鮑宏琛，沈 鋆，劉應(yīng)華

(清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084)

0 引言

壓力容器是過程工業(yè)中的關(guān)鍵設(shè)備，廣泛應(yīng)用于核能、石油、化工、電力、制藥等領(lǐng)域。隨著工業(yè)裝備向著大型化、高參數(shù)發(fā)展，很多結(jié)構(gòu)單元和組件服役的條件(比如面臨高溫、高壓、腐蝕等環(huán)境)越來越苛刻，并且載荷時常是循環(huán)反復(fù)作用。為確保結(jié)構(gòu)免于交替塑性或增量塑性垮塌，需要確定結(jié)構(gòu)在循環(huán)載荷作用下的安定域，從而為工程設(shè)計和安全評定提供準(zhǔn)確可靠的依據(jù)。

經(jīng)典的Bree圖[1]常用來展示理想彈塑性結(jié)構(gòu)在循環(huán)熱機(jī)械載荷下不同的力學(xué)響應(yīng)行為，同時也是ASME規(guī)范中承壓設(shè)備安定性設(shè)計準(zhǔn)則的理論基礎(chǔ)。Bree問題考慮了一個軸對稱圓柱殼模型在恒定的一次膜應(yīng)力和循環(huán)的熱彎曲應(yīng)力共同作用下的安定和棘輪行為。它的基本假設(shè)是應(yīng)力作用截面不允許轉(zhuǎn)動，且二次應(yīng)力中只考慮了徑向熱應(yīng)力。KALNINS[2]通過有限元彈塑性分析研究徑向或軸向熱梯度及內(nèi)壓相互作用的殼體棘輪行為時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)熱應(yīng)力中熱薄膜應(yīng)力占主導(dǎo)時，Bree棘輪邊界以及3S準(zhǔn)則存在不保守的情形。2008年，REINHARDT[3]在安定分析中考慮了恒定機(jī)械膜和循環(huán)熱彎曲、熱薄膜應(yīng)力間的相互作用，通過非循環(huán)方法推導(dǎo)建立了三參數(shù)棘輪邊界，基于他的理論推導(dǎo)及簡化建議，ASME Ⅷ-2—2013[4]對熱應(yīng)力棘輪校核準(zhǔn)則做了少量修改，增加了對熱薄膜應(yīng)力范圍的限制;同時簡化彈塑性分析中的“熱彎曲應(yīng)力”也被修改為“熱應(yīng)力”。然而REINHARDT[3]的三參數(shù)棘輪邊界沒有考慮一次彎曲應(yīng)力與其他三種類型應(yīng)力間的相互作用。2018年,SHEN等[5]打破了截面平移變形這一基本假設(shè)，在棘輪分析中考慮了機(jī)械彎曲應(yīng)力的影響，應(yīng)用非循環(huán)方法,首次推導(dǎo)建立了四參數(shù)棘輪邊界理論。

從以上研究可以發(fā)現(xiàn)，目前安定和棘輪分析中考慮的應(yīng)力類型逐漸增多，安定和棘輪邊界控制方程也越來越復(fù)雜，必須進(jìn)行簡化，以適合工程應(yīng)用的需要。上述推導(dǎo)僅基于一類載荷形式，即機(jī)械載荷保持恒定、熱載荷不斷循環(huán)。對于一般載荷工況下，考慮兩種應(yīng)力作用的Bree類修正問題，目前已經(jīng)報道了很多理論和數(shù)值研究工作。如BRADFORD[6-7]理論推導(dǎo)了一次載荷和二次載荷同相循環(huán)及異相循環(huán)下的修正Bree圖;PENG等[8]數(shù)值研究了三類載荷相位下的Bree問題。然而對復(fù)雜載荷工況下,考慮三種或四種應(yīng)力作用的Bree類修正問題，目前相關(guān)研究還很少見。實際上以應(yīng)力分類法為基礎(chǔ)的壓力容器分析設(shè)計方法考慮了多種類型應(yīng)力，因此有必要對同時考慮廣義載荷工況和多種類型應(yīng)力作用的Bree類修正問題開展進(jìn)一步研究。

