翦知漸，謝 中，周艷明

(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

相對(duì)運(yùn)動(dòng)的非磁性導(dǎo)體與永磁體(或其他磁場(chǎng))之間因電磁感應(yīng)存在相互作用，研究這種相互作用對(duì)了解感應(yīng)電機(jī)的運(yùn)行、磁懸浮、渦流制動(dòng)、磁感應(yīng)探傷以及衛(wèi)星在地磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等具有重要作用[1-5]. 在這類體系中，電磁相互作用導(dǎo)致的磁體與導(dǎo)體之間的磁懸浮力和磁阻尼力是實(shí)際應(yīng)用問題的焦點(diǎn).

對(duì)于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體與磁體之間的相互作用，理論上可以用麥克斯韋方程組和洛倫茲力來解決，但除了少數(shù)高對(duì)稱性的情形外，一般很難得到解析解，所以實(shí)際應(yīng)用中多采用模擬或數(shù)值計(jì)算的方法[6-7]. 另外，采用實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行研究也較為有效[8-9].

本文介紹了研究磁體與運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體之間相互作用的實(shí)驗(yàn)方法及相關(guān)的實(shí)驗(yàn)裝置：位于永磁鐵下方旋轉(zhuǎn)的鋁圓柱體內(nèi)，因電磁感應(yīng)產(chǎn)生渦流，渦流產(chǎn)生的磁場(chǎng)使磁體受到力的作用，通過測(cè)量相互作用力，可以對(duì)導(dǎo)體內(nèi)的渦流及其產(chǎn)生磁場(chǎng)的特點(diǎn)進(jìn)行分析. 該實(shí)驗(yàn)過程涉及許多電磁學(xué)的概念和定律，適合作為本科生的提高型或進(jìn)階型實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目.

1 基本模型及測(cè)量結(jié)果

當(dāng)磁體與導(dǎo)體之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)的電子受洛倫茲力的作用產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，從而形成渦旋狀的感應(yīng)電流，電流的大小和分布與導(dǎo)體的電導(dǎo)率及形狀有關(guān)，如圖1所示. 磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)B0向下，下方的平板導(dǎo)體向左運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體內(nèi)將會(huì)產(chǎn)生渦旋狀的感應(yīng)電流，其分布及產(chǎn)生的磁場(chǎng)BI大致如圖1所示. 值得注意的是，左半部的感應(yīng)磁場(chǎng)與外場(chǎng)方向一致，總磁場(chǎng)加強(qiáng)；右半部的感應(yīng)磁場(chǎng)與外場(chǎng)方向相反，總磁場(chǎng)減弱. 渦旋電流的大小和總磁場(chǎng)的大小有關(guān)，因此渦旋電流的分布在磁場(chǎng)區(qū)域的左右兩側(cè)是不對(duì)稱的.

圖1 磁體與運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體之間的電磁感應(yīng)

對(duì)于不同形狀、不同運(yùn)動(dòng)軌跡的導(dǎo)體，要給出渦旋電流的分布及其與外場(chǎng)相互作用的解析解是很困難的，只有少數(shù)高對(duì)稱性的系統(tǒng)才能獲得解析解[10-11]. 所以本文用實(shí)驗(yàn)方法對(duì)此進(jìn)行研究，通過分析測(cè)量結(jié)果來解釋相互作用過程，并對(duì)測(cè)量結(jié)果的特征給出定性及半定量的解釋.

在實(shí)際應(yīng)用中，人們最關(guān)心的是相對(duì)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致磁體所受水平方向的拽力(即導(dǎo)體所受的阻尼力)以及豎直方向的升力(磁懸浮力)，故設(shè)計(jì)了準(zhǔn)確測(cè)量拽力和升力的實(shí)驗(yàn)裝置. 由于在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)較難實(shí)現(xiàn)導(dǎo)體穩(wěn)定的平動(dòng)，所以本文用旋轉(zhuǎn)代替平動(dòng)，設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示. 位于上方的是1個(gè)安裝在特制懸臂梁上的長(zhǎng)方形永磁鐵，可近似認(rèn)為其磁感應(yīng)強(qiáng)度在長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)是均勻的，大小為B0，方向朝下；下方是繞中心軸旋轉(zhuǎn)的鋁圓柱體，旋轉(zhuǎn)角速度為ω. 旋轉(zhuǎn)的鋁圓柱體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)，渦旋電場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)磁場(chǎng)，感應(yīng)磁場(chǎng)與原有磁場(chǎng)之間的相互作用導(dǎo)致磁體受到作用力，從而運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體內(nèi)及導(dǎo)體外的電場(chǎng)和磁場(chǎng)都會(huì)重新分布.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

