胡東根，李政民卿，張健

(南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

差速齒輪傳動系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、差速傳動的特點，因此被廣泛應(yīng)用于汽車、船舶等傳動領(lǐng)域。在準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差的內(nèi)部激勵下，系統(tǒng)將產(chǎn)生復(fù)雜的振動特性，既增大了噪聲，也縮短了壽命。為此，開展差動齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)特性研究具有重要意義。

國內(nèi)外學(xué)者對差動齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)問題進行了研究。薛亮等[1]利用ADAMS軟件進行了差速齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)仿真優(yōu)化分析。肖澤艷等[2-3]設(shè)計了對稱式行星差速齒輪傳動系統(tǒng)，并對齒輪進行了靜態(tài)和動態(tài)接觸分析。VELEX P和MAATER M等[4]研究了齒輪制造和安裝誤差對差速齒輪傳動系統(tǒng)振動和噪聲的影響。

目前,對差動齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)研究主要集中在定軸狀態(tài),對差動狀態(tài)下的動力學(xué)特性研究較少。本文以差速齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，建立了系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動模型，分析了系統(tǒng)在準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差激勵下從定軸狀態(tài)到差動狀態(tài)的動力學(xué)響應(yīng)，為差速齒輪傳動系統(tǒng)的研制提供了技術(shù)支持。

1 傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及動力學(xué)模型

本文針對差速齒輪傳動系統(tǒng)設(shè)計了如圖1所示的構(gòu)型方案。其主要包括兩個部分：固定齒輪箱和差速齒輪箱。原動機輸入經(jīng)過錐齒輪1、錐齒輪2換向減速后，輸出至錐齒輪3，差動輸入直接作用在差動輪系中固定行星架的箱體上，最終動力輸出至中間錐齒輪4。

圖1 傳動系統(tǒng)構(gòu)型方案示意圖

建立動力學(xué)模型如圖2所示[5-7]。在建立該模型時，采用集中質(zhì)量法，將原動機、聯(lián)軸器、負(fù)載、齒輪、行星架等作為集中質(zhì)量來處理，不考慮軸的質(zhì)量，將其處理為扭轉(zhuǎn)彈簧，并在齒輪嚙合傳動的過程中考慮齒輪間的嚙合剛度和嚙合阻尼。

圖2 差速齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型

2 系統(tǒng)的振動微分方程

對于圖2中的傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動動力學(xué)模型，以輸入轉(zhuǎn)矩作用下各個構(gòu)件產(chǎn)生的運動方向為各自角位移運動的正方向。不考慮連接軸自身的質(zhì)量，將原動機、齒輪、聯(lián)軸器以及負(fù)載分別簡化處理成具有轉(zhuǎn)動慣量的元件，并考慮齒輪4繞公轉(zhuǎn)軸線方向的自由度。所以該動力學(xué)模型是具有10個自由度的扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)，其中9個自由度分別描述了系統(tǒng)中的9個轉(zhuǎn)動慣量元件(原動機、齒輪1、齒輪2、中間聯(lián)軸器、齒輪3、齒輪4、齒輪5、行星架、負(fù)載)的扭轉(zhuǎn)振動位移θM、θ1、θ2、θC、θ3、θ4、θ5、θH、θL，1個自由度描述了齒輪4繞公轉(zhuǎn)軸線方向的扭轉(zhuǎn)振動位移θr。

假設(shè)e為系統(tǒng)齒輪副間的準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差，并用不同的下標(biāo)表示。由幾何分析可得系統(tǒng)齒輪副間沿嚙合線方向的位移如下：

(1)

式中：xij表示齒輪i、j間齒輪副沿嚙合線方向的位移；Ri表示齒輪i的基圓半徑；eij表示齒輪i、j間齒輪副的準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差。

根據(jù)上述嚙合線位移分析，易得各齒輪副間的動態(tài)嚙合力為

(2)

式中：Wij表示齒輪i、j間齒輪副的動態(tài)嚙合力；cij表示齒輪i、j間齒輪副的嚙合阻尼；kij表示齒輪i、j間齒輪副的嚙合剛度。

由此可推得系統(tǒng)動力學(xué)方程如下：

(3)

當(dāng)差動輸入為0時，此時控制行星架運動的箱體固定不動，動力學(xué)方程變?yōu)?/p>

(4)

式中：IM、I1、I2、IC、I3、I4、I5、IH、Ir、IL分別為10個集中轉(zhuǎn)動慣量；c1、c2、c3、c4分別為各傳動軸的扭轉(zhuǎn)阻尼；c5表示軸承的支撐阻尼；k1、k2、k3、k4分別為各傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度；k5表示軸承的支撐剛度;c12、c34、c45分別為各齒輪副的嚙合阻尼；k12、k34、k45分別為各齒輪副的嚙合剛度；TM和TL分別為作用在原動機與負(fù)載上的轉(zhuǎn)矩；TH表示差動輸入的力矩；r表示中間錐齒輪4到公轉(zhuǎn)軸線的半徑；W12、W34、W45分別為各輪齒嚙合的動態(tài)嚙合力。

