孫 兵 阮懷林 吳晨曦 鐘 華 吳世龍

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院 合肥 230037)

1 引言

波達(dá)方向(Direction Of Arrival, DOA)估計(jì)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)信號(hào)處理、目標(biāo)檢測、導(dǎo)航等諸多領(lǐng)域，是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的核心研究內(nèi)容之一?，F(xiàn)代電磁環(huán)境信源密集且復(fù)雜多變，往往需要利用有限的陣元實(shí)現(xiàn)多信源測向。經(jīng)典的超分辨算法多是針對均勻線性陣列設(shè)計(jì)，自由度受陣元個(gè)數(shù)限制，由N個(gè)陣元組成的均勻陣列的可達(dá)到的自由度限制為N ?1，難以實(shí)現(xiàn)欠定條件下的DOA估計(jì)。為解決這一問題，文獻(xiàn)[1]提出互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)模型，相較于傳統(tǒng)均勻陣列，N陣元的互質(zhì)陣列，其自由度可以達(dá)到O(N2)?；ベ|(zhì)陣列之所以具有這一優(yōu)勢是因?yàn)槠洳盥?lián)合陣中擁有大小為O(N2)的虛擬均勻線陣部分。故該理論框架一經(jīng)提出便受到了廣泛的關(guān)注[2-5]。目前，基于互質(zhì)陣列的欠定DOA估計(jì)經(jīng)典算法主要包括空間平滑算法[6]、稀疏算法[7]和數(shù)組插值算法[8]。這些算法均假設(shè)噪聲為高斯白噪聲，當(dāng)噪聲模型不滿足高斯白噪聲時(shí)，基于互質(zhì)陣列的DOA估計(jì)算法性能會(huì)嚴(yán)重下降。在實(shí)際應(yīng)用中，由于陣元間相互耦合、非理想的接收通道以及陣列未校準(zhǔn)等因素，相關(guān)色噪聲常常出現(xiàn)，一般情況下，相關(guān)色噪聲結(jié)構(gòu)未知，但某些情況下，如陣元稀疏布置，色噪聲可以進(jìn)一步簡化為非均勻噪聲[9-11]。

對于非均勻噪聲條件下的DOA估計(jì)問題，文獻(xiàn)[12]對非均勻噪聲進(jìn)行預(yù)白化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)魯棒的DOA估計(jì)，但該方法要求陣元數(shù)量至少是信源數(shù)量的3倍。文獻(xiàn)[13]推導(dǎo)了基于最大似然的DOA估計(jì)方法，使用迭代方式估計(jì)非均勻噪聲參數(shù)，具有很高的計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[14]提出了基于子空間的DOA估計(jì)方法，但同樣需要迭代過程。文獻(xiàn)[15]提出了一種非迭代方法，從而降低了計(jì)算復(fù)雜度并避免了收斂問題。但是，文獻(xiàn)[13-15]提出的方法均要求陣元數(shù)大于信源數(shù)，無法適用于欠定DOA估計(jì)。為此，文獻(xiàn)[16]提出一種基于壓縮感知的DOA估計(jì)算法，該方法適用于互質(zhì)陣列，并在文獻(xiàn)[17]進(jìn)一步擴(kuò)展到寬帶信號(hào)，然而，該方法直接從數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中刪除了對角線元素，導(dǎo)致性能下降。文獻(xiàn)[18]提出了一種非均勻噪聲條件下的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)方法，但該方法僅使用差聯(lián)合陣中連續(xù)的虛擬陣元，舍棄了非連續(xù)部分，因此無法獲得最佳性能。文獻(xiàn)[19]針對非均勻噪聲背景下欠定DOA估計(jì)，提出了基于全變分范數(shù)最小化的估計(jì)方法，但該方法同樣無法利用非連續(xù)虛擬陣元。文獻(xiàn)[20]充分利用了所有虛擬陣元，然而，該方法為構(gòu)造無噪聲協(xié)方差矩陣，直接移除采樣協(xié)方差矩陣對角線元素，導(dǎo)致對角線元素中的有用信號(hào)成分也被移除，造成了信息損失。

