廣義離散時間系統(tǒng)的P-D 反饋控制器設計

2021-12-15 02:38:14任禎琴李靜李德光

應用科技 2021年6期

任禎琴，李靜，李德光

洛陽師范學院信息技術(shù)學院，河南洛陽 471934

廣義系統(tǒng)是比正常系統(tǒng)更一般的動力系統(tǒng)，有著廣泛的應用背景。廣義系統(tǒng)大量出現(xiàn)在電力系統(tǒng)、能源系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)、宇航系統(tǒng)和化學過程等描述中[1-4]，這是因為實際應用中，廣義系統(tǒng)較一般系統(tǒng)可以用來描述系統(tǒng)更多的性能特征。隨著科學研究的深入，廣義系統(tǒng)被學術(shù)界廣泛關注，廣義離散時間系統(tǒng)理論已有了豐富的研究成果[5-7].

對于正常系統(tǒng)，反饋控制的研究已經(jīng)趨于完善。但對于廣義系統(tǒng)來說，脈沖的存在可能引起系統(tǒng)不能正常運行甚至導致系統(tǒng)的損壞，這就需要所設計的控制器不僅要保證閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而且是要正則化和因果的(連續(xù)系統(tǒng)無脈沖)，即容許性。而P-D 反饋控制在這方面發(fā)揮了很大的作用，它是消除脈沖的一個很有效途徑，相關研究已取得了一些成果[8-14]。但由于P-D 反饋控制器在實際處理時的負面影響，很難使閉環(huán)系統(tǒng)達到穩(wěn)定。然而隨著先進的生產(chǎn)設備和計算機的迅速發(fā)展，大大降低了這種負面影響，使得P-D 反饋具有很高的理論意義和工程實際應用價值。

本文針對廣義離散系統(tǒng)設計出一種簡單的PD 反饋控制器，突破了文獻[13]中輸出反饋控制器的局限性，使閉環(huán)系統(tǒng)更容易達到穩(wěn)定，并消除了脈沖。

1 預備知識及問題描述

考慮如下的廣義離散時間系統(tǒng)：

式中：x(k)∈Rn為狀態(tài)向量；u(k)∈Rr為輸入向量；E、A、B為具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣；E為奇異矩陣，滿足rank(E)＜n。

定義1[15]若存在復數(shù)s0，使得det(s0E-A)≠0，那么稱式(1) 廣義離散時間系統(tǒng)是正則的。

本文假定廣義離散時間系統(tǒng)是正則且能穩(wěn)定的。

定義2[15]若對任意復數(shù)z滿足degdet(zE-A)=rank(E)，則稱廣義離散系統(tǒng)是因果的。

定義3[15]如果式(1)正則廣義離散時間系統(tǒng)是因果且穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是容許的。

定義4[15]如果存在P-D 反饋，使閉環(huán)系統(tǒng)成為正常系統(tǒng)，則稱廣義離散系統(tǒng)是能正?；?。

下面給出本文需要用到的相關引理。

引理1[15]式(1)廣義離散系統(tǒng)是容許的充要條件為：存在對稱矩陣X∈Rn×n滿足如下廣義Lyapunov 不等式：

引理2[16]對于正常系統(tǒng)x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，設性能指標函數(shù)為

式中：Q為對稱半正定矩陣，R為對稱正定矩陣。系統(tǒng)滿足能穩(wěn)定，能檢測，則最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器為

其中P為黎卡提方程

的對稱半正定解.

引理3[15]式(1)廣義離散系統(tǒng)是因果的充要條件為

引理4[15]式(1)廣義離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的充要條件為：它的有限極點集合σ(E,A)是在復平面的單位圓內(nèi)（用Ω(0,1)表示）。

引理5[15]式(1)廣義離散系統(tǒng)能穩(wěn)定的充要條件為

引理6[15]P-D 反饋保持了廣義系統(tǒng)的能穩(wěn)定性。

為了研究的需要，我們要對系統(tǒng)進行正?；姆纸狻Ｋ^正?；纸猓褪峭ㄟ^線性變換將原系統(tǒng)分解為2 個子系統(tǒng)，其中1 個子系統(tǒng)是能正?；?，即轉(zhuǎn)化為正常系統(tǒng)，具體過程如下。

