唐湘佶,李兆亭,張洪波

(國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院,湖南 長沙 410073)

組合動力飛行器是未來空天飛行器發(fā)展的重要方向,包括吸氣式臨近空間高超聲速飛行器、水平起降空天往返飛行器[1]等。本文針對可水平起降的渦輪基組合動力(TBCC)飛行器,飛行任務(wù)場景設(shè)定為水平起飛,加速爬升后在臨近空間進(jìn)行高超聲速巡航。該場景適用于高超聲速飛機、兩級入軌空天飛行器一子級[2]等飛行器。

上述飛行場景的任務(wù)需求和組合動力飛行器上升段的飛行特性要求制導(dǎo)系統(tǒng)具有較好的自適應(yīng)能力。上升過程飛行跨度大,具有寬速域多模態(tài)氣動/推進(jìn)強耦合特性[2];動力系統(tǒng)對控制及其動態(tài)過程的約束嚴(yán)格,性能受狀態(tài)與環(huán)境影響大;不同速度區(qū)間內(nèi)動力形式不同,系統(tǒng)特性多變,非線性強;飛行器模型與環(huán)境存在不確定性,飛行過程中誤差累積效應(yīng)顯著。復(fù)雜多變的系統(tǒng)和飛行環(huán)境加上兩者間的強耦合關(guān)系導(dǎo)致制導(dǎo)難度大,需要制導(dǎo)算法具有較好的精度以及自適應(yīng)性。

上升制導(dǎo)中較為常見的標(biāo)稱軌跡跟蹤制導(dǎo)對于較大偏差和擾動的糾偏能力有限,對于復(fù)雜多變的系統(tǒng)模型,制導(dǎo)律設(shè)計難度大,且難以滿足對自適應(yīng)能力的需求。提高制導(dǎo)自適應(yīng)能力的技術(shù)途徑之一是基于在線解算最優(yōu)控制的制導(dǎo)技術(shù),這一方法在工程中已被應(yīng)用,例如運載火箭上升段的迭代制導(dǎo)[3]等。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展以及數(shù)值計算方法的深入應(yīng)用,一系列基于軌跡優(yōu)化技術(shù)的制導(dǎo)新方法被提出[4],其中最優(yōu)控制問題在線求解方法包括間接法[5-6]、直接法[4,7]和混合法[8]。

直接法中的偽譜法具有快速求解最優(yōu)控制問題的潛力,可用于最優(yōu)控制實時計算,實現(xiàn)最優(yōu)反饋控制[9]。國內(nèi)外對偽譜法在最優(yōu)反饋控制問題及制導(dǎo)方面的應(yīng)用進(jìn)行了深入研究。ROSS等[10]將基于偽譜法的實時最優(yōu)反饋控制應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)控制。BOLLINO等[11]研究了基于偽譜法的X-33飛行器再入段最優(yōu)非線性反饋制導(dǎo)。張友安等[12]研究了偽譜法在高超聲速飛行器再入制導(dǎo)中的應(yīng)用,理論上分析了閉環(huán)控制系統(tǒng)的有界穩(wěn)定。閆循良等[13]將改進(jìn)的偽譜反饋控制應(yīng)用于運載火箭的遠(yuǎn)程變軌制導(dǎo),通過狀態(tài)量縮減降低了制導(dǎo)問題規(guī)模,保證了制導(dǎo)算法實時性。許東歡等[14]針對空天飛行器研究了基于偽譜法的閉環(huán)制導(dǎo)算法可行性。張志國等[4]研究了偽譜法在大氣層外運載火箭上升段制導(dǎo)律中的應(yīng)用,與迭代制導(dǎo)的對比結(jié)果驗證了該方法的制導(dǎo)精度。上述研究表明了經(jīng)典偽譜法可用于制導(dǎo),但針對的問題約束相對較少,控制指令計算難度相對較低,部分研究中未探討方法對誤差的適應(yīng)性及計算實時性。

本文針對渦輪基組合動力飛行器的上升過程,研究了采用滾動偽譜優(yōu)化的制導(dǎo)律。應(yīng)用團隊自研偽譜法求解器SPTOS,利用分段偽譜法在線求解最優(yōu)控制。分段偽譜法是對經(jīng)典偽譜法的改進(jìn),采用分段擬合提高收斂速率,該方法尤其適用于變量變化不夠平滑、有間斷點等情形[15]。制導(dǎo)過程以雙層滾動優(yōu)化框架為基礎(chǔ),引入離散網(wǎng)格的同步滾動更新改進(jìn)求解效率,制導(dǎo)周期根據(jù)實時狀態(tài)偏差自適應(yīng)調(diào)整。介紹了仿真及制導(dǎo)過程中所用動力學(xué)模型和相關(guān)約束,及采用滾動偽譜優(yōu)化的制導(dǎo)方法,展示了仿真結(jié)果并進(jìn)行了討論。

