南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué) (210007) 吳 茹 孔德鵬

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)指以數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容為載體，以提升學(xué)生的思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標，以整體分析與理解相關(guān)內(nèi)容本質(zhì)為策略，通過精心設(shè)計問題情境，引發(fā)學(xué)生認知沖突，組織學(xué)生全身心參與學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程[1].數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在要求，也是時代對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的更高要求.數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)不僅注重知識、技能及數(shù)學(xué)方法的理解與掌握，更注重一般性思維策略與品質(zhì)的提升，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)會思考.筆者以“對數(shù)函數(shù)”教學(xué)為例，談?wù)勚赶蛏疃葘W(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及思考.

一、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

“對數(shù)函數(shù)”是蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(必修第一冊)第6章第3節(jié)的內(nèi)容.本單元內(nèi)容包括對數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)，共2課時.本節(jié)課是第一課時，主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是：通過細胞分裂具體實例，得到對數(shù)函數(shù)的概念；通過借助指數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗，探究對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)；應(yīng)用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決一些簡單問題.

本單元是在研究對數(shù)、函數(shù)的概念與性質(zhì)、冪函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步研究對數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).學(xué)生可以借助研究指數(shù)函數(shù)的活動經(jīng)驗，探究對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).對數(shù)函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，是函數(shù)主題的重要內(nèi)容，在導(dǎo)數(shù)章節(jié)也會研究與之相關(guān)的函數(shù).另外，對數(shù)函數(shù)模型也是分析和解決實際問題的重要工具，如研究地震震級、聲音分貝、PH測定等.

基于以上分析，筆者將本節(jié)課的重點設(shè)置為：對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì).通過回顧指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)，進而回顧指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，類比指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究方法，自主探究對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì).

二、教學(xué)目標設(shè)置

開展教學(xué)活動的前提是要有明確的教學(xué)目標，教學(xué)目標既是教學(xué)的出發(fā)點，也是教與學(xué)的歸宿[1].結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2020年修訂版)》(以下簡稱《標準》)要求和教材上的內(nèi)容安排，將本節(jié)課的目標設(shè)置為：

(1)從具體實例中抽象出對數(shù)函數(shù)的特征，并能用數(shù)學(xué)符號語言表達，了解對數(shù)函數(shù)的概念，提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；

(2)能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點等性質(zhì)；

(3)知道對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0，a≠1)；

(4)通過借助指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，自主探究對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)，提高從數(shù)學(xué)角度提出和解決問題能力，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)；

(5)回顧對數(shù)函數(shù)的研究過程，進一步體會研究具體函數(shù)的一般方法，促進自主學(xué)習(xí)能力提升，促進深度學(xué)習(xí).

三、 教學(xué)過程設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境，抽象概念

問題1回顧研究指數(shù)函數(shù)的研究過程，想想我們研究了指數(shù)函數(shù)的哪些內(nèi)容？是如何展開研究的？

學(xué)生容易想到主要研究了指數(shù)函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)；研究過程是先通過具體的生活情境，得到指數(shù)函數(shù)的抽象定義，再通過畫幾個具體指數(shù)函數(shù)圖象，總結(jié)歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；請學(xué)生說說指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、值域、定點、單調(diào)性等.

設(shè)計意圖：從整體上考慮，對數(shù)函數(shù)是在指數(shù)函數(shù)的研究基礎(chǔ)上進行的，不應(yīng)該分開研究，而是應(yīng)該進行類比研究；引導(dǎo)學(xué)生回憶研究指數(shù)函數(shù)的研究過程，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，盤活研究函數(shù)的基本經(jīng)驗，為學(xué)生自主探究對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)做好思維鋪墊.

問題2某細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……假設(shè)細胞分裂的次數(shù)為x，相應(yīng)的細胞個數(shù)為y，則y=2x.因此知道x的值，就能求出y的值.現(xiàn)在我們來研究相反的問題：知道了細胞個數(shù)y，如何確定分裂次數(shù)x？

學(xué)生通過將指數(shù)式改寫為對數(shù)式，得到x=log2y.

