文 董周濤 呂瓊?cè)A

在學(xué)習(xí)《圖形的高與底》之前，學(xué)生對(duì)三角形、平行四邊形和梯形的特征有了一定的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線有了一定的操作經(jīng)驗(yàn)。基于此，本節(jié)課在設(shè)計(jì)時(shí)突出新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，重視對(duì)不同圖形高的概念辨析，注重學(xué)生審辯思維能力的培養(yǎng)；同時(shí)期望學(xué)生在想象畫高的過程中聚焦高的本質(zhì)特征，為后續(xù)研究圖形的面積積累經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)過程】

環(huán)節(jié)一：結(jié)合實(shí)例，喚醒“高”的生活經(jīng)驗(yàn)。

1.談話引入：生活中，哪里聽說過“高”？

2.呈現(xiàn)實(shí)例：教師引導(dǎo)學(xué)生用“從……到……的距離”描述人的身高、樓房的高、大樹的高等。

3.引出新課：（出示三角形、平行四邊形、梯形）這三個(gè)之前學(xué)過的圖形，它們有高嗎？今天我們一起來研究圖形的高與底。

【評(píng)析：在引入部分借助生活經(jīng)驗(yàn)喚起學(xué)生對(duì)“高”的形象思維，以此過渡到圖形的“高”，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供生活經(jīng)驗(yàn)和直觀感知?！?/p>

環(huán)節(jié)二：初次探究，理解三角形高的概念。

1.猜想演示。

教師出示一個(gè)銳角三角形，學(xué)生基于經(jīng)驗(yàn)猜想高的位置并演示用三角尺畫高。師生交流三角尺的擺法和直角符號(hào)的使用，明確線段AO要與BC邊垂直。（圖1）

圖1

2.概念辨析。

（1）閱讀理解：教師呈現(xiàn)三角形的高與底的概念，引導(dǎo)學(xué)生閱讀后說一說什么是三角形的高與底，同時(shí)結(jié)合概念判斷線段AO是否為三角形ABC的高。

小結(jié)：從頂點(diǎn)A到垂足O的線段就是三角形ABC的高。

（2）深入辨析：將三角形ABC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，線段AO還是三角形的高嗎？繼續(xù)旋轉(zhuǎn)呢？（圖2）

生：我覺得不是高，因?yàn)楦叩奈恢米兞?，而且也沒有垂直下來。

生：我不同意。雖然三角形旋轉(zhuǎn)了，但是線段AO還是與BC邊垂直的，所以高沒有變。

生：我補(bǔ)充一下，剛才說高是頂點(diǎn)和垂足間的線段，現(xiàn)在頂點(diǎn)還是A，垂足還是O，所以線段AO還是BC邊上的高。

3.自主畫高。

（1）明確要求：想一想除了以BC邊為底，三角形ABC還可以以哪條邊為底作高？請(qǐng)你再選擇一條邊為底，畫出底邊上的高。

（2）呈現(xiàn)畫法：畫的是三角形ABC的高嗎？為什么高的方向不一樣？（圖3）

圖3

引導(dǎo)：每一個(gè)頂點(diǎn)都能找到一條相對(duì)應(yīng)的底邊，也就能畫出一條高，高和底有對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（3）檢查糾錯(cuò)：這兩條高都畫對(duì)了嗎？用三角尺檢查一下。

4.啟發(fā)想象。

師：剛才我們一起畫了一條高，還畫出了不同底邊上的高。這個(gè)銳角三角形一共有幾條不同的高？如果把三幅圖重疊在一起，猜猜高會(huì)怎么樣？

生：3條高會(huì)相交于一點(diǎn)。

師：這個(gè)交點(diǎn)會(huì)在哪里呢？

（學(xué)生用手指交點(diǎn)的位置，教師動(dòng)畫演示高相交于一點(diǎn)的過程）

【評(píng)析：展開“猜測(cè)—閱讀—辨析—作高”四個(gè)步驟理解高的概念。猜測(cè)暴露學(xué)生原發(fā)的高概念；對(duì)照定義突出“高”概念的關(guān)鍵要素；跟進(jìn)以變換圖形的位置的辨析，概括出高的概念本質(zhì)，從日常語言的“高”演化為數(shù)學(xué)概念的“高”；再次畫高檢查概念的生成情況，關(guān)注學(xué)生差異?！?/p>

環(huán)節(jié)三：再次探究，溝通三角形高的特點(diǎn)。

1.提出問題。

銳角三角形有3條高，那么直角三角形和鈍角三角形呢？

2.動(dòng)手操作。

教師出示活動(dòng)建議（圖4），學(xué)生自主探究直角三角形和鈍角三角形中高的特點(diǎn)。如果感到畫高有困難，也可以拿一張錦囊卡。（圖5）

圖4

圖5

3.明晰畫法。

教師依次呈現(xiàn)學(xué)生作品（圖6），展開交流。

圖6

師：這位同學(xué)的作業(yè)中，為什么直角三角形畫了1條高，卻寫著有3條高？

生：因?yàn)榱硗?條高與2條直角邊重合了。

（學(xué)生口述畫法，教師演示將另外2條高畫出來）

師：鈍角三角形能畫出幾條高？（有學(xué)生畫出1條，也有學(xué)生畫出3條）除了這條高，還有2條在哪里呢？

教師請(qǐng)學(xué)生演示畫出BC邊上的高，并提問：為什么要先延長BC邊？

生：如果不延長BC邊，就不能確定垂足在哪里，就無法確定BC邊上的高。

師：在畫鈍角三角形的高時(shí)要注意根據(jù)頂點(diǎn)的位置判斷是否需要延長底邊。

4.交流發(fā)現(xiàn)。

師：剛才我們一直在研究三角形的高，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)三角形都有3條高。

生：銳角三角形的高都在三角形的里面，直角三角形有2條高就是它的直角邊，鈍角三角形有2條高在三角形的外面。

生：我發(fā)現(xiàn)銳角三角形和直角三角形的高都有一個(gè)交點(diǎn)，而鈍角三角形的3條高沒有交點(diǎn)。

生：我覺得鈍角三角形的高可能也有交點(diǎn)。

師：鈍角三角形的三條高從圖上看好像沒有交點(diǎn)，但是如果我們把高延長呢？（教師動(dòng)畫演示，圖7）

圖7

師：在三角形ABC中，保留BC邊，去掉另2條邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？（圖8）

