◇寶雞文理學院教育學院 王玉 劉敏娜

數(shù)學思維是不同于數(shù)學概念、定理，規(guī)則等的學習，是需要經過大腦深度思考而獲得的特殊數(shù)學思維能力。通過對相關資料的調查分析筆者認為數(shù)學思維的教學內容包括數(shù)學抽象能力、數(shù)學語言表達能力、數(shù)學推理能力，數(shù)學思維的培養(yǎng)需要從概念習得到具體實踐層面進行分層次培養(yǎng)，在實施數(shù)學思維的培養(yǎng)措施要以“聞見”為基礎，促進學生的思維發(fā)展；注重數(shù)學課程中的數(shù)學用語學習，為數(shù)學交流和表達打基礎；構建知識的聯(lián)系通道，為思維的轉換做準備。

隨著科學技術的革新，人工智能夠越來越多地代替人類進行工作，對于未來的兒童，要培養(yǎng)他們什么樣的能力才能應對這個日新月異發(fā)展的社會。美國21世紀學習框架指出，21世紀的教育要建立在核心知識基礎之上，這里的學科知識是指學科觀念和思維方式，其目的在于讓學生像學科專家那樣思考。一個學科的獨特思維方式是分析一個學科特有的問題理解和問題解答的思維方式，是要培養(yǎng)學生們像這個課程的課程專家一樣思索問題的能力[1]。培養(yǎng)學生的關鍵數(shù)學能力，是實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的落腳點，而培養(yǎng)數(shù)學能力的核心又在于思維能力[2]。近年來，培養(yǎng)和加強學生的思維能力已成為國際教育的重要目標，鄭毓信也提出：現(xiàn)代數(shù)學研究作為一種高層次的數(shù)學思維，對解決數(shù)學教育中的許多重大理論問題作出了說明[3]。朱立明在高中生數(shù)學學科核心素養(yǎng)測評框架構建具體分析了數(shù)學核心素養(yǎng)的測評維度和觀測指標中也可以看出數(shù)學思維所占的權重是最高的，從這個權重中我們也可以明確看出數(shù)學思維的重要性，數(shù)學思維得到提高的話，數(shù)學能力也能得到大幅度發(fā)展。

1 數(shù)學思維的概念

數(shù)學思維是在數(shù)學的學習過程中形成的一種特殊的數(shù)學能力，筆者認為數(shù)學思維是區(qū)別于通常的數(shù)學概念，定理，規(guī)則，計算等的學習，是要通過大腦的深度思考后獲得的特殊的思維能力，即能夠運用數(shù)學的觀點看世界，發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學的用語、記號等表達問題，用數(shù)學的思維推理解決實際問題的能力。其中數(shù)學思維包括數(shù)學抽象能力、數(shù)學表達能力、數(shù)學推理能力。

朱立明將數(shù)學思維細分為：思維空間、思維拓展、思維遷移[4]。筆者認為這樣的思維分類結果多體現(xiàn)在問題的發(fā)現(xiàn)，問題的解決階段，運用數(shù)學的知識，空間想象能力將問題在大腦中進行整合分析，拓展與轉化，再通過思維的遷移用數(shù)學能力解決實際問題。我國教育家張奠宙教授也指出，數(shù)學本質的內涵應該是指數(shù)學思維能力，也就是在數(shù)學學習中非常重要的演算能力、邏輯思維能力和空間想象能力。還有另外的觀點認為，數(shù)學思維方式以數(shù)學中的空間形式和數(shù)量關系為現(xiàn)實，以語言和符號為媒介，作為識別和獲取數(shù)學規(guī)則的基礎[5]。

從以上可以看出，不同的研究角度和研究目的，對數(shù)學思維的定義雖不同，但都有一個共同的特點，都是將數(shù)學思維認定為數(shù)學中的獨特的，抽象的思維能力。

2 數(shù)學思維的教育內容

數(shù)學思維的教育是很難通過一般的教學過程得到深度有效的發(fā)展，教育學家們也一直在探索什么樣的教育內容能夠發(fā)展學生的數(shù)學思維能力。根據(jù)本文的數(shù)學思維的概念界定，筆者將將數(shù)學思維的培養(yǎng)內容分為數(shù)學抽象能力的培養(yǎng)、數(shù)學語言表達能力的培養(yǎng)、數(shù)學推理能力的培養(yǎng)。

