董 皓，張顥秦，張建文

(西安工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院，陜西 西安 710021)

0 引言

兩級行星傳動具有承載能力強、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動比大、傳動效率高等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于汽車、礦山開采、航空、船舶等各個領(lǐng)域，但行星齒輪裝置傳動構(gòu)件多、動態(tài)耦合復(fù)雜，運轉(zhuǎn)過程中的振動產(chǎn)生過大的動載荷和噪聲，制約了其發(fā)展和應(yīng)用，因此，研究齒面摩擦對行星齒輪非線性動態(tài)特性的影響顯得尤為重要。

諸多學(xué)者針對含摩擦力的齒輪非線性動力學(xué)模型的研究做了大量的工作。Ambarisha等[1]利用集中參數(shù)法和有限元法分別建立了圓柱直齒的行星齒輪傳動模型，發(fā)現(xiàn)了該模型具有復(fù)雜的非線性動力學(xué)特性，包括跳躍、混沌運動和倍周期分岔等；Kahraman[2]建立了三維單級行星齒輪的動力學(xué)模型，可以用來模擬和分析系統(tǒng)固有頻率和強迫振動響應(yīng)；Li等[3]基于純扭轉(zhuǎn)非線性動力學(xué)模型，分析了包括嚙合阻尼和激勵頻率在內(nèi)的工作參數(shù)對系統(tǒng)混沌和分岔特性的影響；劉志宇等[4]針對齒輪副6自由度多間隙彎扭耦合非線性振動模型，研究了隨轉(zhuǎn)速、間隙變化時，齒面摩擦對行星齒輪傳動系統(tǒng)分岔特性的影響；毛君等[5]通過分析相平面圖和龐加萊截面研究了嚙合剛度、阻尼比及激振頻率對齒輪系統(tǒng)動態(tài)特性的影響；李晟[6]綜合運用分岔圖、相空間軌線和Poincáre截面研究了激勵頻率、嚙合阻尼比對系統(tǒng)分岔與混沌特性的影響；向玲等[7]研究了風(fēng)電齒輪箱兩級行星齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性；陳甫等[8]綜合考慮了齒側(cè)間隙、齒面摩擦和時變嚙合剛度等非線性因素對系統(tǒng)通往混沌的過程進行了研究；王靖岳等[9]研究了干摩擦對行星齒輪傳動系統(tǒng)分岔特性的影響；陸鳳霞等[10]通過數(shù)值積分方法分析了16自由度人字齒輪副彎-扭-軸耦合的非線性動力學(xué)模型的嚙合力、時變摩擦力和摩擦力矩，比較了有無考慮齒面摩擦?xí)r系統(tǒng)的周期振動時域響應(yīng)、振動位移分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)變化圖；高楠[11]以風(fēng)力發(fā)電機多級齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，對內(nèi)外激勵參數(shù)變化下系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性、分岔特性分析以及嚙合狀態(tài)分析等進行了研究；董皓等[12]建立了基于變形協(xié)調(diào)條件的行星齒輪傳動系統(tǒng)的靜態(tài)均載力學(xué)模型，研究了系統(tǒng)的均載特性；盛冬平[13]圍繞直升機主減速器兩級行星傳動系統(tǒng)的動力學(xué)特性展開研究。

綜上所述，對齒面摩擦影響下兩級五分支行星系統(tǒng)的分岔特性研究較少。本文綜合考慮了齒面摩擦、時變嚙合剛度及齒側(cè)間隙等非線性因素，建立了系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，并利用數(shù)值積分方法進行求解，研究了齒面摩擦影響下系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速、間隙等參數(shù)變化下的分岔特性。

1 系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型

圖1為兩級五分支行星傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖，其中輸入扭矩Tin作用在第Ⅰ級太陽輪的輸入軸上，負載扭矩Tout作用在第Ⅱ級的行星架輸出軸上，Ⅰ級行星架c(I)與Ⅱ級太陽輪s(Ⅱ)裝配在一起，具有較大的扭轉(zhuǎn)剛度Kc1s2，p代表行星輪，r代表內(nèi)齒圈。

