◎ 孫琪敏

解析幾何是高中數學的重要模塊。如何提高圓錐曲線學習的有效性？如何在概念課教學中培養(yǎng)學生的數學抽象與邏輯推理素養(yǎng)？本文以滬教版數學教材（高二下）第12章“拋物線及其標準方程”第一課時為例，以問題情境為載體，對主要教學環(huán)節(jié)進行了如下設計與分析。

一、概念闡釋

在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中明確提出要“創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數學內容的本質?！币虼?，在高中數學概念課的教學中，重要的不是直接呈現(xiàn)數學概念，而是要引導學生如何從數量與數量的關系、圖形與圖形的關系中抽象出數學概念，并用數學語言予以表征。

問題教學在一般是指不改變教材內容、不打亂教材體系的情況下，在教學過程中把教材以問題的形式向學生提出來，并使其接受后成為自己的問題。其目的不僅在于引起學生注意與興趣，更主要是激發(fā)學生思考，從而培養(yǎng)與發(fā)展學生的思維能力。［1］而設置情境問題，用以問代講的方式，更能激起學生的好奇心，產生認知沖突，引導學生探究問題的本質，從而提高數學教學效率。

二、教學過程

（一）聯(lián)系生活情境，喚醒學習經驗

對于高二學生而言，“拋物線”這一詞并不陌生，之前的數學學習中已經出現(xiàn)過兩次“拋物線”。第一次接觸拋物線是在初三，二次函數的圖像是拋物線；第二次是在高一函數應用中，利用二次函數圖像求解一元二次方程和一元二次不等式。在此基礎上，類比圓、橢圓和雙曲線的研究方法，筆者通過階梯式的問題情境，喚醒學生對二次函數圖像的再認識。

師：生活中存在著各種形式的拋物線，上海盧浦大橋的橋梁結構、噴泉中噴射出的水柱、雨過天晴后的彩虹、拋出的籃球所經過的軌跡都是拋物線。拋物線的用途也很廣泛，射電望遠鏡、雷達天線、手電筒和路上隨處可見的汽車大燈等，都是利用拋物線的原理制成的。

問題1.1我們學過的數學內容里有沒有出現(xiàn)過拋物線？

生：初中學過二次函數，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是拋物線。

問題1.2在二次函數中研究過的拋物線有什么特征？

生：初中的二次函數是軸對稱圖形，當a>0時開口往上，有最小值，當a<0時開口往下，有最大值。

問題1.3初中階段，我們主要是利用拋物線圖像幫助理解和研究二次函數，而今天這節(jié)課，我們要研究的是：具有怎樣特征的點的軌跡是拋物線？拋物線上的點有什么規(guī)律呢？為什么二次函數的圖像恰好是拋物線呢？

【片段分析】首先，用生活情境給學生以視覺上的沖擊，使學生產生濃厚興趣，投入到課堂學習中；同時根據認知結構同化理論，通過引導學生回顧初中二次函數相關知識，將二次函數圖像的拋物線與即將新授的拋物線概念順利對接，納入學生已有的認知結構。既符合學生目前的學情，又為新知識的形成做了鋪墊，同時又引發(fā)新的認知沖突：為什么二次函數的圖像是拋物線？拋物線上的點究竟有怎樣的規(guī)律？由此對拋物線定義的研究呼之欲出。

