高 源，錢建強(qiáng)

(北京航空航天大學(xué) a.高等理工學(xué)院;b.物理學(xué)院，北京 100191)

絕熱條件下，磁性物質(zhì)溫度隨著外加磁場強(qiáng)度改變而改變的現(xiàn)象稱為磁熱效應(yīng). 磁熱效應(yīng)制冷被認(rèn)為是獲得低溫的主要手段之一，利用磁熱效應(yīng)制造的絕熱退磁制冷機(jī)[1]可以將溫度降低到50 mK. 大部分地表實驗儀器采用3He-4He稀釋制冷，但該方法存在極低溫制冷時液氦的損耗和對重力的依賴等問題. 在太空環(huán)境中航天器處于失重狀態(tài)，稀釋制冷機(jī)無法正常工作，因此在航天應(yīng)用方面多采用以順磁鹽為工作介質(zhì)的絕熱退磁制冷機(jī). 絕熱退磁制冷機(jī)利用順磁鹽在零場處的相變進(jìn)行制冷，時至今日，順磁鹽的磁熱效應(yīng)依然是獲取低溫的主流手段之一. 隨著對量子磁性認(rèn)識的深入，人們發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)量子材料在有限場處的量子相變也會產(chǎn)生類似的磁熱或逆磁熱效應(yīng). 由于該實驗存在安全性低、成本高等問題，因此學(xué)生較難接觸到低溫環(huán)境. 為了激發(fā)學(xué)生對磁熱效應(yīng)的興趣，使其了解更多相關(guān)知識，本文通過解析計算和張量網(wǎng)絡(luò)重正化群算法，對3種材料的低溫?zé)崃W(xué)性質(zhì)進(jìn)行計算，結(jié)合疫情期間線上教學(xué)所采用的仿真實驗技術(shù)[2-3]，建立了磁熱效應(yīng)測量仿真平臺.

1 仿真平臺的原理

利用磁熱效應(yīng)建立的絕熱退磁制冷機(jī)的理想工作流程如圖1所示，圖中彩色曲線為硫酸鐵銨在不同磁場下的熵曲線，對應(yīng)的磁場值標(biāo)記在曲線旁，圖中黑色線為1次完整制冷循環(huán)，具體流程如下:

1)A→B：等溫加磁場，工作介質(zhì)向熱沉放熱.到達(dá)B點后斷開與熱沉的連接；

2)B→C:絕熱退磁，直到溫度下降到探測器的工作溫度，即C點.達(dá)到C點后打開工作介質(zhì)與探測器的連接；

3)C→D:等溫退磁，使探測器維持在工作溫度以進(jìn)行相關(guān)測量，到達(dá)D點后斷開與探測器的連接；

4)D→A:絕熱加磁場，升溫到A點后開啟與熱沉的連接，開始下一輪循環(huán).

圖1 絕熱退磁制冷機(jī)工作原理示意圖

對工作介質(zhì)性能的評價主要有2點：a.絕熱溫變，這決定了其能到達(dá)的最低溫度；b.等溫熵變，這決定了其在工作溫度的吸熱量. 二者均可由溫熵圖體現(xiàn). 除了工作介質(zhì)以外，絕熱退磁制冷機(jī)還需要保護(hù)層，其主要作用為吸收熱庫、連接設(shè)備等器材的漏熱，為工作介質(zhì)提供溫度低于熱庫的外部環(huán)境. 保護(hù)層材料要求具有較大的熱容與熱導(dǎo)，可以在快速吸熱的同時盡量緩慢地升溫. 熱容的大小可以體現(xiàn)在熵變的快慢上，而熱導(dǎo)的計算較為復(fù)雜，在此不做討論. 無論對于工作介質(zhì)還是保護(hù)層，其工作效能均可以由熵曲線進(jìn)行刻畫，因此磁熱效應(yīng)仿真的核心在于對體系熵曲線的精確計算.

