馮閱, 羅立勝, 韓建剛

(海南大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，海南 海口 570228)

1 概述

斜拉橋是高次超靜定結(jié)構(gòu)，是由塔、主梁和拉索3種基本構(gòu)件組成的柔性結(jié)構(gòu)體系，通過(guò)三者的受力分配，最終確定合理的成橋狀態(tài)。斜拉索作為斜拉橋的一個(gè)重要組成部分，其施加的索力大小不僅改變自身的剛度，也影響其他構(gòu)件的受力性能。因此，合理確定成橋索力是斜拉橋設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要工作。目前已有很多的成橋索力計(jì)算方法如剛性支撐連續(xù)梁法、零位移法、影響矩陣法和彎曲能量最小法等。這些方法都是在確定的結(jié)構(gòu)體系和荷載作用下，尋找一組最優(yōu)的拉索索力，使得斜拉橋中某種反映受力性能的目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，這也將斜拉橋合理受力狀態(tài)確定的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拉索索力最優(yōu)化問(wèn)題。

彎曲能量最小法是以各拉索索力為設(shè)計(jì)變量、斜拉橋主要受力構(gòu)件的彎曲應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)、橋塔和主梁等的彎矩和位移為約束的一種索力優(yōu)化方法。該方法將索力優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，采用最優(yōu)化理論和方法進(jìn)行求解，在實(shí)際工程應(yīng)用中備受關(guān)注。然而，實(shí)際斜拉橋中拉索數(shù)量大，意味著設(shè)計(jì)變量多，且彎曲應(yīng)變能、應(yīng)力和位移等系統(tǒng)響應(yīng)一般是設(shè)計(jì)變量的隱式函數(shù)，非線(xiàn)性較強(qiáng)。在優(yōu)化求解時(shí)，采用傳統(tǒng)的基于導(dǎo)數(shù)信息的搜索算法，優(yōu)化結(jié)果容易陷入局部最優(yōu)解。相較而言，智能優(yōu)化算法不需要目標(biāo)函數(shù)和約束的導(dǎo)數(shù)信息，往往能夠跳出局部最優(yōu)解，趨近或得到全局最優(yōu)解，因而在全局收斂性和通用性方面具有較大的優(yōu)勢(shì)，這類(lèi)方法也逐步應(yīng)用于斜拉橋的成橋索力優(yōu)化中。該文通過(guò)采用序列規(guī)劃法，并引入遺傳算法、模擬退化算法和粒子群優(yōu)化算法3種智能優(yōu)化方法，結(jié)合數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Matlab和結(jié)構(gòu)分析軟件Ansys，建立斜拉橋索力優(yōu)化程序，通過(guò)算例分析計(jì)算驗(yàn)證優(yōu)化程序有效性的同時(shí)，對(duì)4種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

2 優(yōu)化問(wèn)題描述

2.1 設(shè)計(jì)變量

成橋拉索的初始索力是優(yōu)化計(jì)算所求的未知量，通過(guò)初始索力的調(diào)整，使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)。假設(shè)斜拉橋全橋共有拉索n根，則設(shè)計(jì)變量定義如下：

X=(x1,x2,…,xi,…,xn)T

(1)

式中：xi為第i根索的初始索力。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

考慮到剛度大的構(gòu)件可以多分擔(dān)些彎矩，通過(guò)賦予橋塔和主梁不同的權(quán)重，將橋塔和主梁的加權(quán)彎曲應(yīng)變能作為目標(biāo)函數(shù)，使得在最優(yōu)索力下全橋的彎曲應(yīng)變能最小。

(2)

式中:wt和wg分別為橋塔和主梁的權(quán)重；Nt和Ng分別為橋塔和主梁的有限單元個(gè)數(shù)；Lt和Lg分別為橋塔和主梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度；EtIt和EgIg分別為橋塔和主梁?jiǎn)卧目箯潉偠?；Mti和Mtj分別為橋塔單元的左右兩端彎矩，Mgi和Mgj分別為主梁?jiǎn)卧淖笥覂啥藦澗亍?/p>