（二）創(chuàng)設問題情境，歸納抽象定義

為了歸納得出拋物線的定義，在此設計兩個例題，輔助學生從具體背景中抽象出拋物線的概念，并用規(guī)范化的數學語言加以敘述。

問題2.1 拋物線y=x2上任意一點P到定點和到定直線l：的距離有什么關系？

點P到定直線l：的距離為，兩個距離相同。

問題2.2 由此，我們能不能說拋物線是到一個定點和一條定直線距離相等的點的軌跡呢？

生：不可以，例題只說明拋物線上任意點滿足到一個點和一條直線距離相同，并沒有說明滿足這一性質的軌跡就是拋物線，沒有滿足曲線上的點與方程的一一對應關系。

生：設軌跡方程上任一點坐標為P（x, y），由，得y=x2。

問題2.4 通過以上兩個問題的解答，大家能不能回答我們一開始提出的疑問：具有怎樣特征的點的軌跡是拋物線？拋物線上的點有什么規(guī)律呢？

師生共同完善拋物線定義，需特別強調定點與定直線的位置關系，若定點在定直線上，則滿足條件的動點軌跡是過定點且與定直線垂直的直線。

【片段分析】傳統(tǒng)概念課教學在情境引入之后，教師直接給出拋物線的定義，直截了當，但學生對于定義探求還是一知半解。而通過問題2.1和2.2的鋪墊，逐步揭示曲線與方程的關系，使得學生對拋物線的定義從模糊到逐漸清晰。在概念逐步形成的過程中，通過提問、追問，強化學生對概念中的“點F不在直線l上”這個限制條件的認識，從而建構完整的拋物線概念，無形中培養(yǎng)學生數學抽象能力。

（三）探索建系方案，求解標準方程

接下來的問題是如何求拋物線方程，仿照研究圓錐曲線方程的步驟，鼓勵學生建立合適的直角坐標系求得拋物線方程，并通過比較得出較為簡潔的拋物線的標準方程，這是本節(jié)課的重難點之一。

問題3.1 如何求拋物線的標準方程？（復習回顧：求曲線方程五步驟）

問題3.2標準方程是最簡單的方程形式，怎樣建系能使得方程更簡單？（學生討論）

生1：以準線l為y軸，過焦點F與l垂直的直線為x軸建系［見圖1（a）］。

生2：以F為原點，以過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于點K［見圖1（b）］。

生3：以頂點為原點，平行于l的直線為y軸建系［見圖1（c）］。

圖1 學生方案

問題3.3如何求出不同坐標系下拋物線方程?（學生活動：分組合作）

設定點F到定直線l的距離為p（p>0），其中F∈l。

（1）以準線為軸

（2）以焦點為原點

（3）以頂點為原點

通過對比，當原點在曲線上時，所求出的曲線方程中不含有常數項，此時的曲線方程是最簡單的，且方程中的p也能體現(xiàn)焦點到準線的距離這一幾何意義，由此確定拋物的標準方程為y2=2px。

【片段分析】恩格斯說過：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數，有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學?！敝挥幸胱鴺丝坍媱狱c，才能使得用方程描述曲線成為可能，而這一切必須在相應的坐標系中才能完成，所以建立適當的坐標系是推導曲線方程的“頭等大事”。［2］通過回顧求曲線方程的基本步驟，讓學生討論有哪些建系方案；通過小組合作的形式得出求出不同坐標系下拋物線方程，這樣標準方程的產生就水到渠成，既培養(yǎng)了學生的思維發(fā)散能力，也發(fā)展了學生的邏輯推理、數學運算等學科核心素養(yǎng)。

（四）運用類比分析，深化分類意識

類比拋物線的四種常見形態(tài)，從變換的角度分析問題得出結論，避免重復運算，同時對比記憶，有助于形成良好的知識網絡。

問題4.1 橢圓及雙曲線各有兩種形式的標準方程，那么拋物線有幾種呢？能否采用類比的方法直接寫出其他拋物線的標準方程？（學生活動：完成表1）

表1 學生活動表

問題4.2 拋物線和其他圓錐曲線相比，有什么異同？

生1：圓與橢圓都是封閉圖形，而拋物線和雙曲線是非封閉圖形。

生2：圓、橢圓、雙曲線既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，而拋物線只是軸對稱圖形。

生3：圓、橢圓和雙曲線的標準方程都是x,y的二次形式，而拋物線的標準方程中，有一個變量是一次的。

【片段分析】從數形結合的角度類比分析四個圓錐曲線的圖像和解析式特點，幫助學生把握概念本質，以簡馭繁，提高學生知識結構的系統(tǒng)化水平，提高以形助數、以數馭形的能力。

（五）鞏固知識應用，提升思維品質

回顧本節(jié)課的學習內容，請學生進行課堂小結，并完成課堂練習和課后作業(yè)。讓學生完成課堂小結有助于更好地梳理本節(jié)課的知識點，提煉解題方法。教師適當給予補充完善，有助于提高學生分類討論、數形結合、化歸等多種數學思想方法，提升學生思維的條理性和嚴密性。