目前所采用的制冷材料主要為硫酸鐵銨(ferric ammonium alum, FAA)和釓鎵石榴石[1](gadolinium gallium garnet, GGG),這2種材料的低溫?zé)崃W(xué)性質(zhì)均可以用順磁鹽模型來描述. 但在實際應(yīng)用過程中，順磁鹽的零場熱容、熱導(dǎo)以及對磁場的利用率等方面均存在不足. 其原因是材料中自旋(贗自旋)之間幾乎沒有相互作用. 關(guān)聯(lián)量子材料由于電子之間存在相互作用，其零場熱容會優(yōu)于順磁鹽，在作為保護(hù)層時更加有效. 在量子臨界點附近，關(guān)聯(lián)量子多體系統(tǒng)存在大量低能激發(fā)，這些低能激發(fā)可以使材料具有較大的熱導(dǎo)率[4].

提供的仿真材料有3種，分別為FAA、GGG和Cu(NO3)2·2.5H2O. 其中FAA是自旋5/2的順磁鹽；GGG是自旋7/2的自旋液體[5]，由于其實驗數(shù)據(jù)可以被順磁鹽模型較好擬合，因此在本文中也當(dāng)作順磁鹽處理；Cu(NO3)2·2.5H2O具有交替海森堡反鐵磁鏈[6]，利用張量網(wǎng)絡(luò)重正化群算法可以很好地計算其低溫?zé)崃W(xué)性質(zhì).

1.1 順磁鹽仿真原理

順磁鹽的哈密頓量一般表示為

(1)

本文研究的2種材料的熵可以利用如下公式進(jìn)行計算[1]:

(2J+1)xcoth [(2J+1)x],

(2)

(3)

(4)

其中，n為總粒子數(shù)，J為自旋量子數(shù)，B為外加場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，b為內(nèi)建修正場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，μB為波爾磁子，kB為玻爾茲曼常量，T為溫度.對于FAA而言，b具有如下形式:

(5)

其中，b0=0.056 T，T0=0.060 1 K，a=0.377.對于GGG而言，b=0.481 T[7-8].

順磁鹽存在奈爾溫度，當(dāng)溫度低于奈爾溫度，體系會脫離順磁相而形成反鐵磁序.此時上述計算不再適用.因此在仿真時，要求體系的溫度高于材料的奈爾溫度，F(xiàn)AA的奈爾溫度為0.026 K，GGG的奈爾溫度為0.38 K.

1.2 Cu(NO3)2·2.5H2O仿真原理

Cu(NO3)2·2.5H2O具有交替海森堡反鐵磁鏈，其哈密頓量為:

(6)

將其分解為奇偶2部分，即：

(7)

(8)

利用Trotter-Suzuki[9]分解，其密度矩陣的計算可以近似為

ρβ=exp (-βH)≈

[exp (-τHodd)·exp (-τHeven)]N.

(9)

其中N為充分大的整數(shù)且滿足β=Nτ.利用矩 陣乘積算符(matrix product operator, MPO)來表示密度矩陣和演化算符，便得到二維張量網(wǎng)絡(luò).對于張量網(wǎng)絡(luò)的收縮，采用雙層無限長線性張量網(wǎng)絡(luò)重正化群算法(bilayer infinite-size linearized tensor renormalization group, iLTRG)[10-11]. 雙層算法中對密度矩陣的計算有:

(10)

相較于單層算法，雙層算法中張量網(wǎng)絡(luò)的正則形式提高了其穩(wěn)定性.同時只需要演化到β/2即可計算β處的熱力學(xué)量，降低了計算復(fù)雜度. 對于給定磁場，熵曲線的計算在幾十秒到幾分鐘之間.

考慮到Cu(NO3)2·2.5H2O的特殊性，在遠(yuǎn)離臨界場的位置，即使使用精確對角化進(jìn)行模擬仍可以獲得較高的計算精確度，因此在仿真過程中也提供了鏈長為10的精確對角化算法進(jìn)行快速計算.

2 仿真平臺的實現(xiàn)

結(jié)合上述原理，通過Matlab編程及其GUI功能實現(xiàn)了體系的虛擬仿真. 仿真程序分為2部分：1)模擬絕熱退磁制冷機(jī)的工作流程，讓學(xué)生對磁熱效應(yīng)有更為直觀的認(rèn)識；2)模擬熵的測量，以此來精確刻畫體系的磁熱效應(yīng).

2.1 絕熱退磁制冷

絕熱退磁制冷模擬的工作界面如圖 2所示，下方控制面板可進(jìn)行材料選擇、工作模式切換和磁感應(yīng)強(qiáng)度調(diào)控. 提供的材料有FAA，GGG和Cu(NO3)2·2.5H2O，工作模式有等溫和絕熱2種. 右側(cè)參量面板顯示了當(dāng)前溫度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，右下方按鈕可進(jìn)行開始測量、保存數(shù)據(jù)等操作.

