賈對(duì)紅

(長(zhǎng)治學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046000)

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)三階微分方程的振動(dòng)性進(jìn)行了研究，取得了許多成果[1-6].筆者擬在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，利用Riccati變換和Philos型積分技巧研究一類(lèi)三階半線(xiàn)性中立型分布時(shí)滯微分方程

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

函數(shù)x(t)稱(chēng)為方程(1)的一個(gè)解，如果函數(shù)z(t)和r(t)|z″(t)|α-1z″(t)連續(xù)可微，且在[t0,+∞)上x(chóng)(t)滿(mǎn)足方程(1).方程(1)的一個(gè)非平凡解稱(chēng)為振動(dòng)的，如果它有任意大的零點(diǎn)；否則，稱(chēng)它為非振動(dòng)的.若方程(1)的一切解都是振動(dòng)的，則稱(chēng)方程(1)是振動(dòng)的.

假設(shè)下列條件成立：

引理1[8]若x(t)是方程(1)的最終正解，則存在t1>t0，當(dāng)t>t1時(shí)，有：

(ⅰ)z(t)>0,z′(t)<0,z″(t)>0；

(ⅱ)z(t)>0,z′(t)>0,z″(t)>0.

引理3設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，且z(t)滿(mǎn)足引理1(ⅰ)，若

(2)

(3)

(4)

于是

2 主要結(jié)果及其證明

設(shè)D={(t,s):t0≤s≤t<+∞}，D0={(t,s):t0≤s

(1)H(t,s)>0,(t,s)∈D0，H(t,t)=0,t≥t0；

定理1假設(shè)(H1)～(H6)和(2)式成立，且存在ρ∈C1([t0,+∞),R+)和?(t,s)∈D0，滿(mǎn)足

(5)

其中

則方程(1)的解x(t)或者是振動(dòng)的，或者當(dāng)t→+∞時(shí)趨向于0.

證明設(shè)方程(1)有非振動(dòng)解，則x(t)為最終正解或最終負(fù)解.不妨設(shè)x(t)為最終正解(最終負(fù)解的證明類(lèi)似)，且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

若z(t)滿(mǎn)足引理1(ⅱ)，即z(t)>0,z′(t)>0,z″(t)>0，z(t)是單調(diào)遞增函數(shù)，則有

(6)

由(H5)，(H6)和(6)式，可得

可以看出，r(t)(z″(t))α是單調(diào)遞減函數(shù)，且t>s時(shí)，r(t)(z″(t))α

(7)

(8)

(8)式兩邊同時(shí)對(duì)s從t0到t積分，可得

(9)

因此對(duì)于?t≥s≥t1，由(8)，(9)式有

(10)

令

(11)

由引理2可得

(12)

(13)

對(duì)(13)式兩邊同時(shí)從t1到t積分，可得

當(dāng)t→+∞時(shí)，由(5)式可知w(t)→-∞，這與w(t)>0矛盾.證畢.

定理2若存在函數(shù)ρ∈C1([t0,+∞),R+)使得(2)式成立，且滿(mǎn)足

(14)

則方程(1)的解x(t)或者是振動(dòng)的，或者當(dāng)t趨于+∞時(shí)趨向于0.

證明設(shè)方程(1)有非振動(dòng)解，則x(t)為最終正解或最終負(fù)解.不妨設(shè)x(t)為最終正解(最終負(fù)解的證明類(lèi)似)且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

若z(t)滿(mǎn)足引理1(ⅱ)，則令

(15)

對(duì)(15)式從t0到t積分,可得

當(dāng)t→+∞時(shí)，由(14)式可知u(t)→-∞，這與u(t)>0矛盾.證畢.

定理3假設(shè)(H1)～(H6)和(2)式成立，若存在ρ∈C1([t0,+∞),R+)和?(t,s)∈D0，滿(mǎn)足

(16)

則方程(1)的解或者是振動(dòng)的，或者當(dāng)t趨于正無(wú)窮時(shí)趨向于0.

證明設(shè)方程(1)有非振動(dòng)解，則x(t)為最終正解或最終負(fù)解.不妨設(shè)x(t)為最終正解(最終負(fù)解的證明類(lèi)似)且x(τ(t,μ))>0,x(g(t,ξ))>0,t≥t1≥t0.

若z(t)滿(mǎn)足引理1(ⅱ)，則由定理1的證明可知(11)式成立，即

(17)

(18)

整理得到

即

(19)

于是

(20)

聯(lián)立(19),(20)式，可得

對(duì)于?t≥t1>t0，有

這與(16)式矛盾.證畢.

定理4假設(shè)(H1)～(H6)和(2)式成立，ρ∈C1([t0,+∞),R+)，φ∈C([t0,+∞),R)，H∈X，對(duì)于?T≥t0，有

(21)

(22)

(23)

φ+(s)=max{φ(s),0}，

則方程(1)的解或者是振動(dòng)的，或者當(dāng)t趨于正無(wú)窮時(shí)趨于0.

證明若z(t)滿(mǎn)足引理1(ⅰ)，則由引理3即證.

若z(t)滿(mǎn)足引理1(ⅱ)，則由(22)式可知對(duì)于?t1>t0，有

即對(duì)于?t1>t0，有

φ(t1)≤w(t1).

(24)

由(19)式可得

(25)

由(21)式可知，存在ε>0，使得

(26)

由N的任意性，有

這與(25)式矛盾，因此

由(24)式可得

這與(23)式矛盾.證畢.

3 應(yīng)用舉例

考慮方程

該方程的解或振動(dòng)或趨于0.