利用電機(jī)驅(qū)動(dòng)鋁圓柱體旋轉(zhuǎn)并控制其轉(zhuǎn)速ω，懸臂梁上安裝2個(gè)正交的力傳感器，測(cè)量磁體所受水平方向的拽力FD及磁體所受垂直方向的升力FL(磁懸浮力)，測(cè)量結(jié)果如圖3所示.從圖中可以看到，隨著轉(zhuǎn)速ω的增加，水平方向的拽力FD和垂直方向的升力FL的變化不一致.隨著轉(zhuǎn)速ω的增加，F(xiàn)D的增速逐漸減緩，達(dá)到一定大小后基本保持不變；FL在較大速度區(qū)間內(nèi)基本上單調(diào)遞增.

圖3 磁體所受拽力FD,升力FL與角速度ω的關(guān)系

2 對(duì)測(cè)量結(jié)果的解釋

2.1 利用迭代過程導(dǎo)出感應(yīng)磁場(chǎng)的表達(dá)式

導(dǎo)體內(nèi)的渦旋電流及其產(chǎn)生的磁場(chǎng)滿足麥克斯韋方程組：

(1)

其中最后1個(gè)方程是考慮洛倫茲力之后的歐姆定律.如果圓柱導(dǎo)體的旋轉(zhuǎn)速度穩(wěn)定，渦旋電流及其產(chǎn)生的磁場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，但對(duì)于非對(duì)稱的邊界條件，從方程組較難直接求解感應(yīng)電流.本文用迭代過程來取代對(duì)聯(lián)立方程組的求解：外磁場(chǎng)中的導(dǎo)體快速旋轉(zhuǎn)時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)將會(huì)產(chǎn)生渦流，而渦流又會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)；此渦流產(chǎn)生的磁場(chǎng)與旋轉(zhuǎn)的導(dǎo)體相互作用又將產(chǎn)生第2個(gè)渦流，然后產(chǎn)生第2個(gè)磁場(chǎng)；第2個(gè)磁場(chǎng)產(chǎn)生第3個(gè)渦流和磁場(chǎng)……因此，總的磁場(chǎng)由無限多個(gè)場(chǎng)組成，因最終的結(jié)果確定存在，所以多個(gè)場(chǎng)的和是收斂的，或者說，該過程是負(fù)反饋過程.

基于以上過程，本文采用簡(jiǎn)化模型來進(jìn)行分析，如圖4所示.建立坐標(biāo)系，假設(shè)z軸為旋轉(zhuǎn)軸，鋁圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω(逆時(shí)針方向).外場(chǎng)B0(假設(shè)均勻)方向指向y軸正向(實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中的鉛垂方向)，感應(yīng)磁場(chǎng)記為BI.

(a) 第1次迭代過程

(b)第2次迭代過程圖4 利用迭代過程分析電磁感應(yīng)的物理圖像

BIx=-βσωμ0rBTy=-αωBTy，

(2)

式中，負(fù)號(hào)表示BIx指向x軸的負(fù)方向，β是與導(dǎo)體形狀及幾何尺寸有關(guān)的常量，α=βσμ0r.

根據(jù)以上分析，同樣可得到

BIy=βσωμ0rBTx=αωBTx,

(3)

考慮到BTy=B0+BIy，BTx=BIx，再聯(lián)立式(2)和式(3)，可得感應(yīng)磁場(chǎng)與角速度的關(guān)系為

(4)

(5)

感應(yīng)磁場(chǎng)對(duì)永磁鐵作用力的大小與磁感應(yīng)強(qiáng)度大小成正比，如圖4所示.磁體受到的升力(磁懸浮力)FL與y軸方向感應(yīng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度成正比(FL∝BIy)；磁體受到的拽力(阻尼力)FD與x軸方向磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度成正比(FD∝BIx).