圖2 絕熱退磁制冷仿真工作流程

在選擇好材料，設(shè)定好初始溫度和磁場后，以“絕熱”模式點擊“開始測量”，畫布上會出現(xiàn)藍(lán)色的“*”，標(biāo)記體系當(dāng)前的狀態(tài). 通過滑動下方滑塊，減小體系當(dāng)前磁場，可以看到藍(lán)色的“*”在等熵降溫. 當(dāng)達(dá)到某個溫度后，切換工作模式為“等溫”，繼續(xù)減小磁場，可以看到藍(lán)色的“*”在等溫吸熱，此時工作介質(zhì)的熵在提高，直到磁場降至0 T. 在退磁過程中，點擊繪制曲線可以獲得當(dāng)前磁感應(yīng)強(qiáng)度下熵與溫度的關(guān)系.

2.2 熵曲線測量模擬

熵曲線測量模擬提供了更為精確的數(shù)據(jù)結(jié)果，其工作界面如圖3所示，選擇好材料和方法后，在參量控制面板中給出相關(guān)參量，點擊測量即可獲得圖中熵曲線，點擊保存數(shù)據(jù)即可獲得途中點的信息.

圖3 熵曲線測量模擬

3 仿真實驗

絕熱退磁模擬平臺為學(xué)生提供了認(rèn)識磁熱效應(yīng)的直觀平臺，熵曲線測量模擬部分為精確刻畫體系的磁熱和反磁熱效應(yīng)提供了數(shù)據(jù)支持. 利用該仿真平臺，學(xué)生可直觀認(rèn)識相關(guān)材料的磁熱效應(yīng)，并利用熵曲線的數(shù)據(jù)繪制等熵線，進(jìn)行更為深入的研究. 下面分別以順磁鹽和Cu(NO3)2·2.5H2O為例進(jìn)行仿真平臺功能的演示.

3.1 絕熱溫變分析

絕熱溫變ΔTdd是用來評價工作介質(zhì)制冷能力的重要指標(biāo)，決定了降溫能到達(dá)的最低溫度. 下面以順磁鹽FAA和GGG為例來研究此問題. 固定初始磁場為4 T，這是航天器能接受的磁場調(diào)控范圍；改變其初始溫度，分析其絕熱溫變與初始溫度的關(guān)系，結(jié)果如圖 4所示，圖中灰色虛線為參考線，其與橫軸的截距為絕熱降溫的終止溫度. 考慮到低于奈爾溫度后關(guān)聯(lián)會快速建立，近似認(rèn)為可以達(dá)到的最低溫度為奈爾溫度. 從圖4中可以看到，在相同初始溫度的條件下，F(xiàn)AA可以在絕熱退磁的過程中降到比GGG更低的溫度，在2～6 K的初始溫度之間都可以絕熱降溫至奈爾溫度附近，這也是FAA被用作絕熱退磁制冷機(jī)工作介質(zhì)的原因之一. 而GGG的奈爾溫度較高，無法達(dá)到較低溫度，但其自旋量子數(shù)相較于FAA更大，意味其熵變更大，可以吸收更多的熱量，因此多用作保護(hù)層.

圖4 順磁鹽材料絕熱溫變模擬結(jié)果

3.2 等熵線分析

順磁鹽材料的熵曲線分析較為簡單，其熵最大的曲線總是在零場處. 而一維自旋鏈由于量子相變的存在，難以直觀地總結(jié)出熵曲線的規(guī)律，因此需要繪制等熵線對磁熱和反磁熱效應(yīng)進(jìn)行更為充分的分析.

利用熵曲線測量模擬部分，對Cu(NO3)2·2.5H2O在溫度范圍0.5～5 K、磁感應(yīng)強(qiáng)度范圍0～5 T的熵曲線進(jìn)行計算，以此來繪制其等熵線. 由于其低溫有效模型為海森堡模型，考慮磁場耦合后，體系具有U(1)對稱性，此時可以將張量分塊，以提高模擬速度. 計算結(jié)果如圖5所示. 可以看到圖中具有2個量子相變點，在這2個量子相變點附近具有磁熱和反磁熱效應(yīng).

