郝兆寬

隨著五卷本《哥德爾文集》（Collected Works）的編輯出版[1]，哥德爾生前眾多未發(fā)表的手稿被整理出來。這些手稿有很大一部分是關(guān)于哲學(xué)的，從而引起了國際上對哥德爾哲學(xué)的研究熱情。到目前為止，這些研究大致落在兩個范式之下，但是都沒有取得令人滿意的進(jìn)展。

一、分析哲學(xué)范式中的哥德爾

把哥德爾置于當(dāng)代分析哲學(xué)的背景下看起來是非常自然的事情，因?yàn)榉治稣軐W(xué)正是靠著數(shù)理邏輯的興起才產(chǎn)生的，而哥德爾是塑造當(dāng)今數(shù)理邏輯整個研究領(lǐng)域的人之一。在邏輯學(xué)的所有分支上，他的貢獻(xiàn)都是根本性的，都是推動整個領(lǐng)域發(fā)展的動力所在。他當(dāng)之無愧地被稱為“自亞里士多德以來最偉大的邏輯學(xué)家”。然而，至少到目前為止，從分析哲學(xué)方向上對哥德爾思想的理解和闡釋仍然流于表面。除了對哥德爾柏拉圖主義立場的抱怨之外，哥德爾思想的深刻內(nèi)涵并未被嚴(yán)肅地對待，更遑論富有成果的研究。

這其實(shí)也不難理解。當(dāng)代分析哲學(xué)深受經(jīng)驗(yàn)論傳統(tǒng)的影響，而哥德爾的哲學(xué)則深深植根于理性主義傳統(tǒng)之中，所以站在前者的立場上去看，哥德爾的哲學(xué)會顯得非?！安蛔匀弧保绻皇恰安豢衫碛鳌钡脑?。葉峰在《20世紀(jì)數(shù)學(xué)哲學(xué)》中曾評論道，哥德爾并未對“作為分析哲學(xué)一個分支”的數(shù)學(xué)哲學(xué)產(chǎn)生什么重要的影響[2]?？紤]到維也納學(xué)派之后分析哲學(xué)的發(fā)展，葉峰的評論自然可以理解。只是分析哲學(xué)這種強(qiáng)烈的反柏拉圖主義的傾向也并非從一開始就有，弗雷格和早期的羅素都像哥德爾一樣，是堅定的柏拉圖主義者，轉(zhuǎn)向是后來才發(fā)生的。

有一則關(guān)于羅素和哥德爾交往的逸事很能生動地說明這種變化。羅素曾在“自述”里回憶自己1944年5月前在普林斯頓高等研究院的一段時光，他自稱“每周一次地”與愛因斯坦、哥德爾和泡利討論：“我不想哥德爾竟是不摻雜質(zhì)的柏拉圖主義者，分明相信天堂里臥著一個永恒的‘不’，德性高的邏輯學(xué)家也許能指望來世在那兒一睹它的芳容。”據(jù)王浩說，后來哥德爾在1971年讀到了這個評論，并且起草了一份答復(fù)，其中說道：

至于說到我的“不摻雜質(zhì)”的柏拉圖主義，它并不比1921 年羅素本人的柏拉圖主義更“不摻雜質(zhì)”吧，當(dāng)時他在《導(dǎo)論》中說：“邏輯正如動物學(xué)一樣是真正在談?wù)摤F(xiàn)實(shí)世界，雖然邏輯有更抽象、更一般這類特色?！憋@然那時羅素甚至在現(xiàn)世已經(jīng)一睹“不”的芳容，只是他后來在維特根斯坦影響之下決意不把它當(dāng)作一回事。①這段逸事，包括引文，都是來自王浩所著《哥德爾》（康宏奎譯，上海譯文出版社，1997 年，第157-158 頁）。其中哥德爾所說的《導(dǎo)論》，指的是羅素1919 年出版的《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》（Russell B.,Introduction to Mathematical Philosophy,London:Allen and Unwin,1919），這本書有商務(wù)印書館出版的晏成殊先生的譯本。

