(荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院 湖北·荊門 448000)

自上世紀(jì)八十年代中期到現(xiàn)在，國際高等教育界越來越重視實(shí)踐教學(xué)、強(qiáng)化應(yīng)用型人才的培養(yǎng)。在教育教學(xué)改革中，國內(nèi)的諸多高校同樣注重實(shí)踐環(huán)境的強(qiáng)化，實(shí)踐教學(xué)已經(jīng)成為培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力的重要環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)適應(yīng)社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展需求的應(yīng)用型人才的重要途徑。同時，社會的進(jìn)步和科技的發(fā)展，使得數(shù)學(xué)與當(dāng)代科學(xué)技術(shù)高度融合，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)進(jìn)入了人們生活的各個領(lǐng)域。因此，培養(yǎng)高素質(zhì)的應(yīng)用型人才，探討數(shù)學(xué)類核心課程課堂教學(xué)改革是十分必要的。

函數(shù)的極值原理在經(jīng)濟(jì)發(fā)展活動中有著廣泛的應(yīng)用，針對生活活動中出現(xiàn)的問題，我們可以利用求解函數(shù)的極值問題，歸納出一套完整且系統(tǒng)求解方法，從而能夠廣泛的應(yīng)用。同時，隨著經(jīng)濟(jì)大潮對現(xiàn)實(shí)的沖擊，很多學(xué)生產(chǎn)生了讀書無用論的思想，不愿意將精力放在學(xué)習(xí)中，而醉心于各種眼前利益。

本文通過引入一些實(shí)際生產(chǎn)生活中的問題，闡述了在不同的問題中，對于解決極值問題的不同應(yīng)對方法。大學(xué)生創(chuàng)業(yè)者可以根據(jù)這方面的數(shù)學(xué)知識來預(yù)估項目的發(fā)展情況，通過資金和利潤之間的關(guān)系，以及其它制約因素對總收益的影響，從而判斷項目的經(jīng)濟(jì)效益是否得到提高，項目有沒有開發(fā)前景等問題，也可以判斷最小成本和最大收益之間的關(guān)系。從而將數(shù)學(xué)分析中的極值原理在實(shí)際生活中發(fā)揮出最大的作用，重新建立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣和信心。對于引導(dǎo)學(xué)生用正確的方式創(chuàng)業(yè)，也具有十分積極的促進(jìn)作用。

1 一元函數(shù)極值原理的教學(xué)研討

教學(xué)過程中，極值判別法判斷駐點(diǎn)或者導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)是極大值還是極小值時，可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像進(jìn)行記憶。對于第一判別法，可以利用一階導(dǎo)數(shù)的符號結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的圖像，左減右增則為極小值，左增右減則為極大值；對于第二判別法，可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號結(jié)合函數(shù)凸凹性的圖像，凸函數(shù)上的極值只可能是極小值，凹函數(shù)上的極值只可能是極大值。

對于一個實(shí)際問題，首先是設(shè)未知量，將它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值最小值問題，而最大值最小值只可能在端點(diǎn)處或者極值點(diǎn)處，極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)處或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)處，再利用極值判別法進(jìn)行判斷，最后比較端點(diǎn)和極值點(diǎn)的值，可得最大值和最小值。

教學(xué)時，可多引用一些與實(shí)際聯(lián)系緊密的問題、最新發(fā)生的問題、學(xué)生感興趣的問題，比如最大利潤問題、稅收額最大問題、環(huán)境污染最小問題、新冠肺炎傳染最低問題、甚至是剛考過的高考題等。稅收是國家取得財政收入的一種手段，是為了維持國家的存在和行使國家職能的重要方式，環(huán)境污染問題是當(dāng)下的大問題，綠水青山就是金山銀山，中國經(jīng)濟(jì)騰飛了，但也付出了極大的環(huán)境代價，消耗大量的能源和資源，造成嚴(yán)重的環(huán)境污染，中國如果要可持續(xù)發(fā)展，就必須在發(fā)展和維護(hù)環(huán)境間做好平衡，將舉例和國家施政方針結(jié)合起來，可以對學(xué)生進(jìn)行更好的愛國主義教育。最新發(fā)生的問題，能讓學(xué)生切實(shí)體會到數(shù)學(xué)的作用和魅力。剛考過的高考題，特別是全國卷的題，用新學(xué)的數(shù)學(xué)知識，站在更高的角度看待同一問題，甚至還可以和高中學(xué)生常用的解題方法作比較。