根據(jù)式(4)和式(5)，對(duì)圖3的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，結(jié)果如圖5所示.從圖中可以看出，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與理論公式符合得較好，說明了理論分析合理.

圖5 磁體所受升力FL與拽力FD的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論值

感應(yīng)磁場(chǎng)與角速度的關(guān)系與磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體問題的理論計(jì)算及實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致[13-14]，由此推導(dǎo)出的FL和FD與運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系，也與磁場(chǎng)中的平動(dòng)導(dǎo)體問題的理論計(jì)算及實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致[15].這說明式(4)和式(5)具有普適性.

2.2 感應(yīng)磁場(chǎng)的特點(diǎn)

感應(yīng)磁場(chǎng)BI=BIx+BIy，如圖6所示.BIx沿x軸負(fù)方向，BIy沿y軸負(fù)方向，感應(yīng)磁場(chǎng)BI與x軸的夾角為φ.根據(jù)式(4)～(5)可知，BIy∝ωBIx，且BIy隨角速度增加的增速更快，故夾角φ隨角速度的增加也會(huì)變大，即感應(yīng)磁場(chǎng)將隨著轉(zhuǎn)速增加而逐漸旋轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)動(dòng)方向與導(dǎo)體柱的旋轉(zhuǎn)方向一致.在極大轉(zhuǎn)速的極限情況下，BIx→0，BIy→-B0，感應(yīng)磁場(chǎng)將會(huì)與外場(chǎng)大小相等、方向相反(符合楞次定律)，導(dǎo)體內(nèi)的總磁場(chǎng)趨于零.當(dāng)然，這種狀態(tài)不可能達(dá)到，因?yàn)殡S著轉(zhuǎn)速增加,渦流的焦耳熱會(huì)越來越多，從而會(huì)限制轉(zhuǎn)速的無限增大.

為了更清楚地了解上述物理過程，本文使用霍爾片測(cè)量了靠近圓柱體表面處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，圖6中標(biāo)出了5個(gè)磁場(chǎng)測(cè)量點(diǎn)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度隨轉(zhuǎn)速變化的測(cè)量結(jié)果如圖7所示.圖7中的數(shù)據(jù)為感應(yīng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，是總場(chǎng)強(qiáng)扣除外場(chǎng)之后的結(jié)果(先測(cè)出外場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度).從圖7中可以清楚地看到，隨著轉(zhuǎn)速的增加，磁感應(yīng)強(qiáng)度的峰值點(diǎn)位置從1→2→3→4→5逐漸移動(dòng)，說明了感應(yīng)磁場(chǎng)在逐漸旋轉(zhuǎn).

圖6 感應(yīng)磁場(chǎng)的特點(diǎn)

圖7 不同位置處磁場(chǎng)的測(cè)量結(jié)果

3 測(cè)量與分析

為進(jìn)一步了解磁體的受力情況，重新設(shè)計(jì)了測(cè)力傳感器的分布.將永磁體等效看作電流恒定的矩形線圈，磁場(chǎng)向下時(shí)，左側(cè)電流與右側(cè)電流(紅色線條)的流向如圖8所示.在圖示位置安裝測(cè)力傳感器，可分別測(cè)量磁體左側(cè)的升力FL1和拽力FD1，同樣可測(cè)量磁體右側(cè)的升力FL2和拽力FD2.測(cè)量結(jié)果如圖9所示.很明顯，磁體左右兩側(cè)的受力情況有較大區(qū)別.特別是升力的測(cè)量結(jié)果，可以看到左側(cè)受到向上的升力，右側(cè)所受的力向下，在速度較低時(shí)，二者幾乎同步增加，所以凈升力較小，該階段的磁體實(shí)際上受到繞對(duì)稱軸(見圖8)的力矩作用.接下來，隨著速度的增加，磁體所受左側(cè)的升力增速放緩，而右側(cè)向下的力減小，所以總升力的增速基本持平.這是以前未觀察到的變化過程，該現(xiàn)象同樣可由上一節(jié)討論中所指出的“感應(yīng)磁場(chǎng)的指向隨角速度增加產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)”的結(jié)論進(jìn)行解釋.