2.1 數(shù)學抽象能力

數(shù)學抽象是指在數(shù)學活動中對一般基本概念、基本特征、運算規(guī)則等數(shù)學特征的實現(xiàn)進行思考，并從環(huán)境中獲得有用信息的過程。從紛繁復雜的環(huán)境中提取出有效的數(shù)學信息，如數(shù)量、大小、位置、等式關系，然后對這些信息進行抽象理解，將實踐中的問題轉換為數(shù)學問題，然后對數(shù)學問題進行分析、解決。對于數(shù)學的學習一般順序是先了解概念，然后理解概念以及應用條件，最后將數(shù)學內容應用于現(xiàn)實社會的問題解決中[6]。數(shù)學抽象能力的培養(yǎng)從概念的理解到具體實踐：首先在學習過程中要關注學生對于數(shù)學概念的理解與掌握。數(shù)學概念往往是對相關定理、規(guī)則最精準的概括，因此往往也具有抽象性，教師在教學過程中要利用現(xiàn)實情況和新舊知識間的聯(lián)系使學生能夠理解和掌握抽象的概念；其次，教給學生獲取數(shù)學信息的能力。要幫助學生學會從現(xiàn)實社會中感知數(shù)學，數(shù)量關系，將實際中復雜的信息內容可以抽取出數(shù)學符號、語言、算式等；再次，在實際應用中發(fā)展抽象概括能力。在實際操作中，學生實現(xiàn)了對數(shù)學用語、記號的抽象和建模過程，將現(xiàn)實問題轉換為數(shù)學性問題，再進行解決。

2.2 數(shù)學語言表達能力

數(shù)學語言表達能力就是能用數(shù)學符號或言語來交流和表達信息[7]。就是指能夠用恰當而準確的數(shù)學用語，數(shù)學符號來表明意思和傳達信息。數(shù)學信息的表明與傳達和數(shù)學語言的學習是分不開的。數(shù)學語言的學習在數(shù)學思維培養(yǎng)中具有重大意義。同時，數(shù)學思維和數(shù)學語言有很大的相關性，數(shù)學思維就是無聲的數(shù)學語言，可以通過熟悉、表征、翻譯等方式發(fā)展學生的數(shù)學語言[8]。數(shù)學語言表達能力的培養(yǎng)要從數(shù)學語言的識記學習到具體情境中的實踐：首先，在課堂教學中要讓學生理解數(shù)學概念中的數(shù)學符號標示和數(shù)學語言的表達并進行符號，語言的記憶；其次，在課堂教授中，教給學生把生活實際中聽到，觀察到的內容轉化為數(shù)學符號和數(shù)學常用語言。再次，要教給學生用數(shù)學符號或言語表明意思，傳達信息的能力。通過現(xiàn)實中轉化來的數(shù)學語言進行交流實踐，才能真正學好，掌握數(shù)學語言，培養(yǎng)用數(shù)學語言交流的能力，在交流的過程中也是鍛煉數(shù)學思維的過程。

2.3 數(shù)學推理能力

數(shù)學推理能力是指根據(jù)一定的事實和建議，按照一定的規(guī)則提出不同的建議的能力[9]。運用數(shù)學思維解決問題時常常需要歸納、總結、從已知推未知，這就需要充分運用推理的思維方式，做到有理有據(jù)。在課堂教學中就要教會學生用歸納和類比的方法，從舊知中延伸、類比出新知，使學生懂得算理與算法之間的聯(lián)系，尋找合理簡潔運算方法的依據(jù)。數(shù)學推理能力的發(fā)展要從數(shù)學概念的推理學習到具體實踐的操作。首先，要在學習新概念時，給學生講明概念的推理過程，如練習用學過的舊知識推導出新的概念，在新舊概念間建立起聯(lián)系；其次，在課堂中訓練學生的推理能力。給學生創(chuàng)造一個民主的課堂氛圍，讓學生可以進行大膽猜測，并且要使學生獲得解決開放問題的機會，與傳統(tǒng)的有唯一答案的題目相比，有開放性特征的題目，更能夠讓學生體驗觀測、推測、推斷、驗證并得出結論的經歷；再次，讓學生在實踐中運用推理能力。讓學生在實際問題中，根據(jù)獲得的有限信息，仔細觀察發(fā)現(xiàn)其中的線索和規(guī)律，進行假設和推理，并進行大膽的猜測和實際驗證，在積累解決實際問題的經驗中培養(yǎng)學習者的推理能力。

3 數(shù)學思維的教育實施策略

常磊沿用了PogrowS關于數(shù)學思維的教育實施策略的分類方法，將高層次思維能力的教學模式歸納為3類：首先,獨立課程模式，該模式強調職業(yè)教育和直接思維的獨立課程，獨立于相關課程；其次，內容模式，在某些特定的知識背景中進行授課，如數(shù)學或科學，在這樣的課程中培養(yǎng)數(shù)學思維；再次，注入模式，將思維能力與課程和教學相結合，這不僅限于特定的學科和內容，是指除了數(shù)學和科學的其他課程中也能夠培養(yǎng)數(shù)學思維[10]?，F(xiàn)階段，就我國的課程設置及培養(yǎng)模式來說，數(shù)學思維的培養(yǎng)與教授具有一定的學科依賴性，就現(xiàn)階段的課堂教學實際情況來說，多是在數(shù)學課堂教學的中進行。因此，數(shù)學課堂上培養(yǎng)數(shù)學思維的措施可以參考以下幾個教育實施策略。