本文的目標(biāo)是基于四參數(shù)棘輪理論,開展復(fù)雜熱機(jī)械載荷工況下的壓力容器安定分析。由于復(fù)雜載荷形式下的理論推導(dǎo)非常困難，且對于實際運(yùn)行的工業(yè)設(shè)備，一般不能隨意改變載荷條件，試驗研究非常昂貴，而數(shù)值分析方法可以考慮任意載荷變化，快速構(gòu)建安定和棘輪邊界，因此是一種比較可取的研究方法。本文采用高效準(zhǔn)確的線性匹配方法，結(jié)合一種新穎靈活的雙平面模型開展嚴(yán)格安定分析，考慮機(jī)械膜、熱薄膜、熱彎曲三種類型應(yīng)力間的相互作用，基于四參數(shù)棘輪理論，給出三類工況下的安定域及對應(yīng)的參數(shù)方程。

1 基于線性匹配法的安定分析數(shù)值格式

線性匹配法(LMM)用于求解各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)在任意熱機(jī)械載荷組合下的非線性響應(yīng)，該方法采用一系列修正彈性模量的線彈性分析來模擬結(jié)構(gòu)的彈塑性力學(xué)行為，是一種快速而直接的方法。線性匹配法的魯棒性和適用性已經(jīng)通過有限元逐步非彈性分析得到了驗證。通過對一系列經(jīng)典問題和復(fù)雜工程實例的求解，該方法被證明能準(zhǔn)確快速地計算得到安定極限和棘輪極限[9-10]。以下簡要介紹嚴(yán)格安定分析的數(shù)值格式，該算法已在ABAQUS分析軟件中使用用戶子程序?qū)崿F(xiàn)。

1.1 循環(huán)塑性問題

對于一個給定的結(jié)構(gòu)體，其體積為V，表面積為S,假設(shè)其在體積V內(nèi)承受變化的熱載荷為λθθ(x,t) ，在表面St上承受一個變化的機(jī)械載荷λPP(x,t)，在剩余表面Su(Su=S-St)上滿足零位移邊界條件，且熱載荷和機(jī)械載荷的變化具有相同的周期T。對于一個周期內(nèi)的時間歷程0≤t≤Δt，結(jié)構(gòu)體的線彈性應(yīng)力解可以表示為：

(1)

假設(shè)結(jié)構(gòu)材料滿足 Drucker條件，在循環(huán)載荷作用下，一個典型時間周期內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變率逐漸達(dá)到穩(wěn)定循環(huán)狀態(tài)，即：

(2)

對于任意的循環(huán)載荷歷史，其應(yīng)力解σij(x,t)可表示為:

(3)

(4)

1.2 安定分析的全局最小化過程

本文選用的LMM安定分析格式基于Koiter上限安定定理，安定極限乘子的求解涉及到一個能量的最小化過程，其增量格式可以表示為：

(5)

(6)

(7)

(8)

一系列線性增量關(guān)系可以定義為：

(9)

式中，上角標(biāo)(′)為偏量。

將一個周期內(nèi)的線性增量表達(dá)式相加，可得：

(10)

1.3 安定極限乘子

一系列單調(diào)遞減的上限安定極限乘子可由式(11)計算得到，最終逼近到真實的安定極限乘子：

(11)

2 雙平面模型

為了得到結(jié)構(gòu)在機(jī)械膜應(yīng)力、熱彎曲應(yīng)力、熱薄膜應(yīng)力三種類型應(yīng)力相互作用下的各類三維彈性安定邊界，本文采用文獻(xiàn)[5]提出的雙平面模型，機(jī)械彎曲應(yīng)力在本文研究中假設(shè)為零，其模型如圖1所示。