設(shè)計意圖：再次通過學(xué)生熟悉的細胞分裂問題創(chuàng)設(shè)情境，一方面幫助學(xué)生進一步理解指數(shù)函數(shù)的概念，同時也讓學(xué)生進一步體會歐拉曾說過的“對數(shù)源出于指數(shù)”；另一方面，熟悉的情境貼近學(xué)生心理，符合學(xué)生認知規(guī)律，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

問題3對于這個對應(yīng)關(guān)系x=log2y，它是一個函數(shù)嗎？

這個問題需要給學(xué)生足夠的思考時間，啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)的定義去判斷這個對應(yīng)是否為函數(shù).函數(shù)y=2x是在R上單調(diào)遞增，那么x與y一定是一一對應(yīng)的，對于每一個給定的y值，都有唯一的x與之對應(yīng).所以根據(jù)函數(shù)的定義，x=log2y是一個函數(shù)，這里面y表示自變量，x表示函數(shù)值.而我們習(xí)慣上用x表示自變量，y表示它的函數(shù).這樣上面這個函數(shù)就可以寫成y=log2x形式.

設(shè)計意圖：通過判斷x=log2y是否為函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生深度思考.這不僅可以進一步幫助學(xué)生理解函數(shù)的概念，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維；而且可以為對數(shù)函數(shù)概念的形成提供理論支撐，讓學(xué)生潛移默化中感受到指對函數(shù)之間的聯(lián)系，進而借助指數(shù)函數(shù)的基本經(jīng)驗研究對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì).

問題4對于函數(shù)y=log2x，你會提出哪些問題？

由于之前的鋪墊，學(xué)生自然會想到幾個問題：(1)這個函數(shù)叫什么函數(shù)？能不能類比指數(shù)函數(shù)，取名叫對數(shù)函數(shù)？(2)函數(shù)y=log2x的圖象是怎么樣？有什么性質(zhì)？(3)函數(shù)y=2x與y=log2x有什么聯(lián)系？解決第一個問題，就可以抽象得出對數(shù)函數(shù)的定義；解決第二個問題，就可以通過描點法得到其圖象，注意圖象與y軸的關(guān)系，并能夠加以解釋；不僅如此，學(xué)生在描點時會發(fā)現(xiàn)所描點正好和y=2x描的點的橫縱坐標是反著的，進而激發(fā)學(xué)生畫出y=2x的圖象，經(jīng)過比較分析，得到兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱.

設(shè)計意圖：通過學(xué)生主動思考，提出問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題的能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維；通過解決學(xué)生提出的問題，自然地抽象出對數(shù)函數(shù)的概念，通過研究函數(shù)y=log2x的圖象，讓學(xué)生初步感受y=log2x的圖象及與指數(shù)函數(shù)y=2x圖象的關(guān)系，能為接下來的探究指明方向.

2.自主探究，分享交流

剛剛研究一個特殊的對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，不具有一般性.本節(jié)課的重點是通過幾組具體的對數(shù)函數(shù)，總結(jié)歸納出一般對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì).

問題5基于研究指數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，試探究對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)的圖象與性質(zhì).

由學(xué)生自己確定研究的具體函數(shù)模型，一部分學(xué)生類比指數(shù)函數(shù)描點作圖，一部分學(xué)生利用對稱性作圖.再由圖象總結(jié)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，最后通過希沃助手，投影學(xué)生的研究成果，分享歸納對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì).

設(shè)計意圖：對問題5的處理，將主動權(quán)完全放給學(xué)生，由之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗學(xué)生會選擇不同的底數(shù)的對數(shù)函數(shù)進行研究，或與同底指數(shù)函數(shù)進行比較研究，這給學(xué)生提供更廣闊的探究空間，進一步積累了數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗；學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)性質(zhì)不僅提高了學(xué)生探究的積極性和成就感，也有利于學(xué)生創(chuàng)造思維的發(fā)展，提升學(xué)生直觀想象及邏輯推理等核心素養(yǎng)；通過互動交流，優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力.

3.基于經(jīng)驗，自主編題

在初步認識了對數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)后，接下來便是簡單應(yīng)用.在指數(shù)函數(shù)的過程中，指數(shù)函數(shù)的簡單應(yīng)用是比較大小、解方程、解不等式及求指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域等問題.

問題6基于研究指數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，結(jié)合本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，請設(shè)計一道例題.

類比指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生思考對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)可以解決的問題，并嘗試編題.