（1）以“聞見”為基礎，促進學生的思維發(fā)展。要想要數(shù)學思維得到有效發(fā)展，我們常常需要依托于課堂中的“聞見”。在課程教授時，教育者應該明確不同領域的概念，思維和信息，同時引導學習者思考，幫助他們組織知識結構，闡明數(shù)學知識之間的邏輯關系，顯示不同的空間位置，并形象化，我們應該引導從形象思維轉向抽象思維[11]。傳統(tǒng)課堂中所用的板書，以及最近幾年經常被提及的思維導圖都是很好的思維再現(xiàn)的方式，這些方式能夠清晰地展現(xiàn)知識結構、邏輯關系，各個概念間的邏輯聯(lián)系，并將數(shù)學知識的探索與研究過程適時濃縮，不斷激發(fā)學生進行思考，用適合他們的方式來探索知識的本質，并發(fā)展他們的思維能力。

（2）注重數(shù)學課程中的數(shù)學用語的學習，為數(shù)學交流和表述打基礎。數(shù)學思維常常需要借助于數(shù)學用語，符號的交流和表述表現(xiàn)出來，數(shù)學用語和符號的交流和表述中往往就滲透著數(shù)學思維，反之我們可以通過學習數(shù)學用語來鍛煉數(shù)學思維。在課堂教學中教師要多給學生進行表達的機會，這給了學生思考問題的動力，同時也能夠通過口頭表達展現(xiàn)思維的發(fā)展，學習者的數(shù)學思維得到訓練，在現(xiàn)在的小學教學中所倡導探究、合作教學就是為了提高學生思考、鍛煉思維的能力，凡是學生能做的教師就不要做。因此，教會學生用數(shù)學用語、符號進行表達是想要通過在教師的主導下，進行師生間的交流、同學間的交流，讓學生學會表達數(shù)學，讓學生經歷深度思考后表達自己的想法，在表述中傾聽，在傾聽中通過表達交流，在交流中進行再考慮和改善，如此反復促進了多角度，多層次的思索，從而促使知識的理解掌握和數(shù)學思維的有效發(fā)展。

（3）構建知識的聯(lián)系通道，為思維的轉換做準備。數(shù)學思維的鍛煉，常常需要人們用舊的知識解決新的問題，對前后知識進行聯(lián)系，進行思維的轉化。在現(xiàn)在小學課堂中，我們常?？吹嚼蠋熞髮W生用之前學習過的知識來解決新的問題，這就是通過對新舊知識的聯(lián)系來促進思維的轉化實踐。在教學中就要求教育者為學習者搭建整體的知識網絡。這就要求教師自己要理解整個知識的邏輯體系，及推導過程，然后根據(jù)學生已有的認知經驗，讓學生嘗試用舊的知識解決新出現(xiàn)的問題情境，讓學生在實際的聯(lián)系中理解新舊知識之間的聯(lián)系；并且，在學習完新知識后，一定要幫助學習者再次梳理知識脈絡，實現(xiàn)知識的同化和順應，促進知識的聯(lián)系和轉化。通過這樣的反復操作，學習者會逐步掌握思維轉換能力，進而促進數(shù)學思維的發(fā)展。

4 數(shù)學思維的評價

目前在國內關于數(shù)學思維的評價中還未發(fā)現(xiàn)有對數(shù)學思維進行單獨評價的研究。但是國際上有學者研究認為TIMSS和PISA可以測量學生的數(shù)學思維能力[10]。雖然這樣的測量是不具有針對性的，但是也可以根據(jù)TIMSS和PISA中的測量結果來指導我們對于數(shù)學思維培養(yǎng)的方向和實踐。朱忠明就指出繼承與發(fā)展中的PISA 2021數(shù)學測評框架，可以為我國基礎教育數(shù)學課程的改革思路和行動方面提供參考[12]。從以上可以看出我國關于數(shù)學思維評價的研究還是不足的。后續(xù)還需要對數(shù)學思維的評價進行更家深入的研究，例如確定評價項目，制定評價量表，以及確定評價的方法。

5 結語

國內關于數(shù)學思維的研究成果還比較少，2018～2020年CNKI上關于數(shù)學思維的核心期刊只有33篇，并且大多都停留于質性研究，幾乎沒有量化分析，并且關于數(shù)學思維的概念每個研究者處于不同角度都有不同的見解，并未有一個大家普遍接受的清晰的界定，導致教育內容的邊界不清晰，并且在教育評價上沒有可以量化進行評價的評價途徑，評價方法和評價維度。關于數(shù)學思維的研究我國還學要做更多的量化研究，可以參考國外國外的研究成果，基于我國的教育實情和特點來探索和發(fā)展關于數(shù)學思維的研究。