圖1 雙平面模型示意

雙平面模型由兩個相同的平面應(yīng)力模型組成，兩個面通過內(nèi)部靠近的兩個邊剛性耦合在一起，兩個外部邊界的Y方向位移進(jìn)行約束。由于四參數(shù)棘輪理論打破了截面平移變形這一假設(shè)，因此截面的彎曲應(yīng)變不被限制。圖1的模型中，均勻的一次膜應(yīng)力可以通過直接將機(jī)械載荷施加在耦合邊界上實現(xiàn)，由于耦合條件，機(jī)械載荷由兩個平面共同承受。均勻分布的熱薄膜應(yīng)力和線性分布的熱彎曲應(yīng)力可以通過設(shè)計雙平面施加的溫度場實現(xiàn)。如圖1所示，兩個平面在Y方向分別施加線性分布的溫度梯度，溫度場的梯度分布由不同的色塊表示。兩個平面具有相同的溫度梯度變化范圍、但具有不同的平均溫度。其中熱彎曲應(yīng)力由溫度梯度變化范圍控制，模型中的熱梯度引起的最大的純彈性熱彎曲應(yīng)力σsb=EαΔT/2(其中,E為彈性模量，α為熱膨脹系數(shù)，ΔT為模型施加的溫度梯度變化范圍)。而熱薄膜應(yīng)力則由兩個平面的平均溫度引起。假設(shè)σsm=Rσsb,其中R≥0定義為二次膜彎比，是本文新引入的一個參數(shù)。

應(yīng)用ABAQUS有限元軟件進(jìn)行分析計算，模型有限元網(wǎng)格及幾何尺寸如圖2所示。理想彈塑性材料屬性見表1，假設(shè)材料參數(shù)在溫度循環(huán)中是恒定的。

圖2 模型有限元網(wǎng)格和幾何尺寸

表1 材料屬性

材料模型假設(shè)為均勻、各向同性，采用小位移假定、von Mises屈服函數(shù)和相關(guān)的流動法則。模型共包含180個平面應(yīng)力單元，單元類型為CPS8(ABAQUS),每個單元有3×3個高斯積分點(diǎn)。根據(jù)單軸應(yīng)力狀態(tài)下三種類型應(yīng)力的線彈性疊加分析可知，模型中的最大應(yīng)力會出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)邊緣處，由于交替塑性邊界的準(zhǔn)確確定對網(wǎng)格尺寸比較敏感，因此在模型邊緣處采用了更加稠密的網(wǎng)格。文中的計算結(jié)果表明，采用該網(wǎng)格可以得到足夠精確的安定極限乘子。

3 安定分析算例

由于四參數(shù)棘輪理論中包含了4個變量，對應(yīng)于4種類型的應(yīng)力，即機(jī)械膜、機(jī)械彎、熱薄膜、熱彎曲，因此棘輪邊界控制方程非常復(fù)雜，在工程中難以應(yīng)用。事實上REINHARDT[3]推導(dǎo)的三參數(shù)棘輪邊界由5個復(fù)雜方程控制，在引入ASME規(guī)范中的熱應(yīng)力棘輪評定條例時進(jìn)行了簡化。因此，四參數(shù)棘輪理論必須進(jìn)行簡化才能用于工程評估。此外，由于四參數(shù)棘輪邊界只能在三維坐標(biāo)系中表示，因此需要任意給定一個變量。為嘗試對四參數(shù)棘輪邊界進(jìn)行初步簡化，本文給定機(jī)械彎變量，且假設(shè)機(jī)械彎曲應(yīng)力為0。本文研究的3種加載路徑如圖3所示。

圖3 安定分析的三類加載工況

3.1 第一類載荷工況

對于第一類載荷工況，熱載荷是循環(huán)的，機(jī)械載荷保持恒定，如圖3(a)所示。注意恒定的機(jī)械載荷會引起恒定的機(jī)械膜應(yīng)力，而循環(huán)的熱彎曲應(yīng)力和循環(huán)的熱薄膜應(yīng)力均由循環(huán)的熱載荷引起。為定量分析熱應(yīng)力中熱薄膜應(yīng)力和熱彎曲應(yīng)力各自所占比例及區(qū)分兩者對安定邊界的影響程度，本文引入了“二次膜彎比”的概念，表示為R，計算式為：

(12)