圖8

生：三角形的高就是點(diǎn)到直線的距離。

師：沒錯(cuò)！想象以BC為底，AO為高還可以畫出哪些圖形？

生：長方形、平行四邊形、梯形……

【評(píng)析：特殊三角形的高是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因此教師先從銳角三角形入手構(gòu)建高的概念，再過渡到直角三角形和鈍角三角形的高。通過解決“銳角三角形有3條高，直角三角形和鈍角三角形呢？”這個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生通過畫一畫、判一判等活動(dòng)，以數(shù)學(xué)概念為依據(jù)，進(jìn)行判斷和操作，進(jìn)一步鞏固了高的概念，發(fā)現(xiàn)了三角形3條高相交于一點(diǎn)的現(xiàn)象，又解決了在作高過程中需要延長底邊等難點(diǎn)?！?/p>

環(huán)節(jié)四：類比遷移，探究平行四邊形和梯形的高。

1.嘗試畫高。

學(xué)生嘗試畫平行四邊形和梯形的高，教師巡視指導(dǎo)。畫好后組內(nèi)學(xué)生交流畫法及發(fā)現(xiàn)。

2.概念辨析。

（1）教師呈現(xiàn)兩類典型情況（圖9），分別請(qǐng)學(xué)生說明理由。

圖9

生1：我根據(jù)三角形的高想到了從平行四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)來畫高，畫了4條。

生2：我覺得從平行四邊形的AD邊上任選一點(diǎn)都可以向?qū)叜嫺撸驗(yàn)檫@些高都相等。

師：你們同意誰的觀點(diǎn)？（大部分學(xué)生同意生2）到底可不可以這樣畫呢？

學(xué)生閱讀平行四邊形高與底的概念，交流明確：從平行四邊形一條邊上的一點(diǎn)向?qū)呑饕粭l垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的線段叫作平行四邊形的高。師生依據(jù)概念演示畫高。

（2）想象：這樣的高有幾條？你聯(lián)想到了什么？

生：這條邊上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都可以向?qū)叜嫺?，所以有無數(shù)條高。

生：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的高就是兩條平行線之間的距離。

師：數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著緊密的聯(lián)系。剛才還有同學(xué)畫了這樣的高，你覺得可以嗎？像這樣的高又可以畫幾條呢？（圖10）

圖10

（3）師生交流梯形的高及其特點(diǎn)，借助錯(cuò)例理解概念。

3.溝通比較。

師：通過剛才的研究，你發(fā)現(xiàn)平行四邊形和梯形的高有什么相同點(diǎn)？又有什么區(qū)別？

生：它們都有無數(shù)條高。

生：平行四邊形有2組對(duì)邊，所以有2組不同的底和高，而梯形只有1組對(duì)應(yīng)的底和高。

生：梯形的2條腰不平行，是不能作為底來作高的。

生：我還發(fā)現(xiàn)平行四邊形和梯形的高就是平行線間的距離。

【評(píng)析：三角形、平行四邊形和梯形的高本質(zhì)上是相通的，因此本節(jié)課借助學(xué)習(xí)三角形的高的經(jīng)驗(yàn)為學(xué)習(xí)平行四邊形和梯形的高的學(xué)習(xí)做鋪墊，在操作、比較、辨析、辯論的活動(dòng)中自主探究平行四邊形和梯形的高，更進(jìn)一步地發(fā)現(xiàn)高與點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離之間的關(guān)系，構(gòu)建更加完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系?！?/p>

環(huán)節(jié)五：對(duì)比總結(jié)，聚焦圖形之間高的聯(lián)系。

師：今天我們研究了什么？三角形、平行四邊形、梯形的高有什么區(qū)別和聯(lián)系？

生：高的數(shù)量不同：三角形只有3條高，平行四邊形和梯形有無數(shù)條高。

生：三角形的高就是點(diǎn)到直線的距離；平行四邊形、梯形的高是平行線間的距離，所以有無數(shù)條。

生：如果先確定了一個(gè)點(diǎn)，其實(shí)平行四邊形和梯形的高與三角形的高一樣都是點(diǎn)到直線的距離。

師：你們不僅能通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)區(qū)別，還能透過表面抓住本質(zhì)的聯(lián)系。在后續(xù)學(xué)習(xí)中，我們還會(huì)繼續(xù)研究圖形中高的作用。（圖11）

圖11

【評(píng)析：教師著重從兩方面引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)：一是通過變式、辨析和辯論，圍繞概念關(guān)鍵要素展開學(xué)習(xí)活動(dòng)，在操作和審辯中突出“點(diǎn)”“對(duì)邊”“垂線”“垂足”等要素，突破難點(diǎn)，建構(gòu)概念。二是深入知識(shí)本質(zhì)進(jìn)行溝通和關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。從三角形的高過渡到平行四邊形和梯形的高，然后梳理出不同圖形高的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，最后將高抽象為點(diǎn)到直線的距離，高的本質(zhì)特征愈來愈明晰，高的概念越來越概括化、結(jié)構(gòu)化，空間觀念得到了培養(yǎng)和發(fā)展?！?/p>