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅學(xué)習(xí)知識，更要以知識為載體，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散和創(chuàng)造性思維.通過這種“自給自足”的解題方式，促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，使學(xué)生真正理解對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)；有利于培養(yǎng)學(xué)生類比遷移的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；通過角色轉(zhuǎn)換，學(xué)生體驗編題的喜悅，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

4.總結(jié)概括，形成經(jīng)驗

問題7今天借助研究指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，研究了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).如果以后再遇到一個陌生的函數(shù)模型，我們該如何展開研究呢？

設(shè)計意圖：通過回顧類比指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗展開對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生進一步體會研究函數(shù)的一般方法，形成一般性思維策略，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).

5.問題延伸，能力提升

問題8函數(shù)y=ax與y=logax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，如何理解“反”？

設(shè)計意圖：通過提出新問題，再聚焦“核心知識”，促進學(xué)生課后繼續(xù)對兩個函數(shù)深度思考.這不僅能夠促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識整體性的理解，思考兩者在概念、圖象及性質(zhì)上的聯(lián)系，而且可以讓學(xué)生體會用聯(lián)系的眼光看問題，進而可以聯(lián)想到類比指數(shù)函數(shù)問題解決策略解決對數(shù)函數(shù)相關(guān)問題，為下節(jié)課內(nèi)容做鋪墊.

四、教學(xué)反思

1. 努力提高學(xué)生提出問題能力，促進深度思考

顧明遠教授說：“新世紀的教育要求學(xué)生獨立思考，敢想敢做，勇于創(chuàng)新，不能提出問題的學(xué)生不是一個好學(xué)生[2].”發(fā)現(xiàn)并提出問題能力是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑，《標準》強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生“四能”，強調(diào)數(shù)學(xué)要促進思維的發(fā)展就必須培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，學(xué)生只有發(fā)現(xiàn)問題，才能真正調(diào)動內(nèi)驅(qū)力.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的主陣地就是數(shù)學(xué)課堂，在現(xiàn)行數(shù)學(xué)課堂中，仍有部分教師是“教師問——學(xué)生答”的模式，學(xué)生沒有提出問題的機會，這樣不利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神及發(fā)散思維.所以，教師要努力改變自己的教學(xué)行為，教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點要注重培養(yǎng)學(xué)生提問題能力，特別是能夠引發(fā)深入思考的問題，只有這樣學(xué)生才能真正做到學(xué)會思考.

一個好的情境，能夠吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的好奇心及求知欲，進而可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體.創(chuàng)設(shè)的情境要能讓學(xué)生聯(lián)想新舊知識的關(guān)聯(lián)，進而根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，進行發(fā)問.在本課例中，筆者利用與指數(shù)函數(shù)相同的情境引入新課，利用相反的問題，通過指對互化得到新的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)書寫習(xí)慣，變成y=log2x的形式，學(xué)生自然會提出問題：y=log2x的圖象是什么樣的？它和y=2x這兩者有什么關(guān)系.對學(xué)生而言，對數(shù)是很陌生的，現(xiàn)在又研究對數(shù)函數(shù)，學(xué)生內(nèi)心是抗拒的，通過創(chuàng)造這樣一個好時機，讓學(xué)生自己聯(lián)系到指數(shù)函數(shù)，拉近學(xué)生與新學(xué)知識的距離，可以讓學(xué)生主動探究新知，真正成為學(xué)習(xí)的主體.在教學(xué)過程中，教師如能堅持有意識培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)問意識，潛移默化中促進學(xué)生深度思考，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維，才能培養(yǎng)出具備創(chuàng)新意識和探索精神的新型人才.

2.類比引領(lǐng)學(xué)生自主探究，促進深度理解

建構(gòu)主義認為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者以自身已有知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動的建構(gòu)活動，不應(yīng)被看成對教師所授知識的被動接受[3].在教學(xué)中，應(yīng)從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生抓住知識或方法之間的聯(lián)系，進行有效的自主探究活動，幫助學(xué)生建立良好的認知結(jié)構(gòu).比如，在概念課、性質(zhì)課、定理課等引入環(huán)節(jié)，常?？梢詮男轮谡麄€知識體系中的地位、與已學(xué)知識內(nèi)部聯(lián)系出發(fā)，回憶基本活動經(jīng)驗，提出新的問題，引導(dǎo)學(xué)生進行類比探究，實現(xiàn)有效的知識建構(gòu).