一元函數(shù)極值原理解決問題一般步驟總結(jié)如下：

（1）通過設(shè)未知量將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值最小值問題；

（2）根據(jù)實(shí)際問題給出函數(shù)f(x)的定義域；

（3）求出f'(x)，并在定義域內(nèi)求f'(x)=0的點(diǎn)（駐點(diǎn)）和f'(x)不存在的點(diǎn)；

（4）對于駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)利用極值判別法來確定函數(shù)的極值點(diǎn)，分段函數(shù)需要判斷出每一段的極值點(diǎn)；

（5）定義域是否存在端點(diǎn)，如有，需要考慮端點(diǎn)處的值；

（6）比較所有端點(diǎn)和極值點(diǎn)的值的大小，從而得出最終結(jié)果。

2 多元函數(shù)無條件極值原理的教學(xué)研討

一元函數(shù)的極值第一判別法主要是從駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)的符號進(jìn)行判斷，兩邊導(dǎo)數(shù)符號相反，則中間點(diǎn)是極值點(diǎn)，兩邊導(dǎo)數(shù)符號相同，則中間點(diǎn)不是極值點(diǎn)。二元函數(shù)的點(diǎn)在平面上，不能從左右兩邊衡量，所以，二元函數(shù)沒有這種極值判別法。教學(xué)過程中，需要給學(xué)生講清楚這一點(diǎn)。二元函數(shù)的極值判別法類似于一元函數(shù)的極值第二判別法，利用二階偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式的符號進(jìn)行判斷，記憶時可結(jié)合一元函數(shù)的極值第二判別法。

對于一個實(shí)際問題，首先是設(shè)兩個或兩個以上未知量，將它轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的最大值最小值問題，而最大值最小值只可能在邊界處或者極值點(diǎn)處，極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)處或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處，再利用極值判別法進(jìn)行判斷，最后比較邊界點(diǎn)和極值點(diǎn)的值，可得最大值和最小值。

多元函數(shù)邊界點(diǎn)的值比較起來比一元函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)要復(fù)雜很多，主要是因為一元函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)只有兩個點(diǎn)，而多元函數(shù)的邊界點(diǎn)有無數(shù)個點(diǎn)，比如二元函數(shù)需要將邊界曲線方程帶入到函數(shù)中消去一個未知量，化為一元函數(shù)，再根據(jù)未知量范圍求出邊界上的最大值和最小值。

其它多元函數(shù)可引導(dǎo)學(xué)生類推相似的極值判別法結(jié)論，同時，舉例時可與一元函數(shù)的例子相互關(guān)聯(lián)，比如產(chǎn)品從一個換成兩個，再來考慮利潤和成本問題。設(shè)未知量時，有時候設(shè)法并不是唯一的。

二元函數(shù)無條件極值原理解決問題一般步驟總結(jié)如下：

（1）通過設(shè)未知數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)最大值最小值問題；

（2）根據(jù)實(shí)際問題給出函數(shù)f（x，y）的定義域；

（3）解方程組f'x（x，y）=0、f'y（x，y）=0 求得定義域內(nèi)所有實(shí)數(shù)解，即駐點(diǎn)；

（4）對于每一個駐點(diǎn)，利用極值判別法判斷是否是極值，是極大值還是極小值；

（5）考察函數(shù)f（x，y）是否有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，若有用定義加以判別是否為極值點(diǎn)；

（6）定義域是否存在邊界點(diǎn)，如有，需要考慮邊界點(diǎn)處的值；

（7）比較所有邊界點(diǎn)和極值點(diǎn)的值的大小，從而得出最終結(jié)果。

3 多元函數(shù)條件極值原理的教學(xué)研討

多元函數(shù)的條件極值問題，與無條件極值問題比較，多出了對應(yīng)的約束條件，一般用拉格朗日乘數(shù)法解決，首先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，然后找出拉格朗日函數(shù)的最大值最小值。拉格朗日函數(shù)的最大值最小值找法和多元函數(shù)最大值最小值找法一樣，只可能在邊界處或者極值點(diǎn)處，極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)處或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處，再利用極值判別法進(jìn)行判斷，最后比較邊界點(diǎn)和極值點(diǎn)的值，得到最大值和最小值。