1 飛行器動力學(xué)模型及約束

針對制導(dǎo)過程,主要研究飛行器的質(zhì)心運動,而加速爬升的運動過程主要在縱平面內(nèi)?；谏鲜龇治?建立飛行器質(zhì)心運動方程及相關(guān)約束條件。

1.1 質(zhì)心運動方程

僅考慮縱平面內(nèi)的運動,將狀態(tài)量取為x=(HRvθm)T,分別表示高度,航程,速度,速度傾角以及飛行器質(zhì)量?？刂屏咳閡=(φtα)T,分別表示節(jié)流系數(shù)與攻角。采用圓球假設(shè)并忽略地球自轉(zhuǎn),建立如下飛行器質(zhì)心運動方程:

(1)

式中:re為地球半徑;ρ為大氣密度;FP,FL,FD分別為發(fā)動機推力、升力與阻力;KS為空氣/燃料流量轉(zhuǎn)換系數(shù);Sc為進(jìn)氣口截面積;CA(Ma,α)為等效進(jìn)氣面積系數(shù),是馬赫數(shù)和攻角的函數(shù),通過插值計算。

氣動力的計算公式如下:

(2)

式中:Sref為飛行器參考面積;CL(Ma,α),CD(Ma,α)分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù),與馬赫數(shù)和攻角有關(guān),通過插值計算。

本文考慮的組合動力系統(tǒng)包括3種工作模態(tài):在Ma<2時是渦輪動力,Ma=2～6為沖壓模態(tài),Ma>6時是超燃沖壓動力。推力可統(tǒng)一描述成如下形式:

(3)

式中:g0為水平面重力加速度;Isp(Ma,φt)為發(fā)動機比沖,與馬赫數(shù)和節(jié)流系數(shù)有關(guān),通過插值計算。上述飛行器模型參數(shù)及插值數(shù)據(jù)參考文獻(xiàn)[16]。

組合動力系統(tǒng)的特性如圖1所示。主要性能參數(shù)受狀態(tài)和控制的影響大,由圖1(a)可見,隨著速度的增加,比沖整體減小;不同動力形式下比沖受速度的影響不同;節(jié)流系數(shù)提高,比沖增加。如圖1(b)所示,在低速段,進(jìn)氣效率受攻角影響小;跨聲速段的進(jìn)氣效率有所下降;在沖壓動力段,氣體壓縮過程使進(jìn)氣效率不斷提升,由于需要借助機體實現(xiàn)來流的減速增壓,高速推進(jìn)時的進(jìn)氣效率受攻角影響明顯。

圖1 組合動力系統(tǒng)特性

1.2 約束條件

鑒于飛行任務(wù)要求及飛行器自身特性,實際飛行過程中存在諸多約束條件,本文考慮3類典型約束:狀態(tài)量約束、控制量約束及過程約束。

①狀態(tài)量約束。狀態(tài)量在初始時刻t0及末時刻tf的約束形式為

H(t0)=H0,v(t0)=v0,θ(t0)=θ0,m(t0)=m0
H(tf)=Hf,v(tf)=vf,θ(tf)∈[θmin,θmax]

②控制量約束。節(jié)流系數(shù)、攻角及其變化率均存在上下界,約束形式為

式中:KH為熱流密度常數(shù)。

上述符號中,下標(biāo)min表示下界,max表示上界;下標(biāo)0表示初始時刻的值,f表示終端時刻的值。

2 采用滾動偽譜優(yōu)化的閉路制導(dǎo)方法

本文制導(dǎo)方法的核心為數(shù)值最優(yōu)制導(dǎo)律。在雙層滾動優(yōu)化框架下,通過外層滾動優(yōu)化使剩余時間內(nèi)制導(dǎo)指令隨狀態(tài)反饋更新,實現(xiàn)閉路制導(dǎo)過程,并通過制導(dǎo)周期的在線調(diào)整進(jìn)一步提高方法的自適應(yīng)能力;內(nèi)層利用分段偽譜法實時求解最優(yōu)控制,在內(nèi)層迭代過程中引入網(wǎng)格更新策略以提高計算實時性。

