福建省晉江市平山中學(xué) 吳輝集

學(xué)生在遇到數(shù)學(xué)問題時，受到思維習(xí)慣等多種因素的影響，往往會從正面角度出發(fā)，探索解決問題的方法，這固然有一定的意義；但有時在特定的題目條件下，借助逆向思維解決問題，往往可以使復(fù)雜的問題簡單化，幫助學(xué)生取得意想不到的效果，使解題過程更高效。為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的健全發(fā)展，教師應(yīng)重視在課堂教學(xué)中培育學(xué)生的逆向思維能力，為學(xué)生的高效解題奠基。

一、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的意義

逆向思維能力在數(shù)學(xué)課堂中更多地體現(xiàn)為從常規(guī)解題思路的對立面出發(fā)，對問題展開思考與分析，對定理、定義、公式等進(jìn)行反向利用，擺脫思維定式的束縛，快速、準(zhǔn)確地解答問題。長遠(yuǎn)看來，在數(shù)學(xué)課堂中培育學(xué)生的逆向思維能力，具有如下幾方面的積極意義。

（一）有利于擴(kuò)展學(xué)生的思維空間

初中數(shù)學(xué)教材中，有著雙向性特征的知識是十分豐富的，如定理與逆定理的轉(zhuǎn)換就體現(xiàn)了鮮明的雙向性特點。在學(xué)習(xí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)公式時，學(xué)生總習(xí)慣從公式的左邊出發(fā)，向公式的右邊展開思索與應(yīng)用，而教師在平時也未重視做好對學(xué)生逆向思維能力的引導(dǎo)，久而久之造成學(xué)生對數(shù)學(xué)公式形成了嚴(yán)重的思維定式，限制了學(xué)生的思維空間，不利于學(xué)生的持續(xù)成長。為解決這一問題，教師應(yīng)強(qiáng)化對學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，從多元化的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生形成對公式或定理的新理解、新思索，引領(lǐng)學(xué)生換角度思索數(shù)學(xué)問題，找到更為高效的解題方法。

（二）有益于加深學(xué)生的知識學(xué)習(xí)

培育學(xué)生的逆向思維能力，有利于加深學(xué)生對教材基礎(chǔ)知識的理解，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。如在教學(xué)“正比例函數(shù)”與“反比例函數(shù)”基礎(chǔ)知識時，教師可引領(lǐng)學(xué)生借助逆向思維思索基礎(chǔ)知識，將反比例函數(shù)視作正比例函數(shù)的逆向運算來理解，同時關(guān)注函數(shù)自變量、常數(shù)值k的要求，更為全面、準(zhǔn)確地理解兩種函數(shù)，深化對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，取得理想的學(xué)習(xí)成效。

（三）有助于拓展學(xué)生的解題思路

在解題過程中，學(xué)生常會遇到如下情況：對于一些條件相對復(fù)雜的問題，用正向思維進(jìn)行思索，往往無法很好地把握題目給出的條件進(jìn)行簡明扼要的計算，解題過程十分煩瑣，出錯可能性很高。此時教師就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維，從題目的反方向出發(fā)，使整個問題大大簡化，高效解決問題。因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)有針對性地培養(yǎng)學(xué)生“從右到左”的思維能力，引導(dǎo)學(xué)生克服思維定式，發(fā)掘解題突破口，快速、準(zhǔn)確地解決問題，促進(jìn)學(xué)生解題能力的持續(xù)提升。

二、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的策略

（一）做好備課工作，引領(lǐng)學(xué)生的逆向思維能力

在教學(xué)改革深入推進(jìn)、素質(zhì)教育全面開展的時代背景下，“學(xué)生是課堂的主體，教師是課堂的組織者、參與者與引導(dǎo)者”的教學(xué)理念，逐漸得到了廣大數(shù)學(xué)教學(xué)工作者的認(rèn)可。為更好地發(fā)揮“課堂引導(dǎo)者”的作用，數(shù)學(xué)教師務(wù)必重視做好備課工作，結(jié)合學(xué)生的實際情況，設(shè)計一系列有利于培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的教學(xué)活動、教學(xué)素材，為課堂教學(xué)的順利開展打下良好的基礎(chǔ)。實踐表明，現(xiàn)階段初中生對“逆向思維能力”普遍缺乏正確認(rèn)識，很多學(xué)生對“逆向”的理解都十分片面，認(rèn)為所謂“逆向思維”，就是指用反向的計算方法計算數(shù)學(xué)題目。基于此，建議教師在備課階段，為學(xué)生設(shè)計一些多元化的逆向思維問題，引導(dǎo)學(xué)生形成對逆向思維的全面、正確認(rèn)知。