圖8 力傳感器位置示意圖

(a)升力

(b) 拽力圖9 永磁體左右兩側(cè)的升力和拽力

感應(yīng)磁場(chǎng)是渦流產(chǎn)生的，可以用環(huán)形電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)來大致模擬. 電流越強(qiáng)，磁力線越密集，感應(yīng)磁場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)，磁力線方向也會(huì)隨之轉(zhuǎn)動(dòng). 與永磁鐵等效的矩形線圈中的電流所受力的方向垂直于磁力線方向，因此可用磁力線方向的變化來解釋作用力方向的變化，如圖10所示.

1)轉(zhuǎn)速ω很小的情況，如圖10(a)所示. 此時(shí)渦旋電流很小，磁場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)角φ也很小，因此可以忽略，此時(shí)磁體總的受力情況F1+F2為：水平方向受到向左的拽力(與圓柱體上表面運(yùn)動(dòng)方向一致)，就好像磁體被下方導(dǎo)體拖拽一樣；垂直方向所受的合力為0，但存在繞線圈對(duì)稱軸的力矩.

2)轉(zhuǎn)速ω稍大的情況，如圖10(b)所示.此時(shí)F1和F2都有所增加.因磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)了小角度φ，所以電流線圈處的磁力線方向也有所偏轉(zhuǎn)，故電流線圈所受的安培力也會(huì)產(chǎn)生一定變化：水平方向所受合力仍是向左的拽力，而且變得更大；垂直方向的合力不再為0，而是受到向上的升力——磁懸浮力，其力矩仍存在.

3)轉(zhuǎn)速ω較大的情況，如圖10(c)所示.此時(shí)磁場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)角φ較大，線圈電流所受安培力的變化為：水平方向所受合力仍是向左的拽力，但力的增速變緩；垂直方向的合力(磁懸浮力)增加較快.

總之，隨著ω的增加，渦流產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁力線密度在增加，方向也在旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致F1和F2的大小在增加，方向也隨之旋轉(zhuǎn).水平方向與垂直方向的合力的變化趨勢(shì)為：隨著ω的增加，水平方向的力總是向左，先是穩(wěn)步增加，然后增速放緩，最后減?。淮怪狈较虻牧?開始，逐漸出現(xiàn)穩(wěn)步增加的升力，沒有出現(xiàn)減小的趨勢(shì).

(a) ω很小

(b) ω稍大

(c) ω較大

圖10 永磁體受力隨磁場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)的變化

以上分析對(duì)應(yīng)于圖9中各階段實(shí)測(cè)曲線的變化趨勢(shì)，充分說明了“感應(yīng)磁場(chǎng)的指向隨角速度增加產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)”的正確性.

4 結(jié) 論

磁體與運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體之間的相互作用是典型的電磁相互作用，了解它們因電磁感應(yīng)產(chǎn)生的磁懸浮力與磁阻尼力，既具有理論研究的意義，又具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.本文設(shè)計(jì)并制作了研究這種相互作用的實(shí)驗(yàn)裝置，對(duì)磁懸浮力、磁阻尼力以及感應(yīng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度等物理量進(jìn)行了測(cè)量，并利用雙梁力傳感器對(duì)磁體前后兩側(cè)的受力進(jìn)行測(cè)量，觀察到了兩側(cè)作用力的變化.通過對(duì)渦流與磁場(chǎng)相互作用過程的分析，建立了用迭代方法描述的理論模型，得出感應(yīng)磁場(chǎng)的方向隨角速度增加發(fā)生旋轉(zhuǎn)，并推導(dǎo)出了這些量與導(dǎo)體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度之間的關(guān)系式，這些關(guān)系式與磁懸浮力、磁阻尼力的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)符合得較好.根據(jù)以上結(jié)論，可以很好地解釋感應(yīng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的測(cè)量結(jié)果，對(duì)磁體前后兩側(cè)受力的實(shí)測(cè)結(jié)果也能給出較好地解釋.本文得到的結(jié)果具有一定的普適性，對(duì)磁體與運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體之間的相互作用系統(tǒng)具有參考意義.