圖5 Cu(NO3)2·2.5H2O等熵線模擬結(jié)果

從等熵線上可以看到，量子相變點附近的熵被抬高，從熵的定義來看，這意味著體系在相變點附近有較多的許可態(tài). 對于無相互作用系統(tǒng)，在有限場處，體系的基態(tài)只能是順磁的，而零場處，基態(tài)卻可以是任意的，磁場驅(qū)動了體系態(tài)密度的變化，從而引發(fā)了磁熱效應(yīng). 對于關(guān)聯(lián)量子材料也可以做類似的分析，當(dāng)磁場和相互作用達(dá)到平衡時，基態(tài)附近便會有大量能量相同或相近的態(tài)，提高了體系低溫下的態(tài)密度，從而產(chǎn)生磁熱或逆磁熱效應(yīng).

4 實驗教學(xué)過程及效果

自編實驗講義，包括背景知識介紹、部分補(bǔ)充知識，以及程序使用方法和相關(guān)要求.

順磁鹽的模擬仿真部分讓存在于書本的知識與實際應(yīng)用聯(lián)系起來. 要求學(xué)生利用在熱力學(xué)與統(tǒng)計物理、量子力學(xué)中學(xué)到的知識，自行推導(dǎo)無相互作用系統(tǒng)的熵公式，求解有限場與零場下系統(tǒng)的基態(tài). 然后利用仿真系統(tǒng)模擬2種實際材料(FAA和GGG)的熵隨著磁場與溫度變化的行為，分析其制冷能力.

在關(guān)聯(lián)量子磁體部分的實驗教學(xué)中，教師先補(bǔ)充一些理論上的背景知識，完成從無相互作用體系到相互作用體系的過渡. 從一維經(jīng)典伊辛模型出發(fā)，即：

(11)

完成背景知識學(xué)習(xí)后，學(xué)生可以模擬不同磁場下的熵曲線，并分析低溫下熵隨溫度變化的行為.當(dāng)體系基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)存在能隙時，熵隨溫度呈指數(shù)下降，下降速度與能隙大小有關(guān).當(dāng)體系的基態(tài)與激發(fā)態(tài)無能隙時，熵隨溫度呈代數(shù)下降.

通過順磁部分仿真實驗，加深了學(xué)生對絕熱退磁制冷機(jī)工作機(jī)制及順磁體磁熱效應(yīng)成因的理解. 通過關(guān)聯(lián)材料仿真實驗，學(xué)生對關(guān)聯(lián)量子材料有了深入認(rèn)識，對量子臨界、量子相變等概念有了初步理解，為以后固體理論的學(xué)習(xí)及相關(guān)科研工作奠定了基礎(chǔ).

5 結(jié)束語

利用量子統(tǒng)計和量子多體計算，完成了對順磁鹽和一維關(guān)聯(lián)量子材料的熱力學(xué)精確模擬，建立了磁熱效應(yīng)仿真實驗平臺. 該平臺有效地簡化了復(fù)雜的實驗操作與數(shù)據(jù)處理，直觀展示了FAA，GGG和Cu(NO3)2·2.5H2O在熱力學(xué)方面對溫度及磁場變化的實際響應(yīng)過程. 在教學(xué)方面可以作為學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識、了解磁熱效應(yīng)和量子磁性等相關(guān)知識的平臺. 在科研方面，該平臺利用的線性張量網(wǎng)絡(luò)重正化群算法可以為學(xué)生解決其他相關(guān)問題提供幫助. 除了磁熱效應(yīng)之外，仿真平臺還展示了量子相變對體系有限溫熵的影響，可以作為學(xué)生課外知識的補(bǔ)充. 平臺本身也具有良好的延拓性，可以收入新的材料. 未來計劃通過自動尋參技術(shù)[12]引入更多磁性材料并探究其磁熱及逆磁熱效應(yīng). 同時，將在程序中儲存部分預(yù)先獲得的計算或?qū)嶒灁?shù)據(jù)，進(jìn)一步提升程序的流暢性.

致謝:感謝劉鑫陽、于澤昊等同學(xué)參與仿真實驗，并提供了寶貴的意見；感謝李偉、屈代維和李喬依的有益討論.