針對上述問題，為實(shí)現(xiàn)互質(zhì)陣列在非均勻噪聲條件下的魯棒DOA估計(jì)，本文提出一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)和矩陣填充的DOA估計(jì)方法。首先將接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣分解，得到包含非均勻噪聲項(xiàng)的對角陣。然后選取對角線元素中的最小值替換其余對角線元素得到重構(gòu)后的協(xié)方差矩陣，實(shí)現(xiàn)了噪聲協(xié)方差矩陣預(yù)白化，并等效提高了信噪比。最后，為實(shí)現(xiàn)欠定DOA估計(jì)，對重構(gòu)后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行擴(kuò)展和矩陣填充，結(jié)合子空間方法進(jìn)行DOA估計(jì)。相對于現(xiàn)有方法，該方法充分利用了所有虛擬陣元，有效抑制非均勻噪聲的同時(shí)不丟失有用信息，提高了估計(jì)性能。

2 互質(zhì)陣列信號(hào)模型

互質(zhì)陣列模型如圖1所示，該陣列由兩個(gè)線性均勻陣列組成，子陣1中包含N個(gè)陣元，間距為Md。子陣2中包含2M個(gè)陣元，間距為Nd，兩個(gè)子陣共用第1個(gè)陣元。其中，M與N是兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù)，d=λ/2，λ為入射信號(hào)波長。各陣元位置集合可表示為P={nMd,0≤n ≤N ?1}∪{mNd,0≤m ≤2M ?1}。

圖1 互質(zhì)陣列示意圖

假設(shè)有L個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)分別入射至互質(zhì)陣列，到達(dá)角為：θ=[θ1,θ2,...,θL]，則陣列輸出數(shù)據(jù)可表示為

3 非均勻噪聲條件下的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)方法

3.1 差聯(lián)合陣列的數(shù)據(jù)預(yù)處理

為了直觀分析互質(zhì)陣列，給出差聯(lián)合陣列概念，定義集合S 為

其中， P 為互質(zhì)陣列各陣元位置集合，pi和pj分別表示第i和第j個(gè)陣元位置。S 為各陣元位置差構(gòu)成的集合， S中存在相同元素值，將S 中所有不同元素值px構(gòu)成的集合定義為Sx，px在S 中重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)定義為ω(px)。由互質(zhì)陣列性質(zhì)，集合Sx中各元素值即差聯(lián)合陣列的虛擬陣元位置，其中非負(fù)元素?cái)?shù)為陣列自由度，直接決定了互質(zhì)陣列的最大可估計(jì)信號(hào)數(shù)。

由式(2)可得互質(zhì)陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣

3.2 基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)和矩陣填充的DOA估計(jì)方法

為了減少非均勻噪聲影響，先對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，將R分解為如下兩個(gè)矩陣之和

其中，R1和R2具體表示為

步驟 4 通過式(14)，進(jìn)一步得到重構(gòu)后的協(xié)方差矩陣R?。

步驟 5 通過式(1 6)將R?擴(kuò)展成維數(shù)為(2MN ?N+1)×(2MN ?N+1)的Toeplitz 矩陣RE。

步驟 6 將RE的矩陣填充問題轉(zhuǎn)化為式(17)秩函數(shù)最小化模型，再利用式(19)核范數(shù)最小化對式(17)進(jìn)行凸松弛，最后基于奇異值閾值算法實(shí)現(xiàn)矩陣填充，得到目標(biāo)矩陣RV。結(jié)合MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 可行性分析

將所提算法的性能與3種經(jīng)典互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法進(jìn)行比較，包括SS-MUSIC算法[6]，COLasso算法[7]和Interpolation算法[8]。設(shè)置MUSIC算法的角度搜索間隔為0.1°, CO-Lasso算法的完備字典間隔設(shè)置為0.1°。設(shè)有1 6 個(gè)均勻分布于-42°～48°方向的遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)，信噪比SNR=0 dB，快拍數(shù)L=300。非均勻噪聲協(xié)方差矩陣Q=diag{31,20,5,13,16,37,1,27,9,13}。4 種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

