李德宜，鄧宗娜，馮育強

(1.武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065；2.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點實驗室，湖北 武漢，430065)

近年來，各類整數(shù)階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到研究者的廣泛關(guān)注，如Cui等[1]利用線性矩陣不等式，得到了比例時滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性條件和全局魯棒穩(wěn)定性條件；Rakkiyappan等[2]利用矩陣測度法和Halany不等式，研究了具有時滯的慣性憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期性和同步性；Lakshmanan等[3]研究了具有離散分布時變時滯的慣性憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)耗散性；Zhang等[4]給出了離散分布時變時滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局Lagrange穩(wěn)定性的幾個充分條件，并給出了全局指數(shù)吸引集；Wang等[5]研究了具有反應(yīng)擴散項和時變時滯的耦合慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的采樣數(shù)據(jù)同步問題。

分數(shù)階微積分作為經(jīng)典的整數(shù)階微積分的推廣，在描述一些系統(tǒng)時更為精準，有研究者將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)與分數(shù)階微積分相結(jié)合，并對其穩(wěn)定性進行研究，如Wu和Chen等[6-7]對分數(shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局Mittag-Lefler穩(wěn)定進行了研究；李倩等[8]研究了分數(shù)階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點的唯一存在性和全局漸近穩(wěn)定性；Ke等[9-10]研究了分數(shù)階時滯Cohen-Grossberg和BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間穩(wěn)定性；Gu等[11]研究了Riemann-Liouviue(R-L)分數(shù)階時滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定性與同步性。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用過程中，由于兩個神經(jīng)元之間信號傳輸速度有限，不可避免地會產(chǎn)生時滯效應(yīng)，特別是時變時滯，這在很大程度上會影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性、穩(wěn)定性和振蕩性。為此，本文將文獻[11]提出的R-L分數(shù)階時滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)推廣至R-L分數(shù)階時變時滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，基于R-L分數(shù)階微積分有關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造了Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，并給出了判定R-L分數(shù)階時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型一致穩(wěn)定性的充分條件，最后通過實例分析，對該方法的合理性和有效性進行驗證。

1 模型描述

R-L分數(shù)階時滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[11]可描述為：

0<β≤1,β≤α≤1+β,t>0,i=1,2,…,n

(1)

本文將上述模型推廣至可用于描述時變時滯的情況，考慮模型如下：

t>0,i=1,2,…,n

(2)

式中：n表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的數(shù)量；xi(t)表示第i個神經(jīng)元的狀態(tài)；ai、bi為常數(shù),ai>0,bi>0；hj(t)為變時滯延遲量；fj和gj均表示神經(jīng)元反應(yīng)函數(shù)；fj(xj(t))表示神經(jīng)元在t時刻的輸出值；gj(xj(t-hj(t)))表示神經(jīng)元在t-hj(t)時刻的輸出值；cij表示在t時刻節(jié)點i與節(jié)點j之間的連接權(quán)重；dij表示在t-hj(t)時刻節(jié)點i與節(jié)點j之間的連接權(quán)重；Ii(t)表示外部輸入量。

2 預(yù)備知識

式中：Γ(·)為Gamma函數(shù)。

另外，當分數(shù)階微分算子的階數(shù)為-q(n-1≤q

此時，上式表示q階分數(shù)階積分。

性質(zhì)3

a,b∈R,q>0

性質(zhì)4

m,n∈Z+,n-1≤q≤n

性質(zhì)5[13]R-L分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和分數(shù)階積分有如下組合性質(zhì)：

引理6[11]假設(shè)x(t)是[0,θ]上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則

0

-hi(0)≤s≤0

3 模型證明

本文中，始終假設(shè)神經(jīng)元反應(yīng)函數(shù)fi和gi滿足Lipschitz條件，即存在正常數(shù)pi、qi，對于任意X1,X2∈R，滿足

|fi(X1)-fi(X2)|≤pi|X1-X2|

|gi(X1)-gi(X2)|≤qi|X1-X2|

引理8[11]若函數(shù)F(t)可導(dǎo)，且其一階導(dǎo)數(shù)F′(t)連續(xù)，那么

(3)

證明：上述不等式(3)等價于

根據(jù)R-L導(dǎo)數(shù)的定義，有

同理，

于是，

((F(0)-F(t))2t-q-

證畢。

那么，式(2)對應(yīng)的系統(tǒng)是全局一致穩(wěn)定的。

-hi(0)≤s≤0

gj(xj(t-hj(t)))]

(4)

(5)

于是，式(4)可改寫為

選取Lyapunov型函數(shù)如下：

(7)

gj(xj(t-hj(t))))vi(t)≤

根據(jù)均值不等式，有

(8)

由式(8)可得

于是，在定理9的條件下，有

表明式(2)對應(yīng)的時變時滯系統(tǒng)是全局一致穩(wěn)定的，證畢。

4 數(shù)值仿真

采用Adams-Bashforth-Moulton預(yù)測校正法[14]對式(2)進行近似求解，并通過數(shù)值模擬方法對定理9進行驗證。

4.1 Adams-Bashforth-Moulton方法的基本原理

考慮如下的分數(shù)階微分方程：

yh(tn+1)=

在實際仿真過程中，通過預(yù)測公式和校正公式的反復(fù)迭代，不斷逼近理論真實值yh(tn+1)。

預(yù)測公式為：

(n-j)q))f(tj,yh(tj))， 0≤j≤n

校正公式為：

其中

誤差估計為

p=min(2,1+q)

3.2 實例驗證

例 考慮R-L分數(shù)階變時滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

t>0,i=1,2,3

本文采用的離散化算法中步長h=0.01。通過計算機數(shù)值模擬，可以得到該系統(tǒng)在3個不同初始值下，依次為(1.1,-1.3，1)、(2.1,-2.3,2)、(-2.1，2.3，-2)，xi(t)(i=1,2,3)隨時間變化的軌跡圖如圖1所示，可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與該定理相符，從而驗證了本文所提出理論的準確性。

圖1 不同初始值下xi(t)的軌跡圖Fig.1 Trajectory diagram of xi(t)with different initial values

5 結(jié)語

本文將R-L分數(shù)階時滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)推廣到R-L分數(shù)階時變時滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并對其穩(wěn)定性和同步問題進行研究。首先，基于Lyapunov直接法，構(gòu)造了一個包含R-L分數(shù)積分項的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，并利用R-L分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的組合性質(zhì)，計算了Lyapunov函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，從而推導(dǎo)出R-L分數(shù)階時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型一致穩(wěn)定的條件。最后，通過數(shù)值實例驗證了本文所提出理論的合理性和有效性。

另外，本文主要研究了分數(shù)階為 的R-L分數(shù)階時變時滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，特別是當β=1時，分數(shù)階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被簡化為整數(shù)階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。因此，整數(shù)階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以看作是分數(shù)階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種特例。由此看來，本文提出的模型保守性較低，通用性較強。