2.1 基于雙層滾動優(yōu)化的制導(dǎo)策略

制導(dǎo)策略如圖2所示。

圖2 基于雙層滾動優(yōu)化的制導(dǎo)策略

為提高初次指令解算效率,將分段偽譜法離線規(guī)劃的最優(yōu)軌跡作為首次指令更新時的參考。制導(dǎo)過程中單次指令解算的具體步驟如下:

①根據(jù)實時狀態(tài)反饋x(ti)建立多約束最優(yōu)控制問題Pi(x(ti)),該問題的初始狀態(tài)與時刻即為狀態(tài)反饋x(ti)及相應(yīng)的采樣時刻ti;

②通過分段偽譜法將連續(xù)問題離散化為非線性規(guī)劃(NLP)問題,離散時的初始離散網(wǎng)格根據(jù)前次解算的離散網(wǎng)格Mi-1進(jìn)行更新;

③對前次優(yōu)化結(jié)果Ui-1,Xi-1進(jìn)行插值,獲得新的離散點處的迭代初值,然后求解NLP問題;

⑤當(dāng)出現(xiàn)求解結(jié)果不收斂、求解時間過長等情況時,在相應(yīng)時刻不進(jìn)行制導(dǎo)指令更新,沿用前次計算結(jié)果,直至成功在線求解后再次更新。

制導(dǎo)周期Tg采用自適應(yīng)調(diào)整方法,由實時狀態(tài)偏差Δx在線控制。自適應(yīng)周期制導(dǎo)過程如圖3所示,圖中,tc為在線解算時間。制導(dǎo)過程中按一定采樣周期實時獲取飛行狀態(tài),并計算與參考狀態(tài)的偏差,設(shè)定偏差容限ΔxLT,在Δx(ti)≥ΔxLT的一系列采樣時刻ti進(jìn)行制導(dǎo)指令的在線解算與更新。實際制導(dǎo)周期Tg受偏差累積特性及在線解算時間tc影響,為可變周期,當(dāng)解算時間非常短時該部分影響可忽略。

圖3 自適應(yīng)周期制導(dǎo)過程

本文以高度偏差ΔH作為周期自適應(yīng)調(diào)整依據(jù),為適應(yīng)飛行過程中不同的飛行狀態(tài)與不同階段的制導(dǎo)需求,建立偏差容限函數(shù),形式為

式中:Hd為誤差容限切換高度。

制導(dǎo)周期的自適應(yīng)調(diào)整能使指令更新頻率與實際狀態(tài)偏差累積特性相匹配。偏差容限的作用一方面在于避免誤差累積過大導(dǎo)致制導(dǎo)修正的難度過高;另一方面,當(dāng)狀態(tài)偏差較小時,更新前后的控制量差別相對較小,指令解算速度更快。因此設(shè)定合適的偏差容限能夠較好地平衡計算效率與制導(dǎo)精度。

2.2 分段偽譜法求解最優(yōu)控制問題

多約束非線性最優(yōu)控制問題具有通用的標(biāo)準(zhǔn)形式,包括性能指標(biāo)和各類約束。本文以燃料最省作為優(yōu)化目標(biāo),等價于使終端質(zhì)量最大,問題形式如下:

如圖4所示,分段偽譜法的基本原理是將連續(xù)問題直接離散化,利用數(shù)值優(yōu)化算法求解;之后評估離散解對原問題解的逼近程度,若達(dá)不到精度要求,則進(jìn)行離散網(wǎng)格的細(xì)化,通過構(gòu)造序列NLP問題迭代求解;否則直接輸出結(jié)果。

圖4 分段偽譜法求解流程

本文選擇Legendre-Gauss-Radau(LGR)點作為離散點,其分布由Legendre正交多項式的根決定。LGR點的定義域為[-1,1),便于描述各分段點處連續(xù)條件。LGR點與各區(qū)間內(nèi)時間具有如下關(guān)系:

離散化的關(guān)鍵是動力學(xué)微分約束的轉(zhuǎn)換,其余約束可直接應(yīng)用于離散變量集{X,U}。動力學(xué)約束的轉(zhuǎn)換關(guān)鍵在于對微分算子的有限逼近。各區(qū)間歸一化后,分別用拉格朗日插值多項式近似原問題的狀態(tài)量,LGR點數(shù)目Nk確定時,插值基函數(shù)形式固定。計算公式如下:

將決策變量取為{X,U}及終端時刻tf,則原連續(xù)問題轉(zhuǎn)換成如下NLP問題:

式中:l=1,2,…,Nk;k=1,2,…,K。

本文運用開源求解器IPOPT求解上述大規(guī)模NLP問題,其基本原理為內(nèi)點法,給定解的初始參考值,經(jīng)過迭代可收斂至NLP問題最優(yōu)解。序列NLP問題構(gòu)造過程中的數(shù)值解評估方法及離散網(wǎng)格細(xì)化方法參考文獻(xiàn)[15]。

2.3 離散網(wǎng)格滾動更新

離散網(wǎng)格關(guān)系到NLP問題的規(guī)模及問題特性,是求解效率的主要影響因素之一。與分段偽譜法的網(wǎng)格細(xì)化不同,滾動更新針對初始離散網(wǎng)格。建立合適的初始離散網(wǎng)格能降低NLP問題難度,還能避免構(gòu)造序列NLP問題,提高求解效率。

離散網(wǎng)格M的滾動更新過程為對3個決定參數(shù)(分段數(shù)K、各區(qū)間的占比hk與離散點數(shù)Nk)的迭代計算。根據(jù)文獻(xiàn)[17]中的收斂理論,對于分段偽譜法,當(dāng)解的逼近程度一定時,區(qū)間長度與段內(nèi)離散點數(shù)近似具有等比關(guān)系,區(qū)間越短,達(dá)到一定逼近程度所需要的插值多項式階數(shù)越低,離散點個數(shù)越少。在理想情況下,滾動優(yōu)化過程中每次在線求解的結(jié)果是對上一次計算結(jié)果的截取。為相應(yīng)調(diào)整NLP問題的規(guī)模,離散網(wǎng)格也應(yīng)進(jìn)行截取。

圖5 離散網(wǎng)格更新示意圖

在繼承離散網(wǎng)格Mi-1的基礎(chǔ)上,根據(jù)當(dāng)前時刻t′0=t0+Δt,對初始離散網(wǎng)格的3個參數(shù)進(jìn)行調(diào)整,方法如下:

①以前次成功求解時的離散網(wǎng)格Mi-1為參考,判斷當(dāng)前時刻t′0所處區(qū)間順序z;

3 仿真分析

仿真中初始狀態(tài)與期望終端狀態(tài)如表1所示,各變量含義如前所述。

表1 初始狀態(tài)與期望終端狀態(tài)

表2 變量范圍約束

采樣周期取0.1 s,偏差容限函數(shù)參數(shù)ΔHmax1=30 m,ΔHmax2=10 m,Hd=43 km。

仿真硬件條件為Intel Core i7-4712MQ、2.3 GHz的PC。采用4階定步長Runge-Kutta方法進(jìn)行數(shù)值積分,步長取0.05 s。

取大氣密度偏差為10%,升力系數(shù)偏差為10%,阻力系數(shù)偏差為10%,推力偏差為2%。組合極值拉偏仿真的結(jié)果如圖6和圖7所示,控制量及其變化率均在約束范圍內(nèi),終端速度傾角為0.07°,也滿足約束。

圖6 速度和高度隨時間變化曲線

圖7 攻角和節(jié)流系數(shù)隨時間變化曲線

由圖可見,加速到期望速度的時間相比于高度爬升過程更短,這是由于隨高度增加,大氣密度減小,耗油率增加,因此為節(jié)省燃料,優(yōu)先完成加速過程,這體現(xiàn)出在誤差條件下,迭代更新后的制導(dǎo)指令仍保持最優(yōu)控制的原則。雖然指令的整體動態(tài)變化顯著,但一個周期內(nèi)指令是根據(jù)離散解進(jìn)行插值得到,在小范圍內(nèi)能夠保證控制量相對平緩,易于控制系統(tǒng)實現(xiàn)。

動壓與熱流密度均在上限約束范圍內(nèi),計算結(jié)果如圖8所示。仿真結(jié)果表明:制導(dǎo)算法具有可行性;采用滾動偽譜優(yōu)化的制導(dǎo)方法能夠在滿足基本約束的條件下完成上升制導(dǎo)任務(wù)。

圖8 熱流密度與動壓隨時間變化曲線

指令更新結(jié)果與相應(yīng)參考狀態(tài)的對比結(jié)果如圖9和圖10所示。以一個制導(dǎo)周期為例,為突出偏差影響,在高度-速度域內(nèi)進(jìn)行參考狀態(tài)量的對比。