假定內(nèi)齒圈固定，行星輪具有足夠大的支撐剛度，因此不計行星輪與內(nèi)齒圈的彎曲變形，圖2為兩級五分支行星傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型。

圖2 兩級五分支行星傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of a two-stage five-branch planetary transmission system

各構(gòu)件的制造誤差在內(nèi)、外嚙合線上的當量累積綜合嚙合誤差可表示為

(1)

系統(tǒng)的齒側(cè)間隙和支撐間隙函數(shù)可表示為

(2)

(3)

(4)

圖3 齒輪副的時變嚙合剛度Fig.3 Time varying meshing stiffness of gear pair

(5)

外、內(nèi)嚙合阻尼系數(shù)表達式為

(6)

2 系統(tǒng)各齒輪副齒面摩擦計算

根據(jù)系統(tǒng)的嚙合受力分析，計算了兩級行星輪系的摩擦力臂，l=1,2表示嚙合對1，嚙合對2。

定義太陽輪與行星輪、內(nèi)齒圈與行星輪第l對輪齒嚙合經(jīng)過時間t后移動的距離為

(7)

由齒輪傳動的幾何關(guān)系可知太陽輪與行星輪以及內(nèi)齒圈與行星輪的摩擦力臂表示為

(8)

相互嚙合接觸齒面在任一位置的相對速度為

(9)

(10)

式中，sgn(·)為符號函數(shù)

齒面摩擦力(根據(jù)庫侖定律)為

(11)

3 系統(tǒng)微分方程

基于集中參數(shù)法，建立系統(tǒng)非線性振動微分方程組，其中Ⅰ級太陽輪微分方程：

(12)

Ⅰ級行星輪微分方程：

(13)

Ⅰ級行星架微分方程：

(14)

Ⅱ級太陽輪微分方程：

(15)

Ⅱ級行星輪微分方程：

(16)

Ⅱ級行星架微分方程：

(17)

各誤差在內(nèi)、外嚙合線上產(chǎn)生的無量綱累積綜合嚙合誤差可表示為

(18)

無量綱齒側(cè)間隙和支撐間隙可表示為

(19)

同時由于齒側(cè)間隙和支撐間隙的存在，使系統(tǒng)包含了剛體位移，方程有不定解，對于扭轉(zhuǎn)方向需要進行適當?shù)淖鴺俗儞Q，引入相鄰構(gòu)件之間的相對位移作為系統(tǒng)的廣義坐標如下：

(20)

將式(20)帶入到無量綱化后的振動方程中，可得變換坐標后的Ⅰ級外嚙合微分方程：

(21)

Ⅰ級內(nèi)嚙合振動方程：

(22)

Ⅱ級外嚙合振動方程：

(23)

Ⅱ級內(nèi)嚙合微分方程：

(24)

4 各因素對分岔特性影響

給定系統(tǒng)輸入功率為400 kW，輸入轉(zhuǎn)速為4 500 r/min，各級齒輪模數(shù)為5，壓力角為20°，第Ⅰ級太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈的齒數(shù)分別為40、20和80，第Ⅱ級太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈的齒數(shù)分別為60、30和120，各級輪齒制造誤差為10 μm，Ⅰ級各輪支撐剛度均為5×108N·m，Ⅱ級各輪支撐剛度均為1×109N·m，采用4-5階變步長Runge-Kutta數(shù)值方法對方程進行求解，分析研究齒面摩擦影響下，無量綱轉(zhuǎn)速及無量綱齒側(cè)間隙對系統(tǒng)的分岔特性的影響規(guī)律。

4.1 轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)分岔特性影響

第Ⅰ級和第Ⅱ級外嚙合振動系統(tǒng)在摩擦因數(shù)μ分別為0、0.03和0.06時隨無量綱轉(zhuǎn)速Ω變化的分岔特性如圖4和圖5所示。

從圖4(a)可以看出當1<Ω<1.595，系統(tǒng)先后經(jīng)歷了穩(wěn)定的周期二、周期三和周期六運動，當轉(zhuǎn)速Ω=1.595時系統(tǒng)通過倍周期激變的形式進入到混沌運動。當Ω進一步增加到1.94時，系統(tǒng)又通過倒分岔通過短暫的擬周期運動后回歸到周期六運動，最終穩(wěn)定在周期三運動。從圖4(b)、圖4(c)可以看出，隨著摩擦因數(shù)μ的增大，齒面摩擦在一定程度上加劇了系統(tǒng)的振動，但可以有效地抑制混沌運動，混沌區(qū)域逐漸減小甚至?xí)耆?，同時齒面摩擦?xí)南到y(tǒng)的能量，所以將摩擦因數(shù)μ控制在0.06～0.10是較為合理的。