哥德爾從其科學(xué)生涯的一開始就對哲學(xué)有著濃厚的興趣，他的所有科學(xué)研究都有著深刻的哲學(xué)動機(jī)。他在邏輯和數(shù)學(xué)研究中，甚至在物理學(xué)研究中，最為關(guān)心的都是那些“基本的東西”，這正是某種哲學(xué)精神的體現(xiàn)。在他看來，凡是基礎(chǔ)的理論工作都會與哲學(xué)相關(guān)，要么在哲學(xué)之中，要么由哲學(xué)提供動機(jī)，要么有哲學(xué)的后果，要么要用哲學(xué)作為助探原理。而他自己的重要工作，全部屬于這四個方面中的某一個[3]40。事實(shí)也正是如此，每個仔細(xì)研讀哥德爾的邏輯和數(shù)學(xué)論文的人，都會發(fā)現(xiàn)在復(fù)雜的符號和公式背后，體現(xiàn)著作者對根本概念作精確理解的不懈追求。正如王浩評論的：

……他大概將更多的精力貢獻(xiàn)給了哲學(xué)，比科學(xué)要多。他的哲學(xué)在談話及已發(fā)表文章中的應(yīng)用預(yù)兆著一個真正廣博而有力的巨型構(gòu)架，與柏拉圖、萊布尼茨、胡塞爾哲學(xué)都有接觸點(diǎn)。②這里引用的是王浩為洛克菲勒大學(xué)向哥德爾頒發(fā)榮譽(yù)學(xué)位的典禮而作的對哥德爾工作的評價，時間為1972 年6 月。據(jù)王浩稱他事前就拿給哥德爾過目，后者甚至提出了修改意見[3]39。

更為重要的是，哥德爾的這些哲學(xué)思想直到今天仍然深刻影響著邏輯、計算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。注意，我這里強(qiáng)調(diào)的是哥德爾的哲學(xué)和思想，而不是他作為邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家在以上領(lǐng)域中的那些巨大成就。

所以，分析哲學(xué)對哥德爾思想的冷淡和低估恐怕不能用來證明哥德爾不是一位重要的哲學(xué)家，而只能說明哥德爾并不是傳統(tǒng)意義上的分析哲學(xué)家。如果不帶偏見地考察20 世紀(jì)哲學(xué)的發(fā)展歷史，會自然得出這樣的印象：在最初借用了數(shù)理邏輯的一些基本成果之后，分析哲學(xué)之后的整個發(fā)展與數(shù)理邏輯后來的進(jìn)展是大異其趣的。對于數(shù)理邏輯各個領(lǐng)域隨后的進(jìn)展，特別是20 世紀(jì)60 年代以后的巨大成就，分析哲學(xué)既失去了早期那種學(xué)習(xí)借鑒的熱情，也失去了那樣做的能力。這其中的原因不僅僅是，或者說根本不是數(shù)理邏輯變得越來越專門、越來越技術(shù)化，而是在于對抽象對象、對理性的先天能力、對深刻的形而上學(xué)問題的不加分別的拒斥。本文正是打算說明，至少從集合論的最新進(jìn)展來看，數(shù)理邏輯不僅正在產(chǎn)生出比早期更具哲學(xué)意義的重要成果，而且其對哲學(xué)的期待，不管是作為動機(jī)還是助探原理，也比以往任何時候都要高得多。

這當(dāng)然只是一個宏觀的判斷，分析哲學(xué)陣營里也不乏關(guān)心數(shù)學(xué)研究實(shí)踐的哲學(xué)家。對于他們來說，哥德爾始終是一個重要的思想源泉。例如，加州大學(xué)爾灣分校的麥蒂教授在其《數(shù)學(xué)中的實(shí)在論》一書中就說：

從蒯因/普特南那里，這種調(diào)和[的哲學(xué)]接受不可或缺論證的核心內(nèi)容；從哥德爾那里，它接受對顯明性的純數(shù)學(xué)形式的承認(rèn)和對此進(jìn)行解釋的責(zé)任。因此它避免了蒯因/普特南的一個主要困難——對數(shù)學(xué)實(shí)踐的不忠實(shí)。[4]35