需要注意的是，拉格朗日乘數(shù)法在解方程組求駐點(diǎn)時計算量往往非常大。實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生利用輪換對稱性人工解方程組時，經(jīng)常會漏根，把正確的根漏掉后，得出錯誤的結(jié)論。這也和計算工具的普及，導(dǎo)致學(xué)生整體計算能力下降有關(guān)。因此，教學(xué)時需要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合Matlab軟件進(jìn)行解方程組計算。

同時，拉格朗日乘數(shù)法在判斷駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)時，需要結(jié)合隱函數(shù)與隱含數(shù)組的導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)求法，利用多元函數(shù)極值判別法進(jìn)行判斷，判斷起來非常復(fù)雜。比如三元函數(shù)f（x，y，z）在約束條件（x，y，z）=0下的極值，可以把（x，y，z）=0看作隱函數(shù)z=z（x，y），目標(biāo)函數(shù)F（x，y）=f（x，y，z（x，y））看作f（x，y，z）與z=z（x，y）的復(fù)合函數(shù)，若點(diǎn)P0是其駐點(diǎn)，則A=Fxx（P0），B=Fxy（P0），C=Fyy（P0），利用二元函數(shù)極值判別法進(jìn)行判斷。

如果能夠消去約束條件，我們會發(fā)現(xiàn)，這種方法計算量會更小，不借助一些數(shù)學(xué)軟件，手動人工計算的話，這種方法無論是求駐點(diǎn)，還是判斷是否是極值點(diǎn)，都更加方便。但是同時，約束條件不一定都能夠消掉，教學(xué)時可以給學(xué)生分析各種方法的利與弊。

舉例說明時，可以從同一個例子中，給出有約束條件和沒有約束條件的不同題目，消去約束條件和不消去約束條件的不同解法。

多元函數(shù)條件極值原理解決問題一般步驟總結(jié)如下：

（1）通過設(shè)未知數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值最小值問題，并給出約束條件；

（2）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域；

（3）對拉格朗日函數(shù)各個變量求偏導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)求出所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

（4）對于駐點(diǎn)，結(jié)合隱函數(shù)和隱含數(shù)組求導(dǎo)法則，利用無條件極值的充分條件判斷是否是極值，是極大值還是極小值；

（5）對于偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，用定義加以判別是否為極值點(diǎn)；

（6）定義域是否存在邊界點(diǎn)，如有，需要考慮邊界點(diǎn)處的值；

（7）比較所有邊界點(diǎn)和極值點(diǎn)的值的大小，從而得出最終結(jié)果。

4 結(jié)束語

在教學(xué)過程中，通過一元函數(shù)的極值第一判別法和第二判別法作比較，通過一元函數(shù)的極值判別法與二元函數(shù)的極值判別法作比較，通過人工計算駐點(diǎn)坐標(biāo)和借助數(shù)學(xué)軟件來計算作比較，能夠讓學(xué)生對于求極值的方法掌握的更深。通過消去約束條件和不消去約束條件的方法相互比較，通過有約束條件和沒有約束條件的同種類型的問題作比較，通過一元和多元函數(shù)在同種類型的問題上的應(yīng)用比較，能夠讓學(xué)生對極值原理的應(yīng)用理解的更透。

特別值得注意的是，如果一個實(shí)際問題我們確定存在最大值最小值，就不需要判斷駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，直接比較這些值的大小，最大的即為最大值，最小的即為最小值。

最后，我們總結(jié)出無論是一元還是多元函數(shù)，無論是有條件還是無條件，極值原理解決問題的通用步驟如下：

（1）通過設(shè)未知數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值最小值問題，有約束條件則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（能消掉約束條件就直接消去條件），并確定函數(shù)的定義域；

（2）對函數(shù)各個變量求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)求出所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

（3）定義域是否存在邊界點(diǎn)，如有，需要考慮邊界點(diǎn)處的值；

（4）判斷實(shí)際問題是否存在最大值或最小值，若存在，則直接比較所有邊界點(diǎn)、駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的值的大小，最大的即為最大值，最小的即為最小值。