圖9 參考狀態(tài)對比

由圖9可見,制導(dǎo)過程中,剩余時間內(nèi)制導(dǎo)指令隨狀態(tài)反饋自適應(yīng)修正,修正后的控制量對應(yīng)的參考狀態(tài)相應(yīng)改變。

指令迭代更新對比如圖10所示。外層滾動優(yōu)化輸入狀態(tài)反饋輸出修正后的控制,狀態(tài)反饋隱含了誤差信息,為保持最省燃料爬升,剩余時間內(nèi)攻角指令不斷調(diào)整。

以2個制導(dǎo)周期內(nèi)的攻角指令為例,在引入狀態(tài)反饋后,剩余時間內(nèi)控制發(fā)生改變;僅截取一個制導(dǎo)周期內(nèi)的指令作用于飛行器,該周期內(nèi)的指令變化較為規(guī)律。

自適應(yīng)制導(dǎo)周期如圖11所示,在線求解次數(shù)為34次,每次求解均收斂至最優(yōu)解。平均周期約為4 s,最小周期為0.6 s,此時高度超過Hd,指令更新頻率高。

圖11 自適應(yīng)制導(dǎo)周期

在線計算耗時如圖12所示。由圖12可看出,平均在線計算時間約為270 ms,大部分時間在200 ms左右,滿足一定的實時性要求。在滾動優(yōu)化的內(nèi)層迭代過程中,離散網(wǎng)格同步滾動更新,改善了NLP問題的特性與規(guī)模;基于前次優(yōu)化結(jié)果的迭代使優(yōu)化算法收斂更快,提高了在線求解實時性。

圖12 在線計算時間

本文僅從計算方法的角度尋求在線快速求解。在實際應(yīng)用中,結(jié)合硬件設(shè)備優(yōu)化計算程序,可進(jìn)一步提高求解效率。

為進(jìn)一步驗證本文方法對誤差和飛行器特性的適應(yīng)性,進(jìn)行了500次的蒙特卡洛打靶仿真。各誤差項的3σ值如表3所示。

表3 蒙特卡洛打靶仿真誤差項

終端高度誤差與速度誤差的統(tǒng)計結(jié)果如表4所示。由表可見,狀態(tài)偏差均值為負(fù),在最省燃料爬升過程中推進(jìn)效率接近最優(yōu),在誤差條件下容易出現(xiàn)飛行器爬升能力趨近飽和,控制修正能力有限,使加速爬升的末端高度狀態(tài)低于期望值。

表4 打靶仿真統(tǒng)計結(jié)果

隨著周期自適應(yīng)調(diào)整,任務(wù)末段更新頻率的提高保證了一定的終端制導(dǎo)精度。終端高度與速度精度整體均在可接受范圍內(nèi),在不同誤差條件下,制導(dǎo)方法均能夠適應(yīng)復(fù)雜多變的組合動力系統(tǒng)特性。

4 結(jié)論

本文研究了采用滾動偽譜優(yōu)化的閉路制導(dǎo)方法。在雙層滾動優(yōu)化框架下,根據(jù)實時狀態(tài)反饋建立多約束最優(yōu)控制問題,加入離散網(wǎng)格同步更新,運用分段偽譜法進(jìn)行快速計算,并在線自適應(yīng)調(diào)整制導(dǎo)周期,從而實現(xiàn)制導(dǎo)指令的迭代更新。對制導(dǎo)過程進(jìn)行數(shù)值仿真,主要結(jié)論如下:

①制導(dǎo)方法的精度滿足任務(wù)需求,在線求解過程始終滿足優(yōu)化指標(biāo),具有最優(yōu)反饋性質(zhì)。根據(jù)狀態(tài)反饋進(jìn)行指令的迭代更新,能夠抑制模型參數(shù)不確定和外界干擾引起的誤差影響,使飛行器達(dá)到期望的飛行狀態(tài),方法具有一定的魯棒性。

②引入離散解迭代以及離散網(wǎng)格滾動更新,提高了分段偽譜法在線求解多約束最優(yōu)控制問題的效率,使該方法滿足一定實時性要求。

③制導(dǎo)周期的自適應(yīng)調(diào)整能夠較好地平衡制導(dǎo)效率與制導(dǎo)精度,提高了制導(dǎo)方法自適應(yīng)性。