3 傳動系統(tǒng)的準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差分析

在齒輪嚙合傳動的過程中，準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差(static transmission error,STE)是齒輪傳動系統(tǒng)中動力學(xué)關(guān)鍵激勵，在做傳動系統(tǒng)動力學(xué)特性分析前，求得系統(tǒng)準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差是必不可少的。準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差定義為：“從動輪實際位置與理想位置之間的差值”，理想位置指的是主、從動輪均為理想漸開線齒廓且無彈性變形時從動輪的位置。準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差可表示為

STE=δ2-δ1+Δf∑

(5)

式中：δ表示輪齒沿嚙合線方向的變形量，下標(biāo)1和2分別表示主動輪和從動輪；Δf∑表示系統(tǒng)等效誤差，主要由齒形誤差ff、中心距安裝誤差fa、基節(jié)誤差fpb以及齒向誤差fb組成。將上述4種誤差沿嚙合線方向擬合，有

(6)

針對本文研究的差速齒輪傳動系統(tǒng)，計算其準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差，其中定軸狀態(tài)下傳動系統(tǒng)的準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差曲線如圖3所示。為方便后傳動系統(tǒng)動力學(xué)特性分析，對準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差曲線進行傅里葉擬合，得到傅里葉擬合的曲線如圖4所示。

圖3 穩(wěn)態(tài)下準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差

圖4 傅里葉擬合曲線

4 動態(tài)嚙合力分析

在原動機正常工作時，主輸入的功率為15 kW，轉(zhuǎn)速為6 000 r/min。針對振動微分方程式(4)采用四階龍格-庫塔方法求解，然后將求解出的結(jié)果作為振動微分方程式(3)中各變量的初始狀態(tài)，并采用四階龍格-庫塔方法求解，然后根據(jù)式(2)求解齒輪3、齒輪4間齒輪副從定軸狀態(tài)到差動狀態(tài)下的動態(tài)嚙合力。動態(tài)嚙合力幅值先快速衰減，后保持不變，動態(tài)嚙合力隨時間周期變化，如圖5所示。

圖5 動態(tài)嚙合力變化圖

改變差動輸入轉(zhuǎn)速，分別求解系統(tǒng)在不同差動輸入轉(zhuǎn)速下快速衰減階段和周期變化階段的最大動態(tài)嚙合力。結(jié)果表明：當(dāng)差動輸入正向時，快速衰減階段的最大動態(tài)嚙合力隨著轉(zhuǎn)速增大而減??；反向時，隨著轉(zhuǎn)速增大而增大，如圖6所示。當(dāng)差動輸入正向時，周期變化階段的最大動態(tài)嚙合力隨轉(zhuǎn)速增大而增大；反向時，隨著轉(zhuǎn)速增大而減小，如圖7所示。

圖6 快速衰減階段最大動態(tài)嚙合力變化趨勢圖

圖7 周期變化階段最大動態(tài)嚙合力變化趨勢圖

5 結(jié)語

本文根據(jù)設(shè)計的傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，建立傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型和系統(tǒng)振動微分方程，計算齒輪副的準(zhǔn)靜態(tài)傳遞誤差，并將其作為傳動系統(tǒng)的動態(tài)激勵。通過Matlab/Simulink求解系統(tǒng)振動微分方程，改變差動輸入轉(zhuǎn)速的大小和方向，進行動態(tài)嚙合力分析。結(jié)論如下：

1)差速齒輪傳動系統(tǒng)從定軸狀態(tài)到差動狀態(tài)時，動態(tài)嚙合力的幅值先快速衰減，之后保持不變，動態(tài)嚙合力隨時間周期變化。

2)傳動系統(tǒng)從定軸狀態(tài)到差動狀態(tài)下，動態(tài)嚙合力振幅在快速衰減階段的最大值會隨著差動輸入轉(zhuǎn)速大小和方向的變化而變化；正向時，最大動態(tài)嚙合力隨著轉(zhuǎn)速增大而減?。环聪驎r，隨著轉(zhuǎn)速增大而增大。

3)不同差動輸入下，進入周期變化階段的動態(tài)嚙合力相較于定軸狀態(tài)會發(fā)生變化，差動輸入正向時，最大動態(tài)嚙合力增大，反之減小，且正向時，隨著轉(zhuǎn)速增大，最大動態(tài)嚙合力增大，反向時，隨著轉(zhuǎn)速增大而減小。