式中，Δσsm為熱薄膜應(yīng)力范圍；Δσsb為熱彎曲應(yīng)力范圍。

二次當(dāng)量熱應(yīng)力范圍可表示為：Δσsmb=Δσsm+Δσsb。

本文選取了R的一系列值進(jìn)行計算分析，即R=0，1/10，1/4，3/7，2/3，4/5，1，3/2，7/3，4，9，+∞(即1/R=0，表示純熱膜) ,研究不同熱應(yīng)力分布下安定域的變化。計算結(jié)果如圖4所示，圖中σpm為機(jī)械薄膜應(yīng)力。定義X=σpm/σy，Y=Δσsb/σy，Z=Δσsm/σy，Y′=Δσsmb/σy。

從圖4中可以看到，隨著R值的不斷增大，安定區(qū)逐漸減小。除純熱膜情況外，彈性安定邊界均由兩段直線組成，其中一段為交替塑性邊界；另一段為棘輪邊界。當(dāng)R=0時，該問題退化為經(jīng)典Bree問題，安定邊界控制方程如下：

(13)

圖4 LMM計算得到的第一類工況下的安定極限

對于不同的R值，交替塑性邊界始終保持不變，且安定域在XY′坐標(biāo)系中始終過2個固定點(diǎn)(0,2)和(1,0)。因此，一旦確定交替塑性邊界與棘輪邊界的交點(diǎn)，即可以快速構(gòu)建彈性安定域。根據(jù)四參數(shù)棘輪邊界理論[5]，當(dāng)機(jī)械彎曲應(yīng)力為零時，恒定機(jī)械膜應(yīng)力與循環(huán)熱應(yīng)力作用下對應(yīng)的棘輪邊界段可以表示如下。

(1)對于Δσsm+Δσsb≤2σy,且Δσsm≥Δσsb。

(14)

其中:

(15)

(16)

(2)對于Δσsm+Δσsb≤2σy,且Δσsm<Δσsb。

(17)

(18)

假設(shè)Y′=2 ,則Δσsm+Δσsb=2σy，由式(12)和式(14)～(16)可以解得安定邊界拐點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

(19)

通過數(shù)學(xué)計算和數(shù)值擬合，可由式(17)(18)得到安定邊界拐點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

(20)

因此，完整的彈性安定邊界可以用參數(shù)方程表示如下。

(21)

(22)

對于R>1:

(23)

圖5選取幾個典型的R值對比了數(shù)值計算結(jié)果、參數(shù)方程解及四參數(shù)棘輪理論解，可以看出三者吻合程度較好，證明了該方法的正確性，同時該參數(shù)方程解是安全保守的。

圖5 第一類工況下的數(shù)值解、參數(shù)方程解及理論解之間的對比

圖6示出第一類工況下的完整的彈性安定域，借助安定邊界和參數(shù)方程，可以為工程設(shè)計和安全評定提供指導(dǎo)。

圖6 第一類工況下的彈性安定域

3.2 第二類載荷工況

對于第二類載荷工況，二次載荷與一次載荷呈比例變化，即同相循環(huán)，如圖3(b)所示。當(dāng)R=0時，本節(jié)考慮的問題退化為Bradford問題[6]。Bradford安定邊界[6]控制方程為：

X′+Y=2 (0≤X′≤1)

(24)

其中,X′=Δσpm/σy,Δσpm為一次薄膜應(yīng)力范圍。

本節(jié)考慮熱彎曲應(yīng)力、熱薄膜應(yīng)力和機(jī)械膜應(yīng)力三者均同相循環(huán)下的彈性安定行為，即R≥0。數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)R=0 時，計算得到的安定極限與Bradford理論解[6]吻合得比較好。然而與第一類問題不同的是，當(dāng)任意改變R值的大小，安定邊界始終保持不變。因此,可以推廣得到第二類工況下的彈性安定邊界控制方程如下。

對于R≥0 ：

X′+Y′=2 (0≤X′≤1)

(25)