2.3 狀態(tài)變量

為了得到合理的受力狀態(tài)，考慮4種狀態(tài)變量作為約束。拉索的初始索力限定在合理范圍；拉索在主梁位置的豎向位移限定在合理范圍；橋塔在縱橋向的水平位移限定在合理范圍；主梁和主塔的彎曲應(yīng)變能限定在合理范圍。

(3)

式中:xmin和xmax分別為拉索索力的最大和最小值；δi和δmax分別為拉索在主梁位置的豎向位移和最大限值；uj和umax分別為橋塔縱橋向水平位移和最大限值，Mt,max和Mg,max分別為主梁和橋塔單元兩端彎矩的最大限值。

3 優(yōu)化方法及程序

3.1 優(yōu)化方法

序列規(guī)劃法基于當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)及其導(dǎo)數(shù)信息構(gòu)造原問(wèn)題的局部近似模型并進(jìn)行序列求解，是大規(guī)模結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中常用的求解方法。遺傳算法基于生物進(jìn)化理論，是一種具有全局優(yōu)化性能、通用性強(qiáng)且應(yīng)用較廣的算法。算法首先通過(guò)隨機(jī)方法產(chǎn)生初始種群，即編碼和解碼，其次，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造適值函數(shù)，依據(jù)適值函數(shù)的大小不斷選擇和繁殖，即通過(guò)交叉和變異操作不斷更新種群，若干代后得到適值函數(shù)最大的個(gè)體即為最優(yōu)解。模擬退火算法通過(guò)模擬熱力學(xué)中的物理退火過(guò)程，從一個(gè)給定的初始高溫開(kāi)始，利用具有概率突跳特性的抽樣策略在解空間中隨機(jī)搜索，伴隨溫度的不斷下降重復(fù)抽樣過(guò)程，最終得到問(wèn)題的最優(yōu)解。粒子群算法通過(guò)模擬鳥(niǎo)類(lèi)覓食過(guò)程中的遷徙和群聚行為，利用個(gè)體在搜尋食物的過(guò)程中與群體相互協(xié)作進(jìn)行信息交換，使得群體朝目標(biāo)逼近，直至群體都落在目標(biāo)附近，得到問(wèn)題的最優(yōu)解。

智能優(yōu)化方法在實(shí)際工程應(yīng)用中，一般通過(guò)懲罰函數(shù)方法將約束引入目標(biāo)函數(shù)中，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束問(wèn)題。以位移約束為例，懲罰函數(shù)構(gòu)造如下：

(4)

約束的懲罰項(xiàng)Ci定義如下：

(5)

3.2 計(jì)算程序

計(jì)算程序都通過(guò)結(jié)合數(shù)學(xué)軟件Matlab和結(jié)構(gòu)軟件Ansys來(lái)構(gòu)建。Matlab作為主程序植入算法，在需要目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)等系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)調(diào)用Ansys進(jìn)行有限元分析。算法流程如圖1所示。

4 算例分析

圖2為斜拉橋計(jì)算模型，該橋主跨70 m、兩邊跨30 m，共有12對(duì)索，主塔總高24 m，橋面以上高度18 m，梁受到豎向均布荷載50 kN/m作用。采用塔墩固結(jié)、主梁漂浮的計(jì)算模型。各構(gòu)件的材料和幾何特性見(jiàn)表1。采用圖1中4種方法確定拉索初始索力。賦予橋塔和主梁相同的權(quán)重，設(shè)定橋梁總彎曲應(yīng)變能最小為目標(biāo)，拉索索力限定為1 000～3 000 kN，彎曲應(yīng)變能最大值限定為5 000 kN·m。拉索在主梁位置的豎向位移限值取L/550(L為邊跨或主跨跨徑)，橋塔縱橋向水平位移限值為H/550(H為橋塔高度)。收斂條件為前后兩次迭代的目標(biāo)函數(shù)值小于1×10-3或者調(diào)用有限元的次數(shù)達(dá)到1 000次。序列規(guī)劃法和模擬退火算法的計(jì)算結(jié)果依賴(lài)于初始點(diǎn)的選取，采用索力為1 000、3 000 kN 兩個(gè)初始點(diǎn)分別計(jì)算；遺傳算法和粒子群算法對(duì)種群大小依賴(lài)，采用種群大小為20、50分別計(jì)算。

