為131 GPa和42.9 GPa，橫向撓曲電系數(shù)f3113和切向撓曲電系數(shù)f3131分別為5 V和4 V，質(zhì)量密度ρ、介電常數(shù)倒數(shù)a33和壓電系數(shù)d31分別為6 020 kg/m3、0.79×108(V·m)/C和1.87×108V/m，visco-Pasternak黏彈性基體的Winkler彈性模量kw、剪切模量kG和阻尼系數(shù)ct分別為0.1 GPa/nm、0.25 GPa/nm和0.1 MPa·ns/nm。

3.1 模型驗(yàn)證

文獻(xiàn)[25]針對(duì)具有表面效應(yīng)和撓曲電效應(yīng)的Timoshenko梁開(kāi)展研究，利用變分原理和Hamilton原理，得到壓電納米梁的控制方程和邊界條件，分別求解簡(jiǎn)支均勻載荷下壓電納米梁的靜態(tài)彎曲和自由振動(dòng)問(wèn)題，但是其忽略了壓電納米元件的尺度效應(yīng)和在實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)的工作環(huán)境。本節(jié)先忽略黏彈性基體的影響，通過(guò)對(duì)比本文提出的控制方程求解方法下計(jì)算得到的一階無(wú)量綱固有頻率和參考文獻(xiàn)[25]得到的一階無(wú)量綱固有頻率，以驗(yàn)證本文控制方程求解方法的正確性。

表1給出簡(jiǎn)支邊界條件下一階無(wú)量綱固有頻率本文解和文獻(xiàn)[25]的解的對(duì)比情況。由表1可知，本文提出的控制方程求解方法在簡(jiǎn)支邊界條件下一階無(wú)量綱固有頻率的解與文獻(xiàn)[25]得到的解的相對(duì)誤差均在1%以?xún)?nèi)，這驗(yàn)證了本文解法的正確性。此外，撓曲電納米梁的一階無(wú)量綱固有頻率隨著長(zhǎng)細(xì)比的增大而減小，顯然這是由于結(jié)構(gòu)整體剛度隨著長(zhǎng)細(xì)比的增大而減小引起的。

3.2 參數(shù)影響分析

以上節(jié)分析為基礎(chǔ)，本節(jié)系統(tǒng)分析非局部參數(shù)、撓曲電系數(shù)和黏彈性基體對(duì)撓曲電納米梁振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

3.2.1 非局部參數(shù)影響分析

本節(jié)分析簡(jiǎn)支邊界條件下非局部參數(shù)對(duì)撓曲電納米梁振動(dòng)特性的影響規(guī)律。不同非局部參數(shù)α下?lián)锨娂{米梁的一階至三階無(wú)量綱固有頻率見(jiàn)表2。由表2可以看出，當(dāng)撓曲電納米梁置于黏彈性基體中時(shí)，無(wú)量綱固有頻率的虛部非零。隨著非局部參數(shù)α的增大，各階無(wú)量綱固有頻率實(shí)部呈下降趨勢(shì)，這是因?yàn)榉蔷植啃?yīng)會(huì)減弱結(jié)構(gòu)剛度；同時(shí)非局部參數(shù)α對(duì)不同階無(wú)量綱固有頻率虛部有微弱的影響。

表1 簡(jiǎn)支邊界條件下一階無(wú)量綱固有頻率解對(duì)比

表2 不同非局部參數(shù)下?lián)锨娂{米梁的無(wú)量綱固有頻率

撓曲電納米梁無(wú)量綱固有頻率實(shí)部之比隨非局部參數(shù)α的變化曲線(xiàn)如圖2所示。由圖2可知，無(wú)論撓曲電納米梁是否置于黏彈性基體中，各階無(wú)量綱固有頻率之比均隨著非局部參數(shù)α的增大而減小，且減小幅度隨著頻率階次的增加而增大。由于黏彈性基體的支撐作用在一定程度上增加了結(jié)構(gòu)的剛度，因此相對(duì)于無(wú)黏彈性基體支撐的撓曲電納米梁，置于黏彈性基體中的撓曲電納米梁的固有頻率之比減小幅度相對(duì)較小。