這種對數(shù)學(xué)實(shí)踐的不忠實(shí)，最終使得作為分析哲學(xué)一個分支的數(shù)學(xué)哲學(xué)不再是“關(guān)于數(shù)學(xué)”的哲學(xué)，而是關(guān)于語言、心靈、大腦以及神經(jīng)元的哲學(xué)。但就算這樣，對哥德爾思想的忽視似乎也不完全合情合理。因?yàn)榧词箤σ陨现黝}，哥德爾也有著深刻而富有啟發(fā)的見解，這些見解當(dāng)然是基于他對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中那些根本概念的思考之上。王浩《邏輯之旅》的第六章對此有一個較為詳細(xì)的記錄和初步的評論[5]。研究和探討哥德爾思想的這一方面仍有大量的工作要做。

二、哥德爾對現(xiàn)象學(xué)的關(guān)注與對數(shù)學(xué)本身的強(qiáng)調(diào)

對哥德爾思想研究的另一個范式是討論其與現(xiàn)象學(xué)的關(guān)系。這方面的成果甚至多于前一個范式。這提醒我們，現(xiàn)象學(xué)早期的發(fā)展也與數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題密切相連。胡塞爾曾深受康托爾和弗雷格的影響。特別是后者，通過對其《算術(shù)哲學(xué)》的嚴(yán)厲批評，促使胡塞爾放棄了算術(shù)中的心理主義①參見F?llesdal D.“,Husserl and Frege:A Contribution to Elucidating the Origins of Phenomenological Philosophy”, in Haaparanta L.(ed.),Mind,Meaning and Mathematics,Dordrecht:Springer-Science&Business Media B.V.,1994,pp.3-47.。這是胡塞爾思想發(fā)展中的一個巨大的轉(zhuǎn)變。大陸哲學(xué)和分析哲學(xué)的互相詬病是后來的事情，而且?guī)в泻艽蟮那榫w化，并沒有太多的道理可講。

哥德爾在一篇未發(fā)表的手稿中對胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)曾經(jīng)大加贊賞：

事實(shí)上，今天有一門剛剛發(fā)端的科學(xué)聲稱它擁有一套從事這類意義澄清的系統(tǒng)方法，那就是胡塞爾創(chuàng)立的現(xiàn)象學(xué)。在這里，意義澄清就是為了更鮮明地聚焦于所涉及的概念而按一定方式來指導(dǎo)我們的注意力，也就是讓它指向我們自己使用這些概念時的行為，指向我們實(shí)施自己行為時的能力，等等。但是，必須清楚地記住，這種現(xiàn)象學(xué)并不是其他科學(xué)意義上的一門科學(xué)。相反，它是[或者說，無論如何應(yīng)當(dāng)是]一套程式或技術(shù)，應(yīng)當(dāng)在我們心中產(chǎn)生一種新的意識狀態(tài)，我們就在這種狀態(tài)中詳盡地描述自己思考時所使用的基本概念，或者把握迄今不為我們所知的其他基本概念。我相信，根本沒有理由從一開始便拒絕這樣一種程式，視為無望的。當(dāng)然，經(jīng)驗(yàn)主義者最沒有理由這樣做，因?yàn)槟菚馕吨麄兊慕?jīng)驗(yàn)主義其實(shí)是一種倒寫的先驗(yàn)主義。[6]383②本文引用哥德爾著作所標(biāo)明的都是《哥德爾文集》中的頁碼。

除此之外，研究者還發(fā)現(xiàn)哥德爾閱讀了胡塞爾的幾乎全部著作，并有數(shù)量巨大的詳細(xì)批注。因此，將哥德爾的思想與現(xiàn)象學(xué)聯(lián)系起來自然也是富有吸引力的研究方向。但是，除了以上提到的這篇生前并未發(fā)表的論文，哥德爾直接討論現(xiàn)象學(xué)和胡塞爾思想的文字非常有限。因此也無從知道哥德爾所理解的胡塞爾現(xiàn)象學(xué)思想的整體面貌。就非常有限的知識而言，我們認(rèn)為哥德爾對現(xiàn)象學(xué)的推崇是為了解決其柏拉圖主義立場的認(rèn)識論問題。為了解釋我們是如何認(rèn)識抽象對象的，哥德爾需要一種不同于康德的經(jīng)驗(yàn)直觀的認(rèn)識能力，他有時稱之為理性直觀。但是，我們并不清楚這種理性直觀是否就是胡塞爾的本質(zhì)之觀。由于現(xiàn)象學(xué)本身在胡塞爾之后也發(fā)展為一場浩大而又紛繁復(fù)雜的哲學(xué)運(yùn)動，所以解決以上問題似乎并非易事。我們當(dāng)然歡迎這個方向上的任何真正進(jìn)展，但也要明白，現(xiàn)象學(xué)因素并不構(gòu)成哥德爾哲學(xué)的主體部分。要從整體上把握哥德爾的思想，我們需要對哲學(xué)有全新的理解。

