婁志峰,耿萬佳,張記云,林鈺琪,范光照,王曉東

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 大連116024)

0 引言

隨著智能制造的不斷推進(jìn)和制造業(yè)人力成本的不斷提升,工業(yè)領(lǐng)域中機(jī)器代替人工的現(xiàn)象日趨普遍。2018年我國工業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)量達(dá)到14.8萬臺,預(yù)計(jì)到2022年我國工業(yè)機(jī)器人的年銷售量將超過27萬臺[1]。工業(yè)機(jī)器人等裝備產(chǎn)量的增加及質(zhì)量的提升需要制造企業(yè)具備高精度、高效率的空間位置測量設(shè)備作為支撐。目前,工業(yè)機(jī)器人絕對位置精度主要采用激光跟蹤儀測量。

激光跟蹤(Laser Tracking)測量由Lau等人在20世紀(jì)80年代發(fā)明,Lau等人[2]開展了早期的激光跟蹤儀測量誤差分析工作,研究了軸系垂直度誤差、激光束對正誤差等對測量精度的影響。崔成君等人[3]研究了激光光軸與豎直軸的幾何誤差對儀器測量精度的影響。在激光跟蹤測量系統(tǒng)中,測角誤差是影響空間坐標(biāo)測量的主要因素。Ouyang等人[4]采用坐標(biāo)測量機(jī)校準(zhǔn)跟蹤儀旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角誤差。Gassneran與Martin[5-6]采用精密轉(zhuǎn)臺校準(zhǔn)角度測量誤差。盧榮勝[7]提出采用自準(zhǔn)直儀結(jié)合多面棱體對跟蹤儀金屬圓光柵測角誤差進(jìn)行離散標(biāo)定。董登峰等人[8]采用諧波分析方法對角度誤差進(jìn)行了修正。

針對激光跟蹤儀誤差分析與補(bǔ)償建模方法,Loser與Muralikrishnan等人[9-10]分別提出了帶轉(zhuǎn)角鏡與無轉(zhuǎn)角鏡的兩類激光跟蹤儀的誤差分析模型,并利用長度測量和雙面測量法對各項(xiàng)誤差進(jìn)行了分析。Hughes等人[11]對上述模型進(jìn)行了改進(jìn),使得模型中的非線性效應(yīng)得到了處理。為了將誤差補(bǔ)償方法簡化,Conte[12]采用DH建模方法分析了激光跟蹤儀的測量誤差。周維虎等人[13]推導(dǎo)出了包含激光跟蹤儀的主要幾何誤差的數(shù)學(xué)模型,并給出了誤差的分離和修正方法。對激光跟蹤儀的誤差機(jī)理進(jìn)行系統(tǒng)地分析與補(bǔ)償后,其測量精度可以得到很大提升。

經(jīng)過多年的發(fā)展,激光跟蹤儀在數(shù)控機(jī)床、飛機(jī)汽車制造、工業(yè)機(jī)器人等多個領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用,已經(jīng)成為現(xiàn)代工業(yè)測量中不可或缺的精密儀器,但是由于其跟蹤測量系統(tǒng)復(fù)雜,研制成本極高,普及到中小型制造企業(yè)比較困難。針對上述問題,本文研制了被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)用于實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人末端執(zhí)行器的空間坐標(biāo)檢測。相較主動式激光跟蹤儀,該系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單,研制成本低、便于普及等優(yōu)點(diǎn)。對影響被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)測量精度的主要誤差源進(jìn)行分析,利用多體系統(tǒng)誤差建模方法(HTM)建立了該系統(tǒng)的誤差分析模型[14]。為了進(jìn)一步提高被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的測量精度,提出將HTM誤差分析模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相結(jié)合,對被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的測量誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

1 被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的基本原理

被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)原理圖如圖1所示,其主要由二維轉(zhuǎn)臺、激光干涉儀和伸縮軸組成。二維轉(zhuǎn)臺中的豎直軸與水平軸的回轉(zhuǎn)軸線相交且互相垂直,伸縮軸的軸線經(jīng)過水平軸和豎直軸的交點(diǎn)且與水平軸的回轉(zhuǎn)軸線相互垂直。構(gòu)建被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的笛卡爾坐標(biāo)系,二維轉(zhuǎn)臺豎直軸的回轉(zhuǎn)軸線作為Z軸;當(dāng)二維轉(zhuǎn)臺方位角示數(shù)為0°時,水平軸的回轉(zhuǎn)軸線作為X軸;Z軸與X軸做叉乘得到的向量作為Y軸。