圖2 撓曲電納米梁無(wú)量綱固有頻率實(shí)部之比 隨非局部參數(shù)α的變化曲線(xiàn)Fig.2 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with nonlocal parameters α

3.2.2 撓曲電系數(shù)影響分析

本節(jié)分析簡(jiǎn)支邊界條件下?lián)锨娤禂?shù)對(duì)撓曲電納米梁振動(dòng)特性的影響規(guī)律，其中非局部參數(shù)α設(shè)為0.2，在分析橫向撓曲電系數(shù)f3113對(duì)撓曲電納米梁振動(dòng)特性的影響規(guī)律時(shí)，取切向撓曲電系數(shù)f3131=1 V；而在分析切向撓曲電系數(shù)f3131對(duì)撓曲電納米梁振動(dòng)特性的影響規(guī)律時(shí)，取橫向撓曲電系數(shù)f3113=10 V。

圖3和圖4分別是撓曲電納米梁一階至三階無(wú)量綱固有頻率實(shí)部隨橫向撓曲電系數(shù)f3113和切向撓曲電系數(shù)f3131的變化曲線(xiàn)。由于撓曲電Euler-Bernoulli納米梁也會(huì)受到橫向撓曲電系數(shù)f3113的影響，圖3中同時(shí)對(duì)比了橫向撓曲電系數(shù)f3113對(duì)撓曲電Timoshenko納米梁和撓曲電Euler-Bernoulli納米梁一階無(wú)量綱固有頻率實(shí)部的影響。由圖3可知，撓曲電納米梁的各階無(wú)量綱固有頻率實(shí)部隨著橫向撓曲電系數(shù)f3113的增加近似呈線(xiàn)性增大趨勢(shì)，且增大幅度隨頻率階次的增加而增大，說(shuō)明橫向撓曲電系數(shù)f3113有增加撓曲電納米梁結(jié)構(gòu)剛度的效果。撓曲電Timoshenko納米梁的一階無(wú)量綱固有頻率實(shí)部大于撓曲電Euler-Bernoulli納米梁的一階無(wú)量綱固有頻率實(shí)部，且橫向撓曲電系數(shù)f3113對(duì)撓曲電Timoshenko納米梁一階無(wú)量綱固有頻率實(shí)部的影響幅度大于對(duì)撓曲電Euler-Bernoulli納米梁一階無(wú)量綱固有頻率實(shí)部的影響幅度。

圖3 撓曲電納米梁無(wú)量綱固有頻率實(shí)部隨 橫向撓曲電系數(shù)f3113的變化曲線(xiàn)Fig.3 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the transverse flexoelectric coefficient f3113

由圖4可知，撓曲電納米梁的一階至三階無(wú)量綱固有頻率均隨著切向撓曲電系數(shù)f3131的增大而減小，且減小幅度隨著頻率階次的增加而增大，這說(shuō)明切向撓曲電系數(shù)f3131對(duì)撓曲電納米梁的結(jié)構(gòu)剛度有一定的削弱作用。

圖4 撓曲電納米梁無(wú)量綱固有頻率實(shí)部隨 切向撓曲電系數(shù)f3131的變化曲線(xiàn)Fig.4 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the tangential flexoelectric coefficient f3131

3.2.3 黏彈性基體影響分析

本節(jié)分析簡(jiǎn)支邊界條件下黏彈性基體對(duì)撓曲電納米梁振動(dòng)特性的影響規(guī)律，其中，非局部參數(shù)α設(shè)為0.2，黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct的取值范圍為[0 MPa·ns/nm,50 MPa·ns/nm]。