哥德爾對自身哲學(xué)的這種處境有著非常清醒的認(rèn)識。我們甚至可以猜測這是他晚年極少發(fā)表哲學(xué)著作的原因之一。王浩曾慨嘆說：“假使他生活在一個合拍一點(diǎn)的哲學(xué)共同體里，他發(fā)表的哲學(xué)著作大概會多一點(diǎn)?！雹弁鹾圃谀抢镞€說，哥德爾曾經(jīng)拒絕同他料定懷有敵意的人說話[3]。他把流行的哲學(xué)稱為“時代精神”，認(rèn)為自文藝復(fù)興以來時代精神一直是在“左轉(zhuǎn)”，即越來越偏向?qū)嵱弥髁x、物理主義、經(jīng)驗(yàn)論。而他自己思想的領(lǐng)域則有強(qiáng)烈的“右傾”傾向，更偏向理想主義、實(shí)在論和柏拉圖主義。并且這種偏向是由數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的“本性”所決定的[6]375-377。

為了進(jìn)一步理解哥德爾對自身哲學(xué)處境的這種感受，讓我們進(jìn)入到數(shù)學(xué)哲學(xué)這一具體的領(lǐng)域，這是哥德爾的哲學(xué)和思想集中展現(xiàn)的地方。根據(jù)哥德爾的看法，如果哲學(xué)中有一個部門能成為柏拉圖主義的最后容身之所，那它一定是數(shù)學(xué)。然而，在20世紀(jì)初，由于集合論悖論的出現(xiàn)，引起了在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域的急劇“左轉(zhuǎn)”。懷疑主義和經(jīng)驗(yàn)論者認(rèn)為數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了自相矛盾，唯一的解決之道就是禁止數(shù)學(xué)中的無窮概念，或者把數(shù)學(xué)視為語言的純粹句法。而在哥德爾看來，這個悖論不屬于數(shù)學(xué)，而是處于數(shù)學(xué)和哲學(xué)的邊緣，并且借助策梅洛的集合論公理化系統(tǒng)，這個悖論已經(jīng)被徹底解決了。所以那些借助悖論問題而反對集合論、反對實(shí)無窮的立場是屈服于時代精神的結(jié)果，而不是從事情本身得出的結(jié)論。

但是，這樣的論據(jù)似乎對反抗時代精神毫無用處，懷疑主義和經(jīng)驗(yàn)論仍然占了上風(fēng)。在經(jīng)歷了20世紀(jì)前30 年的激烈爭論之后，希爾伯特的形式主義被哥德爾的不完全性定理擊倒，布勞威爾的直覺主義因?yàn)榫艹獯蟛糠值慕?jīng)典數(shù)學(xué)而始終未能被廣泛接受，弗雷格的邏輯主義也因羅素悖論的出現(xiàn)而被宣告失敗。如果說形式主義的失敗是無可爭議的，那么邏輯主義的失敗則非?？梢?。如哥德爾所說，這個悖論后來以令人滿意的方式解決了，而且對每個理解集合論的人來說，這是顯而易見的。那為何傳統(tǒng)上依然會認(rèn)為是悖論打敗了邏輯主義呢？這是一個值得思考的問題。我們不打算在這里展開對這個問題的探討①有興趣的讀者可以參考郝兆寬《邏輯究竟是什么以及邏輯應(yīng)當(dāng)是什么?》，《哲學(xué)分析》2016年第2期。，而只是想指出，弗雷格的邏輯主義是一種柏拉圖主義，邏輯對于弗雷格來說是研究客觀實(shí)在的科學(xué)，借用羅素的話說，邏輯正如動物學(xué)一樣是真正在談?wù)撌澜?。這當(dāng)然與《邏輯哲學(xué)論》中的觀點(diǎn)截然相反，而與哥德爾的立場完全一致。而后來占了上風(fēng)的觀點(diǎn)，有時也被稱為邏輯主義，認(rèn)為數(shù)學(xué)，更不用說邏輯，不過是語言的句法，與弗雷格的邏輯主義又是完全不同了。這就難怪即使在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域，一個當(dāng)代的職業(yè)哲學(xué)家也不能理解哥德爾為何對已經(jīng)在流行哲學(xué)中“過時”的柏拉圖主義抱有如此堅定的信念。