例如，教師可結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，在備課過程中，有針對性地歸納學(xué)生集中反映的數(shù)學(xué)問題，在課堂中，引導(dǎo)學(xué)生從“反面”出發(fā)對問題展開剖析。如很多學(xué)生對如下概率題抱有疑惑：“箱子中裝有1個紅球與2個藍(lán)球，除顏色外其余都相同，現(xiàn)在從盒子中隨機(jī)取出兩球，顏色恰好為一紅一藍(lán)的概率為多少？”對此，教師可從反向角度思考這道題，在課堂中引領(lǐng)學(xué)生借助逆向思維進(jìn)行解題，即先算出兩個球都是藍(lán)色的概率，再用1減去這個概率，即可得出正確答案。顯然，相較于常規(guī)解題方法，利用此種方法進(jìn)行解題效率更高。若對題目稍做變形，條件變得復(fù)雜后，學(xué)生依然可借助逆向思維，較為直觀地梳理清楚題目蘊(yùn)藏的條件，實現(xiàn)高效解題，久而久之，學(xué)生自然能夠?qū)δ嫦蛩季S能力的內(nèi)涵產(chǎn)生更為深刻的認(rèn)知。在教學(xué)一些復(fù)雜的幾何證明題時，教師尤其應(yīng)從備課階段入手，強(qiáng)化對學(xué)生思維的引導(dǎo)，讓學(xué)生掌握“執(zhí)果索因”與“由因?qū)Ч钡乃季S方法，提升學(xué)生的解題能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成發(fā)展。

（二）把握教學(xué)環(huán)節(jié)，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力

課堂教學(xué)環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)教師訓(xùn)練學(xué)生逆向思維能力的主陣地。為提升逆向思維能力訓(xùn)練效果，教師應(yīng)把握好課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，為學(xué)生設(shè)計一系列別出心裁的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，同時把控好課堂節(jié)奏，引領(lǐng)學(xué)生的逆向思維向著更為縱深的方向發(fā)展，取得更好的教學(xué)效果。從現(xiàn)階段看來，在課堂教學(xué)過程中對學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，更多體現(xiàn)于指引學(xué)生應(yīng)用“反證法”解題，即從待證結(jié)論的反面出發(fā)，推出一個矛盾的結(jié)論，從而否定要證結(jié)論的反面、肯定要證結(jié)論的一種思維方法。教師可在教學(xué)環(huán)節(jié)中，有意識地為學(xué)生滲透此種思維方法，指引學(xué)生從多元化視角出發(fā)，更為全面、更為細(xì)致地看待數(shù)學(xué)問題，摒除思維盲點，實現(xiàn)高效解題。

如在學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)知識內(nèi)容時，學(xué)生常會遇到這樣的數(shù)學(xué)題：“m取何實數(shù)，可保證拋物線y=-x2+(m-2)x+m-5的頂點不在第四象限？”若從正面角度出發(fā)，結(jié)合題目所給條件思考這一問題，取值范圍是十分廣泛的，頂點可位于第一、第二、第三象限及坐標(biāo)軸上，在解答時逐一進(jìn)行討論是十分復(fù)雜的。但使用反證法進(jìn)行解題就可取得不錯的解題效果。教師可指引學(xué)生利用逆向思維進(jìn)行思考：設(shè)拋物線頂點位于第四象限，可用頂點坐標(biāo)公式求出m的取值范圍，之后可通過求m取值范圍的補(bǔ)集，得出題目答案，即m≤2或m≥4。教師可將函數(shù)圖像為同學(xué)們繪制出來，更為直觀、生動地展示逆向解題思路，增強(qiáng)學(xué)生對逆向思維能力的認(rèn)知，達(dá)到教學(xué)目的。

（三）重視概念教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力

從現(xiàn)階段看來，學(xué)生的逆向思維能力普遍發(fā)展得較為落后，究其原因是學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實，因此很難真正掌握這種層次稍高的思維方法。毋庸置疑，如果將數(shù)學(xué)學(xué)科視作一座大廈，那么數(shù)學(xué)概念無疑是構(gòu)成這座大廈的基石，缺乏對數(shù)學(xué)概念的正確理解，學(xué)生的逆向思維能力就如同無本之木，難以真正形成。如，很多學(xué)生在解答帶有互逆性質(zhì)的基礎(chǔ)概念問題時，都會忽略概念間的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而忽略題目蘊(yùn)藏的重要信息，造成解題思路與題目要求相差甚遠(yuǎn)?；诖?，建議教師在概念教學(xué)中，重視培育學(xué)生的逆向思維能力，引導(dǎo)學(xué)生從正向、逆向、正向與逆向相結(jié)合等多元化的角度出發(fā)，分析數(shù)學(xué)概念中蘊(yùn)藏的互逆因素，形成對數(shù)學(xué)概念更為全面、更為靈活的認(rèn)知，為解題做好扎實的鋪墊。教師可活用目前在數(shù)學(xué)課堂中十分流行的小組探究教學(xué)方法，鼓勵學(xué)生借助逆向思維能力，針對數(shù)學(xué)概念展開自主探究，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的記憶，助力高效解題。