圖1 被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of passive laser tracking measurement system

被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)向測量空間目標(biāo)位置運(yùn)動坐標(biāo)時,伸縮軸前端的標(biāo)準(zhǔn)球通過磁性座吸附在被測目標(biāo)上。在被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)運(yùn)動的過程中,二維轉(zhuǎn)臺的豎直軸和水平軸的角度編碼器分別對系統(tǒng)的方位角和俯仰角進(jìn)行測量,激光干涉儀對伸縮軸的位移變化進(jìn)行測量,從而得到被測目標(biāo)空間點(diǎn)的球坐標(biāo)。

2 被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的HTM誤差分析模型

2.1 HTM誤差分析模型的建模過程

當(dāng)被測目標(biāo)牽引被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)運(yùn)動時,儀器的測量過程可以被分解為整個測量系統(tǒng)繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角度、水平軸和伸縮軸繞X軸旋轉(zhuǎn)φ角度、伸縮軸沿Y軸位移R距離這3個過程。根據(jù)齊次坐標(biāo)變換,可得標(biāo)準(zhǔn)球球心的理想空間坐標(biāo)為

式中:xb,yb,zb分別為標(biāo)準(zhǔn)球的球心在被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)笛卡爾坐標(biāo)系中的理想空間坐標(biāo);T01為繞Z軸旋轉(zhuǎn)的空間旋轉(zhuǎn)矩陣;T12為繞X軸旋轉(zhuǎn)的空間旋轉(zhuǎn)矩陣;T23為沿Y軸平移的位移矩陣。

式中:θ為繞Z軸旋轉(zhuǎn)的角度。

式中:φ為繞X軸旋轉(zhuǎn)的角度。

式中:R為沿Z軸的位移距離;R0為伸縮軸的初始長度。

理想情況下,被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的豎直軸、水平軸和處于水平狀態(tài)下的伸縮軸兩兩之間相互垂直并且相交于測量系統(tǒng)的原點(diǎn),但是實(shí)際上測量系統(tǒng)不可避免地存在著幾何誤差。測量系統(tǒng)的幾何誤差如圖2所示,主要包括:豎直軸與水平軸存在相對位置與姿態(tài)偏移所導(dǎo)致的誤差、伸縮軸不經(jīng)過儀器原點(diǎn)所導(dǎo)致的誤差、伸縮軸與水平軸存在的傾斜角度誤差以及伸縮軸運(yùn)動過程中在X與Z兩個方向上存在的運(yùn)動誤差。

圖2 幾何誤差示意圖Fig.2 Diagram of geometric error

對上述幾何誤差進(jìn)行修正,得到標(biāo)準(zhǔn)球球心的實(shí)際空間坐標(biāo)為

其中,

式中:α為水平軸相對于豎直軸的傾斜角度誤差;Δy為水平軸相對于豎直軸的偏移誤差。

式中:β為伸縮軸相對于水平軸的傾斜角度誤差;Δx為伸縮軸相對于豎直軸的偏移誤差;Δz為伸縮軸相對于水平軸的偏移誤差。

式中:δx為伸縮軸在X方向的運(yùn)動誤差;δz為伸縮軸在Z方向的運(yùn)動誤差。

2.2 被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)參數(shù)及誤差測量

2.2.1 水平軸與豎直軸的相對位姿偏差

水平軸和豎直軸之間存在傾斜角度誤差α與偏移誤差Δy,采用雙面測量法對其進(jìn)行測量,如圖3所示。在豎直軸處于0°與180°位置時,將半導(dǎo)體激光器分別固定于水平軸兩端,旋轉(zhuǎn)水平軸,記錄兩種情形下回轉(zhuǎn)激光光斑中心在光電位置傳感器(PSD)上的位置[15]。