但是，正如我們已經(jīng)提到的，時代精神的勝利是有代價的，它使得數(shù)學(xué)哲學(xué)完全脫離了數(shù)學(xué)家的實(shí)踐，成了一門與數(shù)學(xué)的任何進(jìn)展無關(guān)的孤芳自賞的學(xué)科。雖然在20世紀(jì)90 年代數(shù)學(xué)哲學(xué)又進(jìn)入了一個相對活躍的時期，但是上個世紀(jì)前30 年那種哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家同時抱著極大的熱情在一起討論和研究的景象卻沒有再現(xiàn)。數(shù)學(xué)哲學(xué)似乎已經(jīng)與數(shù)學(xué)無關(guān)了。對此，哈佛大學(xué)的考爾納教授在其與武丁合著的《集合論基礎(chǔ)》中評論道：

在物理學(xué)哲學(xué)中，有兩類工作。首先，有些工作的進(jìn)展是獨(dú)立于當(dāng)代物理學(xué)發(fā)展的。其次，有些工作是與當(dāng)代物理學(xué)的進(jìn)展緊密相連的。在數(shù)學(xué)哲學(xué)中，我們同樣可以作出類似的區(qū)分。但是絕大多數(shù)當(dāng)代工作完全獨(dú)立于當(dāng)代數(shù)學(xué)的進(jìn)展。雖然此方面也有不少出色成果，但我們認(rèn)為追求數(shù)學(xué)哲學(xué)的多樣性，更加密切聯(lián)系目前的數(shù)學(xué)成果，一定會有更大收獲。不僅在評價已有結(jié)果的哲學(xué)意義上會有巨大收獲，并且通過數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)的當(dāng)代進(jìn)展之間的相互作用，也會有更大的收獲。[7]6

而另一方面，對哲學(xué)日益脫離科學(xué)實(shí)踐的這種自我孤立，那些期待從哲學(xué)中能獲得一些有益靈感的科學(xué)家也表達(dá)了失望之情：

迄今，大部分科學(xué)家太忙于發(fā)展描述宇宙為何物的理論，以至于沒工夫去過問為什么的問題。另一方面，以尋根究底為己任的哲學(xué)家跟不上科學(xué)理論的進(jìn)步。在18世紀(jì)，哲學(xué)家將包括科學(xué)在內(nèi)的整個人類知識當(dāng)作他們的領(lǐng)域，并討論諸如宇宙有無開初的問題。然而，在19和20世紀(jì)，科學(xué)變得對哲學(xué)家，或除了少數(shù)專家以外的任何人而言，過于技術(shù)性和數(shù)學(xué)化了。哲學(xué)家如此地縮小他們質(zhì)疑的范圍，以至于連維特根斯坦——這位世紀(jì)最著名的哲學(xué)家都說道：“哲學(xué)僅余下的任務(wù)是語言分析?！边@是從亞里士多德到康德以來哲學(xué)的偉大傳統(tǒng)的何等的墮落![8]233