注意式(25)中縱坐標(biāo)變量Y′的變化。計算結(jié)果與Bradford安定邊界的對比如圖7所示。完整的彈性安定域如圖8所示。

圖7 第二類工況下的安定極限與Bradford安定邊界的對比

圖8 第二類工況下的三維彈性安定域

3.3 第三類載荷工況

對于第三類載荷工況，熱載荷和機(jī)械載荷可以各自獨(dú)立變化，如圖3(c)所示。LMM計算得到的數(shù)值結(jié)果如圖9所示。

圖9 LMM計算得到的第三類工況下的安定極限

從圖9可以看出，隨R值不斷變大，安定域逐漸減小。除去純熱膜的情形，安定邊界均由兩段組成，其中交替塑性邊界與第二類工況下的相同，棘輪邊界與第一類工況相應(yīng)的邊界段重合。實際上匯總對比三類安定問題可以發(fā)現(xiàn)，對于任意選取的R值，第三類載荷工況下的安定邊界始終是第一類和第二類載荷工況下的安定邊界的下包絡(luò)線。通過前兩類安定問題的參數(shù)方程，可以推導(dǎo)得到第三類工況下彈性安定邊界控制方程如下。

(26)

(27)

對于R>1:

(28)

其中[X′]由以下公式確定：

(29)

(30)

圖10選取了典型的R值對比了三類工況下的計算結(jié)果及第三類工況的參數(shù)方程解?？梢钥闯?，計算結(jié)果與參數(shù)方程解吻合得比較好。對于第二類載荷工況，安定邊界與ASME等規(guī)范中用于彈性安定分析的3S準(zhǔn)則重合，3S準(zhǔn)則用于彈性安定評定是保守的。對于第一類和第三類載荷工況，3S準(zhǔn)則僅與部分安定邊界(交替塑性邊界)重合，此時3S準(zhǔn)則是安定評定的必要不充分條件，需要按實際安定邊界公式進(jìn)行補(bǔ)充評定。因此3S準(zhǔn)則用于彈性安定分析需要謹(jǐn)慎使用，且需注意載荷工況類型。圖11示出第三類工況下完整的三維彈性安定域。

圖10 三類安定問題安定域?qū)Ρ?R=0.8)

圖11 第三類工況下的三維彈性安定域

4 結(jié)論

本文將線性匹配法與雙平面模型相結(jié)合，開展了三類載荷工況下壓力容器的嚴(yán)格安定分析研究，基于四參數(shù)棘輪理論，考慮了三種常見類型應(yīng)力的相互作用,即一次膜應(yīng)力、二次熱彎曲和熱薄膜應(yīng)力。通過引入一個新參數(shù)“二次膜彎比”R，揭示了三類安定問題之間的聯(lián)系，對四參數(shù)棘輪理論進(jìn)行了簡化和推廣，首次給出了三類安定問題完整的彈性安定域及參數(shù)方程，可直接用于工程設(shè)計和安全評定。

通過研究發(fā)現(xiàn)，對于第一類和第三類加載工況，隨熱應(yīng)力中熱薄膜比例增大，安定區(qū)均逐漸減小。這一點(diǎn)與考慮截面平移假設(shè)時的情形(如Reinhardt的工作[3])不同，這說明對于本文研究的算例，熱薄膜應(yīng)力要比熱彎曲應(yīng)力危險。因此，在工程應(yīng)用中要注意區(qū)分二次應(yīng)力的影響，同時注意安全校核準(zhǔn)則的適用范圍。對于第二類加載工況，安定邊界在不同熱應(yīng)力分布下保持不變。對任意的二次膜彎比，第三類工況下的安定邊界是第一類和第二類載荷工況下相應(yīng)安定邊界的下包絡(luò)線。

除機(jī)械載荷和熱載荷同相循環(huán)外，ASME等規(guī)范中給出的3S準(zhǔn)則用于彈性安定分析和評定存在不保守性，需要謹(jǐn)慎使用。基于安定邊界參數(shù)方程，可確定3S準(zhǔn)則的適用范圍和補(bǔ)充評定條件。本文提出的分析方法和簡化思想可用于復(fù)雜熱機(jī)械載荷工況下考慮多類型應(yīng)力作用的壓力容器安定和棘輪問題研究。