三、創(chuàng)設問題情境策略

古羅馬教育家昆體良曾提出“教是為了不教”的觀點，教學的最終目的不是教師教會學生哪些知識，而是在“傳道授業(yè)解惑”的過程中，引導學生自己去發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，進而運用他們的所學知識去想辦法解決問題，真正做到實現(xiàn)數學化。因此在高中數學教學中，還可根據教學內容采取以下策略進行問題情境的創(chuàng)設。

（一）聯(lián)系趣味史實，創(chuàng)設問題情境

高中數學和初中數學相比，知識容量大、難度深，因此很多學生進入高中就對數學有種“畏難”心理，缺乏學習興趣。因此在課堂上，教師可以適時創(chuàng)造情境，引入一些數學家的趣事和獨創(chuàng)數學方法，將數學歷史滲透到課堂教學中，如在講解“等差數列前n項和及其求法”這一節(jié)時，教師可以提問“如何快速地計算1+2+3+…+100？”在有些學生還在疑惑時，一部分同學已經能講出求解方法，這時教師可以順著學生思路說：大家知道嗎？高斯在小學時期就能夠用首尾相加求和的方法快速計算出1到100的和。學生被高斯的故事吸引，覺得高斯在小時候就這么厲害，一方面調動了學生數學學習的積極性，另一方面大家也會有疑問，還有其他方法求解嗎？

當學生們興致高昂之時，教師可以設計以下問題情境。

問題1：是否可以繼續(xù)用高斯求和方法求解1+2+3+…+101？

問題2：化簡1+2+3+…+101+…+n。

問題3：{an}是等差數列，求a1+a2+…+an的值。

情境一是對高斯算法的反思與簡單推廣，讓學生對對稱性和配對思想有所感悟，為之后的問題情境做鋪墊；情境二是將高斯算法從有限項推廣到任意項的情形，把具體問題一般化，同時也能考查學生是否掌握首尾配對求和的精髓，能否對n的奇偶進行分類討論，而有了前兩問的鋪墊，等差數列求和公式的推導就更容易了。

用數學史中的故事來進行問題的情境創(chuàng)設，不僅能夠營造問題探究的氛圍，而且可以幫助學生理解數學，提高對數學的宏觀認識，使學生借助“美麗的冰冷”，產生“火熱的思考”，凸顯了數學的文化價值。

（二）結合數學模型，創(chuàng)設問題情境

知識是直接或間接地與實際應用聯(lián)系在一起的，教學的重要目的之一是培養(yǎng)應 用知識解決實際問題的能力。因此在“雙新”背景下，數學建模真正走入了高中數學的課堂，通過選取貼近實際生活的應用性問題，搭建數學與外部世界聯(lián)系的橋梁，提升學生實踐應用能力。

如滬教版《數學》高中必修第四冊中的數學建模活動案例二“誘人”的優(yōu)惠券，在雙十一購物節(jié)的情境下，某商家推出三種優(yōu)惠券，分別是滿199元減20元、滿299元減50元、滿499元減110元，這些優(yōu)惠券之間不可疊加使用，但它們可以與滿400元減50元的購物津貼同時使用。此外，這兩類優(yōu)惠券有使用順序，必須先使用商家優(yōu)惠券，再使用購物津貼。

現(xiàn)實生活中，學生都有利用優(yōu)惠券購物的經歷，面對上述實際情境，很容易就進行發(fā)散性思考。教師此時可以創(chuàng)設以下問題情境。

問題1：小明購買1200元的商品，實際要花費多少元？

問題2：如果你有800元，該怎么用好優(yōu)惠策略，使得自己購物所享受的優(yōu)惠最大？

問題3：在上述優(yōu)惠策略下，是否購買金額越大，享受優(yōu)惠越高？

在這樣的問題情境下，學生易于且樂于去思索，有利于提高學生解決問題的能力，也在無形中培養(yǎng)了數據分析能力和數學建模能力，使學生在情感態(tài)度和理解能力方面都能得到發(fā)展。