在這個意義上，哥德爾的哲學(xué)是對西方形而上學(xué)傳統(tǒng)的一種回歸。如王浩正確評價的，他的思想更接近柏拉圖，更接近萊布尼茨。

三、數(shù)學(xué)實(shí)踐中的柏拉圖主義

如果是這樣，那跳出當(dāng)代流行哲學(xué)的藩籬去展現(xiàn)哥德爾的思想就成為理解哥德爾的必經(jīng)之途。我們特別想說明的是其思想的活力，其在數(shù)學(xué)實(shí)踐中不斷發(fā)揮的重要作用。同時，我們還想說明，數(shù)學(xué)中，特別是集合論中的那些美妙的結(jié)果又是如何印證、豐富和發(fā)展這種哲學(xué)的。這與當(dāng)代哲學(xué)的境況是一個非常鮮明的對比。為了說明哥德爾哲學(xué)這種關(guān)注數(shù)學(xué)實(shí)踐的特征，可以以所謂的“哥德爾綱領(lǐng)”為例，稍作說明。

比起哥德爾綱領(lǐng)，康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)可能更為讀者所熟悉。事實(shí)上，前者可以看做是為解決后者而提出的一種研究方略。當(dāng)數(shù)學(xué)家們知道了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性之后，關(guān)于這個集合論命題的哲學(xué)地位就產(chǎn)生了爭論。一派認(rèn)為獨(dú)立性就是對這個問題的最好解決，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)既不是真的也不是假的，這就是最后的答案，因此，這個方向的工作已經(jīng)完成。這種觀點(diǎn)的哲學(xué)動機(jī)在于，認(rèn)為一個數(shù)學(xué)命題的“真”完全決定于它是否能在一個特定的公理系統(tǒng)內(nèi)得到證明。目前大家普遍接受的作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的公理系統(tǒng)是策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)因?yàn)槭仟?dú)立于策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理的，也就是說，它和它的否定都不能在策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理中證明，因此，按照這一派的觀點(diǎn)，它既不是真的，也不是假的，而是無意義的。

但是哥德爾卻認(rèn)為，一個數(shù)學(xué)命題的真取決于它是否描述了客觀數(shù)學(xué)世界的事實(shí)。我們不能通過某個公理系統(tǒng)證明它和它的否定，只能說明這個公理系統(tǒng)本身不夠強(qiáng)大。由于公理系統(tǒng)不過是我們對客觀數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識，所以獨(dú)立性現(xiàn)象只是說明我們對客觀數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。因此，解決獨(dú)立性問題的正確途徑不是通過宣告其無意義而回避問題的存在，而是應(yīng)該通過不斷加深對數(shù)學(xué)世界的探索而加強(qiáng)我們的公理系統(tǒng)，最終在新的框架內(nèi)確定它的真值。這就是“哥德爾綱領(lǐng)”的核心思想，即通過尋找新的集合論公理最終解決包括連續(xù)統(tǒng)問題在內(nèi)的那些獨(dú)立性問題。

如果試圖從哲學(xué)上理解哥德爾綱領(lǐng)，我們也許可以更為正式地總結(jié)為如下四個命題：

（1）數(shù)學(xué)既不是人類心靈的創(chuàng)造物，也不是純粹符號的游戲，而是對客觀世界的認(rèn)識和描述。

（2）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是獨(dú)立的并不是對連續(xù)統(tǒng)問題的解決，而是說明策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有完全刻畫“集合”這個概念。

（3）集合論學(xué)家的主要任務(wù)是不斷加深對集合這個概念的理解，并將這種更深入的理解總結(jié)為新的公理。任何獨(dú)立性問題，包括連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，最終會以這種方式得到解決。

（4）對新公理的辯護(hù)既可以是內(nèi)在的，也可以是外在的。

有趣的是，兩種觀點(diǎn)的動機(jī)都是哲學(xué)的，前者大致可以認(rèn)為是形式主義的立場，后者當(dāng)然是柏拉圖主義的主張，即承認(rèn)“數(shù)學(xué)對象可以獨(dú)立于我們的構(gòu)造和獨(dú)立于我們各自對這些對象的直覺而存在”。在哥德爾這里，這一立場有了新的意義和更為清晰明確的內(nèi)涵。通常將哥德爾的柏拉圖主義稱為“概念實(shí)在論”，這一稱呼源自他對自己哲學(xué)的一個總結(jié)。