圖3 水平軸與豎直軸相對位姿偏差測量原理圖Fig.3 Measuring principle diagram of relative pose deviation between horizontal axis and vertical axis

根據(jù)上述方法,測得兩個光斑軌跡圓心的坐標(biāo)分別為O1(x1,y1)和O2(x2,y2),計(jì)算得出水平軸與豎直軸的偏移誤差為

計(jì)算得出水平軸與豎直軸的傾斜角度誤差為

式中:L為PSD相對于豎直軸的距離。

根據(jù)測量結(jié)果可知,水平軸與豎直軸的偏移誤差為-151.5 μm,傾斜誤差為29.5″。

2.2.2 伸縮軸安裝偏差

伸縮軸與水平軸、豎直軸之間同樣存在傾斜角度誤差和偏移誤差,采用雙面測量法對伸縮軸的安裝偏差進(jìn)行測量。如圖4所示,定義此時伸縮軸的姿態(tài)為正面,當(dāng)水平軸和伸縮軸分別旋轉(zhuǎn)180°時,伸縮軸的姿態(tài)為反面。利用萬分表(型號:SYLVAC 805.8601,最大誤差:1.5 μm)分別測量伸縮軸處于初始長度時和伸長ΔL(100 mm)時的雙面測量法的測量值。

圖4 伸縮軸安裝偏差的測量原理圖Fig.4 Measuring principle diagram of telescopic shaft installation deviation

則伸縮軸的安裝偏差為

式中:z1和z2分別為萬分表1在伸縮軸處于初始長度時的正面測量值和反面測量值;x1和x2分別為萬分表2在伸縮軸處于初始長度時的正面測量值和反面測量值;x3和x4分別為萬分表2在伸縮軸伸長ΔL時的正面測量值和反面測量值。

實(shí)驗(yàn)測得伸縮軸與水平軸之間的偏移誤差Δz為167.2 μm,伸縮軸與水平軸之間的傾斜角度誤差β為137.6″,伸縮 軸 與 豎 直 軸 之 間 的 偏 移 誤 差Δx為-23.1 μm。

2.2.3 伸縮軸運(yùn)動誤差

如圖5所示,利用激光準(zhǔn)直原理測量伸縮軸的運(yùn)動誤差。在伸縮軸前端安裝位置傳感器(型號:S5990-01,位置誤差為±1 μm),并將半導(dǎo)體激光器垂直對準(zhǔn)位置傳感器中心,以30 mm為間隔,測量伸縮軸在300 mm范圍內(nèi)的運(yùn)動誤差,測量結(jié)果如圖6所示。

圖5 伸縮軸運(yùn)動誤差測量原理圖Fig.5 Measuring principle diagram of telescopic shaft motion error

圖6 伸縮軸運(yùn)動誤差Fig.6 Motion error of telescopic shaft

2.2.4 伸縮軸初始長度測量

由于激光干涉儀只能測量相對位移,所以當(dāng)伸縮軸處于初始狀態(tài)時,標(biāo)準(zhǔn)球球心到測量系統(tǒng)原點(diǎn)的距離(初始長度)無法利用激光干涉儀進(jìn)行測量。因此需要對伸縮軸的初始長度進(jìn)行離線測量,原理如圖7所示。

圖7 伸縮軸初始長度測量原理圖Fig.7 Measuring principle diagram of telescopic shaft initial length

首先將被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)前端標(biāo)準(zhǔn)球吸附在精密二維運(yùn)動平臺(裝置如圖8所示,品牌:智泰Ether CAT,型號:EC-10A,最大定位誤差:5 μm,最大垂直度誤差:6″)上,之后精密二維運(yùn)動平臺帶動標(biāo)準(zhǔn)球沿水平軸從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn),再從B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)(A,B,C三點(diǎn)實(shí)際位置見圖8),調(diào)整測量儀器相對于二維平臺的位置,使運(yùn)動過程中儀器俯仰角不變。根據(jù)余弦定理可知,△OBC的三邊關(guān)系為