圖4 Ⅰ級輪系在不同摩擦因數(shù)下隨轉(zhuǎn)速變化的分岔特性Fig.4 Bifurcation characteristics of Ⅰ-stage gear train changed with rotational speed under different friction coefficients

從圖5(a)中可以看出，通過第Ⅰ級行星輪系的減速增扭，第Ⅱ級輪系的振幅具有一定的增加，但隨無量綱轉(zhuǎn)速變化時呈現(xiàn)出與第Ⅰ級相似的分岔特性，混沌運動區(qū)域主要集中在1.574 8<Ω<1.985范圍內(nèi)。圖5(b)、圖5(c)顯示了摩擦因數(shù)μ分別為0.03和0.06時，第Ⅱ級外嚙合振動系統(tǒng)呈現(xiàn)出的分岔特性。從圖中可以看出，隨著摩擦因數(shù)的增加，混沌運動區(qū)域的面積逐漸減小，最終系統(tǒng)都由周期六運動通過倒分岔回歸到周期三運動。

圖5 Ⅱ級輪系在不同摩擦因數(shù)下隨轉(zhuǎn)速變化的分岔特性Fig.5 Bifurcation characteristics of Ⅱ-stage gear train changed with rotational speed under different friction coefficients

4.2 齒側(cè)間隙對系統(tǒng)分岔特性影響

圖6 Ⅰ級輪系在不同摩擦因數(shù)下隨齒側(cè)間隙變化分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of Ⅰ-stage gear train changed with backlash under different friction coefficients

圖8 Ⅱ級輪系在不同摩擦因數(shù)下隨間隙變化分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram of Ⅱ-stage with backlash under different friction coefficients

圖9中給出了對應(yīng)的相圖及Poincaré截面圖，可以看出，圖9與圖7具有相似的影響規(guī)律。

圖9 第Ⅱ級不同摩擦因數(shù)μ的相圖和Poincare圖Fig.9 Phase diagram and Poincare diagram of different friction factor μ in Ⅱ-stage

5 結(jié)論

建立了兩級五分支行星輪系的振動微分方程，并采用變步長Runge-Kutta的數(shù)值方法進行求解，得到系統(tǒng)隨各參數(shù)變化的分岔圖、相圖及Poincare圖，研究了無量綱轉(zhuǎn)速及齒側(cè)間隙等參數(shù)對系統(tǒng)分岔特性的影響，所得結(jié)論如下：

1)隨著無量綱轉(zhuǎn)速的增加，無齒面摩擦?xí)r系統(tǒng)的敏感振動區(qū)域大，混沌特性表現(xiàn)明顯；隨著齒面摩擦的增大，在一定程度上加劇系統(tǒng)的振動及噪音，但由于摩擦消耗系統(tǒng)能量，使得混沌區(qū)域?qū)挾仍絹碓秸?，系統(tǒng)振動受到抑制。

2)無齒面摩擦?xí)r系統(tǒng)在小齒側(cè)間隙下都處于穩(wěn)定的周期運動狀態(tài)，隨著齒側(cè)間隙的增大使得系統(tǒng)出現(xiàn)強非線性振動，使得系統(tǒng)處于混亂振動狀態(tài)，混沌運動表現(xiàn)非常明顯；隨著摩擦因數(shù)的增大，齒面摩擦?xí)南到y(tǒng)的能量，混沌區(qū)域逐漸減小，最終系統(tǒng)回歸到倍周期運動狀態(tài)。

3)系統(tǒng)第Ⅰ級與第Ⅱ級在不同參數(shù)變化情況下，所表現(xiàn)出來的分岔特性具有一定的相似性。