1974年，德克薩斯大學(xué)社會學(xué)系的教師格蘭瓊（Burke Grandjean）為了研究20世紀(jì)30年代中歐的社會與學(xué)術(shù)狀況而搜集材料，他專為哥德爾設(shè)計了一張問卷，里面包括有關(guān)哥德爾生平和思想的大約17個問題，并在1974 年底至1975 年底多次致信哥德爾，希望哥德爾能回答自己的問卷。后來在哥德爾的遺稿中發(fā)現(xiàn)了兩份填好的答卷和日期為1975 年8 月19 日的信，這封信顯然沒有寄出。在答卷中哥德爾除了填寫自己的主要生平事跡外，有一份還評論了萊布尼茨和維特根斯坦。這當(dāng)然是研究哥德爾思想生平的珍貴材料。而對我們來說最重要的是回信中的這樣一段話：

大約從1925 年以來我就是一個概念和數(shù)學(xué)實(shí)在論者。我從未主張過數(shù)學(xué)是語言的句法。倒不如說，按任何一種講得通的涵義去理解，這種見解都會被我的結(jié)果所否證。[3]33

這里哥德爾所說的自己的結(jié)果指的是他的不完全性定理。哥德爾自己有一個著名的論證，認(rèn)為這個定理雖然不一定能“證實(shí)”柏拉圖主義立場，但卻可以有效地“否證”任何認(rèn)為數(shù)學(xué)是人類心靈產(chǎn)物的哲學(xué)立場，這包括物理主義以及視數(shù)學(xué)為語言句法的約定論。這個論證出現(xiàn)在1951年的吉布斯（Gibbs）演講中，核心是以下這段：

或者數(shù)學(xué)在如下意義上是不完全的：它那些顯然的公理永遠(yuǎn)不能包含于一個有窮的規(guī)則中，也就是說人類心靈（即使在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)）無窮地超出了任何有窮機(jī)器的能力，或者存在著絕對不可解的……丟番圖問題（而這個析取的兩個析取支都是真的這種情況并沒有被排除，所以嚴(yán)格說還存在第三種情況）。[9]

所謂概念實(shí)在論的核心思想就是：存在著一個與物的世界（world of things）相平行的概念世界（world of concepts）。哥德爾相信，與物的世界一樣，“這些概念自身形成了一個客觀的實(shí)在，我們不能創(chuàng)造或改變，而只能知覺（perceptive）和描述”。與柏拉圖把物理世界看作理念世界充滿缺陷的映像不同，也與亞里士多德將概念理解為事物的性質(zhì)和側(cè)面不同，哥德爾的這兩個世界是各自持存而不是互為條件的，他更強(qiáng)調(diào)它們在某些方面的相似性。所以他的實(shí)在論的一個主要特征是物理世界與概念世界的平行論：“類和概念也可以看作是真實(shí)的對象……假設(shè)這樣的對象與假設(shè)物理客體（physical body）一樣是合法的，也有同樣多的理由相信它們的存在。它們對于獲得一個令人滿意的數(shù)學(xué)系統(tǒng)是必須的，正像物理客體對一個令人滿意的關(guān)于我們的感性知覺（sense perception）的理論是必須的一樣?！雹俑绲聽枴读_素的數(shù)理邏輯》（G?del K., Russell’s Mathematical Logic, in Schilpp P.A. ed., The philosophy of Bertrand Russell, volume 5 of Library of Living Philosophers,Evanston:Northwestern University,reprinted in G?del Collected Works,Volume Ⅱ,1944,pp.128）。參閱郝兆寬《哥德爾針對物理主義的一個論證》（《邏輯學(xué)研究》2014年第3期）和《論分析性——來自哥德爾的啟示》（《哲學(xué)研究》2014年12期）。