由圖2可以看出，3種經(jīng)典互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法效果均不理想，其中SS-MUSIC算法只能對少數(shù)信源實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，CO-Lasso算法和Interpolation算法對于部分信源估計(jì)誤差較大，而本文算法可以對全部信源進(jìn)行較準(zhǔn)確的DOA估計(jì)。這是因?yàn)?種經(jīng)典算法的基本假設(shè)是均勻白噪聲背景下，而在非均勻噪聲情況下，估計(jì)性能下降，本文通過對接收數(shù)據(jù)協(xié)方差進(jìn)行矩陣重構(gòu)和填充，有效地抑制了非均勻噪聲。

圖2 幅相誤差條件下的歸一化空間譜

4.2 估計(jì)精度分析

將本文所提算法的性能與3種非均勻噪聲條件下互質(zhì)陣列的DOA估計(jì)算法進(jìn)行比較，包括CCVS[18]算法，TVNM[19]算法和CMRCS[20]算法。設(shè)有12個(gè)均勻分布于-42°～35°方向的遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)。圖3和圖4分別為均方根誤差隨信噪比和快拍數(shù)的變化關(guān)系。圖3中，設(shè)置快拍數(shù)為600，信噪比變化范圍為-15～15 dB，進(jìn)行300次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。圖4中，設(shè)置信噪比SNR為5 dB，快拍數(shù)變化范圍為100～700，進(jìn)行300次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，快拍數(shù)變化對DOA估計(jì)均方根誤差的影響。假設(shè)非均勻噪聲協(xié)方差矩陣Q各對角線元素為[1,10]，在每次實(shí)驗(yàn)中，從[1,30]范圍隨機(jī)選擇各對角線元素。

圖3 均方根誤差隨信噪比變化

圖4 均方根誤差隨快拍數(shù)變化

由圖3和圖4可知，在相同條件下，提高信噪比或增加快拍數(shù)，4種算法的角度估計(jì)精度均逐步提高，在設(shè)置較高信噪比和快拍數(shù)情況下，CCVS算法和TVNM算法估計(jì)精度明顯低于CMRCS算法和本文算法。這是因?yàn)镃CVS算法和TVNM算法僅利用了差聯(lián)合陣列中連續(xù)的虛擬陣元，舍棄了非連續(xù)部分，導(dǎo)致?lián)p失了部分有用信息；并且，這兩種算法本質(zhì)上是通過平均協(xié)方差矩陣對角線元素來實(shí)現(xiàn)噪聲協(xié)方差矩陣白化，對噪聲抑制效果有限。CMRCS算法和本文算法均充分利用了所有的虛擬陣元，其中，CMRCS算法通過移除采樣協(xié)方差矩陣對角線元素來構(gòu)造無噪聲協(xié)方差矩陣，移除噪聲協(xié)方差矩陣對角線元素的同時(shí)，也移除了信號(hào)協(xié)方差矩陣對角線元素，造成了信息損失。本文算法則通過選取對角線元素中的最小值替換其余元素，抑制非均勻噪聲的同時(shí)保留了有用信息，因而估計(jì)效果更好。

4.3 分辨概率分析

由圖5可知，本文算法角度分辨概率最高，在信噪比增加至0 dB時(shí)，本文算法和CMRCS算法角度分辨概率均趨于100%，而CCVS算法和TVNM算法分辨概率相對較低。由圖6可知，在角度間隔增加至1.4°時(shí)，本文算法和CMRCS算法分辨概率趨近100%，且本文算法分辨概率最高，相比于CCVS算法和TVNM算法有明顯的分辨優(yōu)勢。因此，本文算法在不同信噪比和不同角度間隔情況下均具有明顯的高分辨優(yōu)勢。

圖5 分辨概率隨信噪比變化

圖6 分辨概率隨角度間隔變化

5 結(jié)束語

為了解決互質(zhì)陣列欠定DOA估計(jì)方法在非均勻噪聲條件下性能下降的問題，本文提出一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)和矩陣填充的DOA估計(jì)方法。通過重構(gòu)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，有效抑制了非均勻噪聲，并將重構(gòu)后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行擴(kuò)展和填充，實(shí)現(xiàn)欠定DOA估計(jì)。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明，在非均勻噪聲條件下，該方法保證了互質(zhì)陣列欠定DOA估計(jì)的魯棒性。相對于現(xiàn)有方法，該方法充分利用了所有虛擬陣元，有效抑制非均勻噪聲的同時(shí)不丟失有用信息，提高了估計(jì)性能。