記錄R0+R1,R0+R2,H2,θ2的示數(shù),則可根據(jù)公式(12)計(jì)算出伸縮軸的初始長度為567.468 mm。

2.3 HTM誤差分析模型的補(bǔ)償

將上述系統(tǒng)參數(shù)及誤差的測量值代入HTM誤差分析模型中,對被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償。如圖8所示,經(jīng)過HTM誤差分析模型補(bǔ)償后,采用精密二維運(yùn)動平臺作為標(biāo)準(zhǔn)比對儀器對被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的測量精度進(jìn)行驗(yàn)證。

圖8 數(shù)據(jù)采集實(shí)驗(yàn)圖Fig.8 Diagram of data acquisition experiment

由于被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)與精密二維運(yùn)動平臺測量空間的同一點(diǎn)處于不同的坐標(biāo)系,需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后進(jìn)行統(tǒng)一比對。設(shè)被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)和精密二維運(yùn)動平臺測量空間同一點(diǎn)的坐標(biāo)分別為PA(xa,ya,za,1)和PB(xb,yb,zb,1)。首先將二維平臺從原點(diǎn)O開始沿水平軸以10 mm為間隔均勻采取15個點(diǎn),并根據(jù)最小二乘法進(jìn)行線性擬合得到方向向量nx,將之作為坐標(biāo)系的X軸,之后將二維平臺從原點(diǎn)O開始沿豎直軸以10 mm為間隔均勻采取15個點(diǎn),并根據(jù)最小二乘法進(jìn)行線性擬合得到方向向量nz。再將nx與nz進(jìn)行叉乘得到方向向量ny,將之作為坐標(biāo)系的Y軸。最后,根據(jù)公式(13)對PA和PB進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

式中:PO為精密二維運(yùn)動平臺的原點(diǎn)在被動式激光測量系統(tǒng)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

對HTM誤差分析模型的補(bǔ)償效果進(jìn)行驗(yàn)證。將被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)前端標(biāo)準(zhǔn)球吸附在精密二維運(yùn)動平臺上,精密二維運(yùn)動平臺帶動被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)在140 mm×140 mm平面內(nèi)以35 mm為間隔均勻測量25個空間點(diǎn)(如圖8所示),測量軌跡為:先沿Z軸向上均勻測量5個點(diǎn),回到最低點(diǎn)后沿X軸運(yùn)動35 mm,再向上測量5個點(diǎn),直至25個空間點(diǎn)測量完畢。

在笛卡爾坐標(biāo)系下,被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)前端標(biāo)準(zhǔn)球球心的坐標(biāo)為Pt(xt,yt,zt),比對后的實(shí)際坐標(biāo)為Pa(xa,ya,za),標(biāo)準(zhǔn)球心的空間測量誤差為E(xt-xa,yt-ya,zt-za),絕對的測量誤差為

如圖9所示,經(jīng)過HTM誤差分析模型補(bǔ)償后,被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的空間坐標(biāo)測量誤差從581.5 μm降低為150.8 μm。

圖9 HTM誤差分析模型補(bǔ)償效果圖Fig.9 Diagram of compensation effect of HTM error analysis model

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

經(jīng)過HTM誤差分析模型補(bǔ)償后,被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的測量精度得到顯著提高,但系統(tǒng)仍然存在殘余誤差,需要對測量系統(tǒng)的殘余誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性數(shù)據(jù)有極強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力,為了進(jìn)一步提高測量精度,本文提出在HTM誤差分析模型的基礎(chǔ)上,利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的殘余誤差進(jìn)行補(bǔ)償。如圖10所示,將標(biāo)準(zhǔn)球球心的球坐標(biāo)和被動激光跟蹤測量系統(tǒng)的殘余誤差作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本數(shù)據(jù)集進(jìn)行訓(xùn)練學(xué)習(xí),然后利用HTM誤差分析模型與訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型共同對被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償。

圖10 HTM+BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型流程圖Fig.10 Flow chart of HTM+BP neural network model

3.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型補(bǔ)償原理

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中一種常見的方法。一般情況下,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有多個且分為三種不同類型的層級:輸入層、隱藏層和輸出層。每個層級都由一個或者多個感知器組成,相鄰層級之間的感知器互相連接。