數(shù)學(xué)對象當(dāng)然屬于概念世界，因而不是我們精神的產(chǎn)物，不是直覺的構(gòu)造。相反，它們是人類精神認(rèn)識的對象。基于對數(shù)學(xué)對象的這種客觀理解，哥德爾認(rèn)為“康托的集合論在其原有的范圍和意義下的確有一個令人滿意的基礎(chǔ)”，這個基礎(chǔ)就是ZFC（策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理）。在這個基礎(chǔ)上，CH（連續(xù)統(tǒng)假設(shè)）是一個有意義的數(shù)學(xué)問題。它或者是ZFC 的定理，或者是否定ZFC 的定理，或者獨(dú)立于ZFC。由于此時哥德爾已經(jīng)完成了L（哥德爾可構(gòu)成集）的構(gòu)造，所以第二種已經(jīng)被證明為不可能的。他猜測第一種也是不可能的，所以，最可能的結(jié)果就是CH 是獨(dú)立于ZFC 的。此時，距離科恩真正證明這一點(diǎn)，還有17年的時間。

但是，哥德爾緊接著強(qiáng)調(diào)，這種獨(dú)立性證明不是連續(xù)統(tǒng)問題的解決。因?yàn)橐勒崭拍顚?shí)在論，集合概念是一個客觀存在，集合論語言是對這個客觀存在的描述。作為集合論語言的一個清楚明確的語句，CH（連續(xù)統(tǒng)假設(shè)）在這個客觀世界中必然要么是真的，要么是假的。獨(dú)立性證明最多說明我們尚不知道它的真假。

既然問題不是純數(shù)學(xué)的困難，而是有關(guān)集合這個概念的認(rèn)識問題，那么解決的方法也必然從加深我們對集合這個抽象概念本身的認(rèn)知入手。而這必然要求為ZFC增加新的公理，使其成為更強(qiáng)大，或者說更接近客觀集合宇宙的理論。不管是形式主義還是柏拉圖主義，都對數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。對于前者來說，工作于策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理之內(nèi)去發(fā)現(xiàn)新的定理，或者證明一個命題的獨(dú)立性是最有吸引力的工作。在這樣的認(rèn)識下，20世紀(jì)60年代以后對力迫的研究豐富多彩，新的獨(dú)立性命題也層出不窮。對于后者來說，像大基數(shù)公理這樣超出ZFC 的命題更具魅力，它們是尋找新公理最可靠的基礎(chǔ)。同時，如何讓已知的集合宇宙容納越來越強(qiáng)的大基數(shù)則促進(jìn)了內(nèi)模型的發(fā)展。這兩個方向也在哥德爾和科恩之后獲得了巨大的成就。

特別是自20世紀(jì)80年代以來，這些成就將內(nèi)模型、大基數(shù)和實(shí)數(shù)子集的可決定性緊密聯(lián)系在一起。在此基礎(chǔ)上，武丁教授提出了解決連續(xù)統(tǒng)問題的一系列設(shè)想。經(jīng)過近20 年的發(fā)展，特別是在2010 年之后，整個圖景逐漸清晰起來。粗略地說，連續(xù)統(tǒng)問題的解決取決于我們是否能夠構(gòu)造一個包含超緊基數(shù)的類似于L的內(nèi)模型。如果這種構(gòu)造能夠成功，那就在某種意義上出現(xiàn)了一個終極的模型，在其中連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是真的。目前已知的所有獨(dú)立性問題都會找到答案，而且也不能通過集合力迫構(gòu)造出新的獨(dú)立性命題。如果成功，這在任何意義上都應(yīng)該被看作是哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)。

當(dāng)然，另一種可能也始終存在，如果最終證明這種構(gòu)造是不可能的，或者說超緊基數(shù)是不一致的，那事情就會變得更為復(fù)雜。不過，如果我們接受波普爾科學(xué)證偽的理論，這種同時存在的相互反對的可能性正是科學(xué)研究區(qū)別于非科學(xué)的根本特征。由此可以看出，哥德爾綱領(lǐng)不僅僅是一個哲學(xué)口號，哥德爾的柏拉圖主義也不是一個與科學(xué)無關(guān)的空洞的哲學(xué)立場的宣示，它深刻影響著數(shù)學(xué)實(shí)踐，并且產(chǎn)生出具體的數(shù)學(xué)結(jié)果，從而向我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)和哲學(xué)之間那種自古希臘以來就有的緊密聯(lián)系，而這正是我們理解的數(shù)學(xué)哲學(xué)的魅力所在。