圖5和圖6分別是撓曲電納米梁一階至三階無(wú)量綱固有頻率實(shí)部和虛部隨黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct的變化曲線(xiàn)。由圖5可知，當(dāng)黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct大于臨界阻尼系數(shù)ct_crit時(shí)，各階無(wú)量綱固有頻率實(shí)部降為零，這表明此時(shí)撓曲電納米梁不再發(fā)生往復(fù)振動(dòng)。臨界阻尼系數(shù)ct_crit隨著頻率階次的增加而增大，且增大黏彈性基體的Winkler彈性模量kw能增大臨界阻尼系數(shù)ct_crit。當(dāng)黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct小于各階臨界阻尼系數(shù)ct_crit時(shí)，撓曲電納米梁的無(wú)量綱固有頻率實(shí)部隨著黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct的增大而減小，且減小幅度逐漸增大。由圖6可知，黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct對(duì)各階無(wú)量綱固有頻率的虛部影響曲線(xiàn)在各階臨界阻尼系數(shù)ct_crit處發(fā)生突變。當(dāng)黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct小于各階的臨界阻尼系數(shù)ct_crit時(shí)，各階無(wú)量綱固有頻率虛部隨著黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct的增大呈線(xiàn)性增大趨勢(shì)。當(dāng)黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct大于各階的臨界阻尼系數(shù)ct_crit時(shí)，各階固有頻率的虛部隨著黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct的增加而逐漸增大，但是增大幅度逐漸減小。

圖5 撓曲電納米梁無(wú)量綱固有頻率實(shí)部隨 黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct的變化曲線(xiàn)Fig.5 Variation curves of the real part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the damping coefficient ct of viscoelastic medium

圖6 撓曲電納米梁無(wú)量綱固有頻率虛部隨 黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct的變化曲線(xiàn)Fig.6 Variation curves of the imaginary part of the dimensionless natural frequency of flexoelectric nano-beam with the damping coefficient ct of viscoelastic medium

4 結(jié)論

本文以黏彈性基體中的Timoshenko納米梁為研究對(duì)象，綜合考慮了非局部效應(yīng)、壓電效應(yīng)和撓曲電效應(yīng)等因素的影響，基于哈密頓原理建立了系統(tǒng)的控制方程和相應(yīng)的邊界條件，給出了簡(jiǎn)支邊界條件下?lián)锨娂{米梁控制方程的求解方法，并通過(guò)算例驗(yàn)證了本文模型和控制方程求解方法的正確性，并較系統(tǒng)地研究了簡(jiǎn)支邊界條件下非局部參數(shù)、撓曲電系數(shù)和黏彈性基體對(duì)撓曲電納米梁振動(dòng)特性的影響規(guī)律。主要結(jié)論如下：

1)非局部效應(yīng)會(huì)削弱撓曲電納米梁的結(jié)構(gòu)剛度，無(wú)量綱固有頻率實(shí)部之比隨著非局部參數(shù)α的增大而減小，且減小幅度隨著頻率階次的增加而增大。

2)橫向撓曲電系數(shù)f3113能增加撓曲電納米梁的結(jié)構(gòu)剛度，且對(duì)Timoshenko梁的影響幅度大于對(duì)Euler-Bernoulli梁的影響幅度；切向撓曲電系數(shù)f3131對(duì)撓曲電納米梁的結(jié)構(gòu)剛度有一定的削弱作用。

3)撓曲電納米梁不發(fā)生往復(fù)振動(dòng)對(duì)應(yīng)的臨界阻尼系數(shù)ct_crit隨著頻率階次和黏彈性基體的Winkler彈性模量kw的增加而增大。當(dāng)黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct小于各階臨界阻尼系數(shù)ct_crit時(shí)，撓曲電納米梁的各階無(wú)量綱固有頻率的實(shí)部隨著黏彈性基體阻尼系數(shù)ct的增大而減小，且減小幅度逐漸增大；而虛部隨黏彈性基體阻尼系數(shù)ct的增大呈線(xiàn)性增加。當(dāng)黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct大于各階臨界阻尼系數(shù)ct_crit時(shí)，撓曲電納米梁的無(wú)量綱固有頻率實(shí)部均為零；撓曲電納米梁的無(wú)量綱固有頻率的虛部隨著黏彈性基體的阻尼系數(shù)ct的增加而逐漸增大，但增大幅度逐漸減小。