表1 構(gòu)件材料幾何特性

圖1 算法流程圖

圖2 斜拉橋計(jì)算模型(單位：m)

以有限元分析次數(shù)為橫坐標(biāo)，橋塔和主梁的加權(quán)彎曲應(yīng)變能為縱坐標(biāo)，序列規(guī)劃法(SQP)和模擬退火算法(SA)不同初始點(diǎn)為1 000、3 000 kN，遺傳算法(GA)和粒子群算法(PSO)不同種群大小為20、50的迭代曲線(xiàn)示于圖3。

由圖3可知：計(jì)算效率序列規(guī)劃法最高，分別調(diào)用112和294次有限元分析后收斂，而智能優(yōu)化算法進(jìn)行了1 000次有限元分析。計(jì)算結(jié)果為遺傳算法和粒子群算法結(jié)果最好，序列規(guī)劃法次之，模擬退火算法最差，遺傳算法種群大小為20和50時(shí)彎曲應(yīng)變能分別收斂于162.3、165.9 J；粒子群算法種群大小為20、50時(shí)分別收斂于160.4、166 J。模擬退火算法對(duì)初始點(diǎn)選取依賴(lài)程度很高，初始點(diǎn)為1 000、3 000 kN時(shí)分別收斂于9294.8、346.6 J；序列規(guī)劃法對(duì)初始點(diǎn)也有一定依賴(lài)，初始點(diǎn)為1 000、3 000 kN時(shí)分別收斂于195.8、203.4 J。

圖3 各算法迭代曲線(xiàn)

取各算法中最好的結(jié)果，優(yōu)化后的彎矩和索力示于圖4。

從圖4可以看出：相比于序列規(guī)劃法和模擬退火算法，采用遺傳算法和粒子群算法可以獲得更均勻的彎矩分布。模擬退火算法的主梁彎矩波動(dòng)較大，最大值和最小值分別為2 701、-3 408 kN·m，其他算法主梁的彎矩分布較為接近也更均勻，如粒子群算法最大值和最小值分別為1 815、-2 812 kN·m。序列規(guī)劃法橋塔的彎矩分布波動(dòng)較大，最大值和最小值分別為145、-3 818 kN·m，其他算法的彎矩分布較為接近也更均勻，如遺傳算法最大值和最小值分別為55、-1 594 kN·m。另外，遺傳算法和粒子群算法優(yōu)化后的索力也較均勻，符合邊索索力大、中索索力小的一般規(guī)律。結(jié)果有效驗(yàn)證了優(yōu)化程序的有效性。

圖4 優(yōu)化后彎矩和索力

5 結(jié)論

為觀察傳統(tǒng)的基于導(dǎo)數(shù)信息的搜索算法和智能優(yōu)化方法計(jì)算斜拉橋成橋索力的效果，以斜拉橋加權(quán)彎曲應(yīng)變能最小為目標(biāo)，結(jié)合Matlab及Ansys編制了斜拉橋索力優(yōu)化的計(jì)算程序，并通過(guò)算例計(jì)算分析，得到以下結(jié)論：

(1) 各計(jì)算程序采用Matlab和Ansys編制，算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單有效，實(shí)用性強(qiáng)。

(2) 傳統(tǒng)的基于導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化方法計(jì)算效率高，容易陷入局部最優(yōu)解；智能優(yōu)化方法往往需要成百上千次的有限元分析，對(duì)于大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題計(jì)算效率偏低，但遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化后的全橋受力更均勻，索力更合理。

(3) 算例中在限定調(diào)用有限元次數(shù)的情況下，模擬退火算法對(duì)初始點(diǎn)的依賴(lài)較強(qiáng)，不同初始點(diǎn)得到的優(yōu)化結(jié)果相差很大，且計(jì)算結(jié)果不太理想；遺傳算法和粒子群算法對(duì)種群大小有依賴(lài)，種群大小超過(guò)一定值時(shí)依賴(lài)程度較小。