考慮式（1）廣義離散系統(tǒng)：

1）若系統(tǒng)是正則的，則一定存在非奇異矩陣Q1、P1，使得

式中：N為冪零矩陣，那么，式(1)廣義離散系統(tǒng)將改寫為

則式（2）改寫為

式(2)可改寫為

即

正文中已經(jīng)得到x2(k)=0，則式(4)可改寫為

下面證明若原式(1)廣義離散系統(tǒng)是能穩(wěn)定的，則式(5)是能穩(wěn)定的。由引理5，我們只需證明?s∈C，|s|≥1，行滿秩，其中

首先N11是冪零矩陣，則是行滿秩的；原系統(tǒng)是能穩(wěn)定的，則

將式(1)廣義離散系統(tǒng)進行正?；纸獾?/p>

由式(6)中E22x2(k+1)=x2(k)得：

將式（7）左右分別相加并相消得：

所以式(6)可改寫為

由于式(8)是能正?；?，則一定存在P-D反饋：

使得閉環(huán)系統(tǒng)

成為正常系統(tǒng)。

我們選擇一個合適的K2使得

2 P-D 反饋控制器的設計

本文的主要研究工作是設計一個P-D 反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)是容許的。首先對原系統(tǒng)進行正?；纸?，得到的子系統(tǒng)是能正?；摹Ｔ诖嘶A上，設計了一個P-D 反饋控制器。為了獲得控制器存在的充分條件，有如下定理。

定理1對于式(8)，若存在P-D 反饋控制器式(9)，使得閉環(huán)系統(tǒng)式(10)是容許的，條件是存在一個對稱正定矩陣Y，合適維數(shù)的矩陣Z滿足線性矩陣不等式（11）：

式中：

證明: 由于det(E11+B1K2)≠0，則E11+B1K2可逆，顯然滿足引理1 中的ETXE≥0，即(E11+B1K2)TY(E11+B1K2)≥0，又有

令

式(12)將改寫為

利用schur 補引理[16]，我們可以將式(14)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式（11），其中：證畢。

通過Matlab 求解式(11)，可以求得Y、Z的值[17]。

接下來利用式(13)和Y、Z的值來求得K1的值，這就需要利用廣義逆的理論[18]。

由式(13)可得

下面我們利用廣義逆的知識來求得K1的值，先將B1進行滿秩分解，記為B1=MN，其中M列滿秩，N行滿秩。若式(15)有解，則K1=NT(NNT)-1(MTM)-1MTY-1Z是式(14)的極小范數(shù)解；若式(15)無解，則K1=NT(NNT)-1(MTM)-1MTY-1Z是式(11)的極小范數(shù)最小二乘解，也稱最佳逼近解，需要進一步驗證式(11)。

對于式(10)，我們可以將其變形為正常系統(tǒng)：

對于式(16)，定義性能指標函數(shù)為

式中：F為對稱半正定矩陣；G為對稱正定矩陣，且滿足能檢測。

再由正?；纸獾姆椒ㄒ约耙? 和引理6，可以得到式(16)是穩(wěn)定的。運用引理2，就可以得到式(16)的狀態(tài)反饋控制器為

并使得閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其中P1是代數(shù)黎卡提方程的對稱半正定解：

由此，將式(18)代入P-D 反饋控制器式(9)，得到原系統(tǒng)式(1)的P-D 反饋控制器為

將式(20)代入式(1)可得閉環(huán)系統(tǒng)為

本定理得到的是P-D 反饋控制器存在的充分條件，而引理1 給的是廣義離散系統(tǒng)容許的充要條件，這是因為本定理中為了利用Matlab 中的LMI 工具箱，規(guī)定Y是對稱正定矩陣，而引理1 中的X是對稱矩陣，這是在以后的研究中需要改進的地方。在定理1 的基礎上，給出式（1）廣義離散系統(tǒng)的P-D 反饋控制器設計的定理。

定理2對于式(1)，存在一個對稱正定矩陣X和合適維數(shù)的矩陣Z滿足下面線性矩陣不等式：