對數(shù)函數(shù)是學(xué)生在研究指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上進行研究的，研究內(nèi)容和方法基本相同，學(xué)生可以借助研究指數(shù)函數(shù)的活動經(jīng)驗，進行自主探究對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.在本課例中，將主動權(quán)交給學(xué)生，沒有給學(xué)生具體的對數(shù)函數(shù)進行研究，這恰恰給學(xué)生更大的空間.有的學(xué)生會選擇描點作圖，有的學(xué)生選擇對稱作圖，而且發(fā)現(xiàn)了比教材上更多的性質(zhì)，學(xué)生課堂上積極性高，討論熱烈，取得不錯的效果.在應(yīng)用環(huán)節(jié)上，學(xué)生能夠類比指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，出題類型眾多，有比較大小、解不等式、求定義域等問題，還有一位同學(xué)出了一道實際應(yīng)用問題，真正做到了學(xué)以致用.

像這樣把具有相似結(jié)構(gòu)的一類課建立聯(lián)系進行整體設(shè)計，即通過對數(shù)學(xué)教材的“深度理解”，將已形成的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移至新的情境中，類比學(xué)習(xí)新知，以簡馭繁，解決相應(yīng)問題，完善認知結(jié)構(gòu).通過類比學(xué)生自主研究的這種形式，不再是單純知識的傳遞，更注重學(xué)生的學(xué)，在探究交流中，能更好的落實自主探究、合作交流等教學(xué)方式，這也將更有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中將自己的經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為有效的基本活動經(jīng)驗.

3. 努力做好深度教學(xué)，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)

隨著新一輪課改的啟動，高考改革的深入推進.作為新高考的“風(fēng)向標”卷，2020年普通高中學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·新高考卷Ⅰ(山東)有向“素養(yǎng)立意”轉(zhuǎn)變的特點，在試題的難度設(shè)計上不僅有層次性，而且在思維上有靈活性、深刻性，方法上有綜合性、探究性和創(chuàng)造性等.這樣的難度設(shè)計有利于高校選拔人才，也有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革.面對新高考形勢變革，數(shù)學(xué)教學(xué)不能只滿足于數(shù)學(xué)知識與技能的簡單積累，而應(yīng)該更加注重通過數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，建立整體性的認識，形成一般性的思維策略，努力提升核心素養(yǎng).

如果教師做不到“深度教學(xué)”，學(xué)生就很難真正做到“深度學(xué)習(xí)”.這對教師提出更高的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)必須圍繞數(shù)學(xué)問題進行深度教學(xué)，幫助學(xué)生形成一般性的思維策略，讓學(xué)生真正做到“學(xué)懂、學(xué)活、學(xué)深”.深度教學(xué)的重要的環(huán)節(jié)分為：建立聯(lián)系、問題引領(lǐng)、分享交流、學(xué)會學(xué)習(xí).在本案例中，通過解決問題1和2，盤活指數(shù)函數(shù)的活動經(jīng)驗，能夠讓學(xué)生在后續(xù)研究中確定研究對數(shù)函數(shù)方法，也能讓學(xué)生初步感知指對函數(shù)之間的關(guān)系(建立聯(lián)系)；通過對一個特殊的對數(shù)函數(shù)y=log2x的研究，讓學(xué)生了解它的圖象與性質(zhì)，也能為解決問題3(問題引領(lǐng))，提供一定的經(jīng)驗，在總結(jié)對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)時，展示多位學(xué)生畫的圖象，請多位學(xué)生總結(jié)歸納對數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)(分享交流)，緊接著讓學(xué)生自主命題，應(yīng)用新知；通過問題7的解決，讓學(xué)生深度思考研究函數(shù)的一般方法，形成一般性的思維策略(學(xué)會學(xué)習(xí)).

用聯(lián)系的觀點來分析思考，才能更深入的認識；相反地，只有更深入的認識，才更容易發(fā)現(xiàn)不同對象的聯(lián)系.重視問題串設(shè)計，只有適當(dāng)?shù)膯栴}才能引領(lǐng)學(xué)生更深刻地思考，提升思維.如果教師能夠長期堅持深度教學(xué)，深度學(xué)習(xí)自然就會成為學(xué)生的自覺行為，學(xué)生的全面發(fā)展和核心素養(yǎng)的提升也必將落到實處.