將標(biāo)準(zhǔn)球球心的球坐標(biāo)Pt(θ,φ,R)作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸入層的輸入數(shù)據(jù),隱藏層以及輸出層中的單個感知器通常會接收多個輸入,對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后再進(jìn)行輸出[16],即

式中:y為感知器的輸出;xi和wi分別為感知器的輸入和對應(yīng)的權(quán)重;b為感知器的偏置;f為感知器的激活函數(shù),激活函數(shù)能夠使感知器具有非線性擬合能力,一般為

被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)經(jīng)過HTM誤差分析模型補(bǔ)償后,其空間坐標(biāo)測量誤差為E(xt-xa,yt-ya,zt-za)。將E作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出層的目標(biāo)輸出,則每次訓(xùn)練過程中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層的總誤差為

式中:m為輸出層感知器的數(shù)量;yk和y′k分別為輸出層第k個感知器的實(shí)際輸出和目標(biāo)輸出。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練過程中通過不斷優(yōu)化權(quán)重和偏置,降低輸出層的實(shí)際輸出與目標(biāo)輸出的誤差。通常利用正則化的損失函數(shù)C作為評價指標(biāo),即

式中:λ為正則化系數(shù);w為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中所有權(quán)重的集合。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練的過程中,采用梯度下降法對損失函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)公式(19)對權(quán)重w和偏置b進(jìn)行更新,直至損失函數(shù)C的值滿足要求。

式中:η為學(xué)習(xí)速率。

利用HTM誤差分析模型與訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型共同對被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償,得到測量系統(tǒng)的輸出值,即標(biāo)準(zhǔn)球球心的實(shí)際坐標(biāo)值。

3.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練

在140 mm×140 mm的平面測量空間內(nèi),以10 mm為間隔均勻測量225個空間點(diǎn)作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)。多次對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的超參數(shù)進(jìn)行調(diào)整,確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)以及超參數(shù):模型各層節(jié)點(diǎn)數(shù)為[3,25,3];學(xué)習(xí)速率為0.025;正則化系數(shù)為1.0。訓(xùn)練過程中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的損失函數(shù)的變化情況如圖11所示,損失函數(shù)的值在前200次訓(xùn)練時迅速下降,隨后下降速度趨于緩慢,接近500次時,損失函數(shù)下降幅度極小。在整個訓(xùn)練過程中,訓(xùn)練集損失函數(shù)的值略小于測試集,符合一般規(guī)律。

圖11 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練過程損失函數(shù)變化Fig.11 Variation of loss function during training of BP neural network model

4 模型對比與分析

在140 mm×140 mm測量平面空間內(nèi)再次均勻測量25個空間點(diǎn),與圖8所示的采樣點(diǎn)一致。如圖12所示,經(jīng)過HTM+BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型補(bǔ)償后,被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的測量誤差為51.6 μm,在單一的HTM誤差分析模型補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上,測量誤差減小了65.8%。

圖12 HTM+BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的補(bǔ)償效果圖Fig.12 Diagram of compensation effect of HTM+BP neural network model

5 結(jié)論

提出了一種利用被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)測量空間點(diǎn)坐標(biāo)的方法,與主動式激光跟蹤儀相比,被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的測量原理更為簡單,研制成本大幅降低,且更便于在工業(yè)生產(chǎn)中普及。為了提高被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)的測量精度,提出HTM+BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對測量系統(tǒng)的誤差進(jìn)行補(bǔ)償:建立了HTM誤差分析模型,對模型的誤差參數(shù)進(jìn)行測量后進(jìn)行補(bǔ)償;在HTM誤差分析模型的基礎(chǔ)上,采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對測量系統(tǒng)的殘余誤差進(jìn)行補(bǔ)償。經(jīng)過HTM+BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型補(bǔ)償后,該系統(tǒng)的測量誤差降低為51.6 μm,相較單一的HTM誤差分析模型,補(bǔ)償效果提升了65.8%。經(jīng)過誤差補(bǔ)償后的被動式激光跟蹤測量系統(tǒng)可廣泛應(yīng)用于空間運(yùn)動目標(biāo)位置精度的測量,提高制造裝備測量與加工精度。