例如，在教學(xué)“同類項”相關(guān)概念內(nèi)容時，為加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，教師可在課堂中為學(xué)生引出這樣的例子：“假設(shè)-a3bm和-anb2是同類項，求m及n的取值。”很多學(xué)生在解答這道題時，都感到毫無頭緒，找不到解題突破點。此時教師就可以引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維能力思考題目，發(fā)掘題目中蘊(yùn)藏的深層次內(nèi)容，從反方向出發(fā)，更好地理解同類項的概念，得出m=2、n=3的正確答案。當(dāng)然，概念教學(xué)方面的逆向思維訓(xùn)練，并不僅局限于讓學(xué)生從反方向出發(fā)思考數(shù)學(xué)問題，教師也可從更多元化的角度出發(fā)，為學(xué)生引出更多的問題，引導(dǎo)學(xué)生以逆向思維推導(dǎo)出相應(yīng)的概念與定理。如在教學(xué)“相反數(shù)”這一知識內(nèi)容時，教師可提問3的相反數(shù)是多少，或-3是幾的相反數(shù)，從正、反兩方面出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知，達(dá)到逆向思維訓(xùn)練目的。

（四）借助數(shù)學(xué)公式，鍛煉學(xué)生的逆向思維能力

數(shù)學(xué)公式在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足輕重的地位，對數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵所在。通常情況下，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式的過程往往是相對簡單的，但運用數(shù)學(xué)公式，卻要求學(xué)生有著良好的思維能力與靈活的思維習(xí)慣。實踐表明，目前初中生對數(shù)學(xué)公式、法則的學(xué)習(xí)較不靈活，習(xí)慣亦步亦趨地跟隨著教師的指引，機(jī)械地學(xué)習(xí)知識，對數(shù)學(xué)公式的理解常局限于教材層面，難以舉一反三、活學(xué)活用地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式。同時，教師受到傳統(tǒng)教學(xué)理念的影響，通常也并不會為學(xué)生做數(shù)學(xué)公式方面的逆向思維延伸，種種原因都造成學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用不夠靈活。為解決如上問題，在此后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于與公式、法則相關(guān)的內(nèi)容，教師應(yīng)重視面向?qū)W生做好逆向思維培養(yǎng)，幫助學(xué)生掌握正確、靈活使用數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則的思路與方法，讓學(xué)生得心應(yīng)手地利用數(shù)學(xué)公式解答數(shù)學(xué)問題。

目前看來，在初中數(shù)學(xué)教材中，公式、法則、定理存在雙向性特征的情況并不少見，如一元二次方程的判別式定理、根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理及其逆定理、平行四邊形性質(zhì)及判定定理，這類知識就有著明顯的雙向性特征。在教學(xué)此類知識時，教師應(yīng)有針對性地引領(lǐng)學(xué)生借助逆向思維，對公式展開思索，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。如平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，在教學(xué)時，教師可引導(dǎo)學(xué)生以逆向思維對公式展開雙向理解：公式中，從左到右屬于整式乘法，從右到左則屬于因式分解的內(nèi)容。對于公式am·an=am+n與am+n=am·an，(ab)n=an·bn與an·an=(ab)n，教師皆可使用這類教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，令學(xué)生熟練掌握相關(guān)知識內(nèi)容。

（五）借助習(xí)題教學(xué)，提升學(xué)生的逆向思維能力

習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，強(qiáng)化習(xí)題教學(xué)，是訓(xùn)練學(xué)生逆向思維能力的關(guān)鍵所在。在習(xí)題教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師可多引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維，以觀察、聯(lián)想等方式，將復(fù)雜的問題簡單化，采用特殊解法，解決一般性問題，形成“正難則反”的解題思路，并將這種解題思路應(yīng)用到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的持續(xù)成長。目前看來，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題用到的思維方法是十分豐富的，常見的有分析法、反證法等，采用這些方法進(jìn)行解題，常需要學(xué)生調(diào)動逆向思維能力。因此在解題教學(xué)中，教師可有意識地訓(xùn)練學(xué)生領(lǐng)悟逆向思維的內(nèi)涵，增強(qiáng)學(xué)生的知識應(yīng)用能力，以達(dá)到教學(xué)目的。

例如，在解答幾何證明題時，學(xué)生常會用到分析法，嘗試從結(jié)果出發(fā)，利用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)出證明過程，這便體現(xiàn)了學(xué)生對逆向思維能力的應(yīng)用。在解題教學(xué)中，教師可從這一角度出發(fā)進(jìn)行知識滲透，強(qiáng)化對學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論中明確題目設(shè)定，從中找出可使結(jié)論成立的條件，之后逐步從未知推出已知，證明命題的真實性。教師同樣也可針對一些反例訓(xùn)練內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生驗證自己的解題思路，及時糾正錯誤，這也有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。教師甚至可以結(jié)合具體的題型、內(nèi)容，對題目中的某一條件展開形變，順勢改變整道題的解題思路，多角度地對學(xué)生實施逆向思維訓(xùn)練，這對于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高而言，顯然是大有裨益的。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，有利于拓展學(xué)生的思維空間、豐富學(xué)生的解題思路、深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的健全發(fā)展。因此，教師應(yīng)重視做好此項工作，從備課階段、教學(xué)階段出發(fā)，從數(shù)學(xué)概念、公式、習(xí)題教學(xué)出發(fā)，將逆向思維能力培養(yǎng)滲透至課堂教學(xué)的方方面面，以取得理想的教學(xué)效果。