賈露露，江曉東

（1.天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，天津 300072；2.美國康奈爾大學(xué)電氣與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，伊薩卡 14853）

配電網(wǎng)發(fā)生故障后，快速準(zhǔn)確地恢復(fù)非故障停電區(qū)域內(nèi)的負(fù)荷對(duì)于減少經(jīng)濟(jì)損失、提高供電可靠性具有重要意義。對(duì)于這種多目標(biāo)、帶有非線性約束（例如潮流方程和運(yùn)行約束）的組合優(yōu)化問題，國內(nèi)外已有大量文獻(xiàn)對(duì)供電恢復(fù)進(jìn)行了研究，主要有專家系統(tǒng)[1]、啟發(fā)式算法[2-3]、圖論方法[4]、元啟發(fā)式算法[5-6]，數(shù)學(xué)規(guī)劃方法[7-8]等研究方法。其中，專家系統(tǒng)法可以快速獲得可行的恢復(fù)方案，然而建立大型規(guī)則庫的難度較大、維護(hù)成本較高，也不能保證解的最優(yōu)性。啟發(fā)式算法雖然可以快速得到可行解，然而算法需要啟發(fā)式規(guī)則來搜尋解決方案，同樣不能保證解的最優(yōu)性。利用基于圖論的方法雖可以通過窮舉搜索得到最優(yōu)解，但對(duì)于大規(guī)模系統(tǒng)，因計(jì)算成本較高而不再具有適用性。元啟發(fā)式算法不需要專家知識(shí)，但是當(dāng)應(yīng)用于大型系統(tǒng)時(shí)，計(jì)算效率較低[9]。

數(shù)學(xué)規(guī)劃方法往往采用線性化或凸松弛技術(shù)將原始復(fù)雜模型簡(jiǎn)化，進(jìn)而借助成熟優(yōu)化求解器求解最優(yōu)供電恢復(fù)策略。文獻(xiàn)[10]將供電恢復(fù)問題劃分為兩個(gè)階段：第1階段利用分段線性化技術(shù)將混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，以便利用優(yōu)化求解器求解二進(jìn)制變量；第2階段求解已知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的非線性規(guī)劃問題的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)。類似地，文獻(xiàn)[11]提出混合整數(shù)線性規(guī)劃模型來求解供電恢復(fù)操作序列。此類方法相比隨機(jī)算法在求解速度方面有明顯提升，但近似過程導(dǎo)致求解結(jié)果存在一定的誤差而不能保證系統(tǒng)的絕對(duì)安全運(yùn)行。文獻(xiàn)[12]在構(gòu)建了完整的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型后，將其轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃模型，同時(shí)將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)整合為單目標(biāo)后借助優(yōu)化求解器進(jìn)行求解，結(jié)果表明該方法具備良好的魯棒性、有效性及尋優(yōu)性能，目前已被普遍應(yīng)用[13]。然而，相關(guān)文獻(xiàn)尚未對(duì)不同場(chǎng)景下各個(gè)目標(biāo)函數(shù)權(quán)重系數(shù)的合理設(shè)置展開深入研究，進(jìn)而導(dǎo)致求解結(jié)果缺乏靈活性。

為此，本文對(duì)多目標(biāo)供電恢復(fù)問題進(jìn)一步探究，提出基于動(dòng)態(tài)軌跡的方法進(jìn)行求解，并在求解質(zhì)量方面與文獻(xiàn)[12]進(jìn)行比較，旨在高效、靈活求解高質(zhì)量恢復(fù)策略。本文基于一種動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)提出了兩階段整合用戶偏好法求解多目標(biāo)供電恢復(fù)問題，方法面向用戶，允許用戶直接對(duì)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)設(shè)置具體偏好范圍而不影響彼此之間的獨(dú)立性。為避免大量嘗試初始點(diǎn)，本文方法包含離散優(yōu)化階段、松弛及修正階段以實(shí)現(xiàn)偏好可行解的快速求解。針對(duì)偏好可行解不存在的情況，提出了可行性恢復(fù)方法，指導(dǎo)用戶有針對(duì)性地調(diào)整用戶偏好或有效約束以求解高質(zhì)量折中解。最后，通過標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)驗(yàn)證了所提方法的有效性及靈活性。

1 用戶偏好的多目標(biāo)供電恢復(fù)

1.1 多目標(biāo)供電恢復(fù)模型

1.1.1 目標(biāo)函數(shù)

配電網(wǎng)供電恢復(fù)是在隔離故障后求解滿足系統(tǒng)潮流方程及工程約束的前提下，能夠最小化非故障停電區(qū)域失電負(fù)荷量的系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題?？紤]到配電網(wǎng)運(yùn)行經(jīng)濟(jì)性，往往兼顧到開關(guān)動(dòng)作次數(shù)最小化、系統(tǒng)有功網(wǎng)損最小化、節(jié)點(diǎn)電壓偏差最小化、變電站出力平衡最大化等多個(gè)目標(biāo)函數(shù)。本文考慮失電量最小化和動(dòng)作次數(shù)作最小化兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，即

式中：f1、f2分別為失電量和動(dòng)作次數(shù)；sij為線路ij開關(guān)狀態(tài)，sij=1表示開關(guān)為閉合狀態(tài)，sij=0表示開關(guān)為斷開狀態(tài)；yi、yj為節(jié)點(diǎn)i、j的負(fù)荷狀態(tài)（yi=1表示對(duì)應(yīng)負(fù)荷為帶電狀態(tài)，否則為失電狀態(tài)）；PL,i和QL,i分別為節(jié)點(diǎn)i的有功和無功負(fù)荷；Ωb為節(jié)點(diǎn)集合；Ωcl和Ωop分別為初始拓?fù)鋵?duì)應(yīng)的常閉和常開開關(guān)集合。sij和yi為決策變量。在式（2）所示目標(biāo)函數(shù)中，開關(guān)動(dòng)作分為閉合常開開關(guān)或打開常閉開關(guān)兩類，系數(shù)[1-(1-yi)(1-yj)]表示只計(jì)及與帶電節(jié)點(diǎn)相連接的開關(guān)動(dòng)作并對(duì)其進(jìn)行操作，不計(jì)失電孤島內(nèi)的開關(guān)動(dòng)作。

1.1.2 約束條件

（1）潮流方程為

式中：PG,i和QG,i分別為節(jié)點(diǎn)i發(fā)電機(jī)的有功和無功出力；Vi和Vj分別為節(jié)點(diǎn)i、j的電壓幅值；θij為節(jié)點(diǎn)i、j的電壓相角差；Gij和Bij分別為節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的線路等效電導(dǎo)和等效電納。

（2）電源輸出功率約束為

（3）節(jié)點(diǎn)電壓約束為

（4）線路電流約束為

式中：Ωl為系統(tǒng)線路集合；Iij為支路ij的電流；為支路ij的電流上限。

（5）輻射狀拓?fù)浼s束為

式中：ns為變電站個(gè)數(shù)；|Ωb|表示集合的基數(shù)，即集合中元素的個(gè)數(shù)；ski為線路ki的開關(guān)狀態(tài)。

為顯式計(jì)算孤立網(wǎng)絡(luò)、節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，式（8）要求任何失電節(jié)點(diǎn)所連接線路必須斷開。而在實(shí)際工程中，無需斷開失電孤島內(nèi)開關(guān)，所以在式（2）所示目標(biāo)函數(shù)中利用系數(shù)[1-(1-yi)(1-yj)]區(qū)分有效動(dòng)作，要求線路兩端節(jié)點(diǎn)至少一個(gè)為帶電節(jié)點(diǎn)，即僅當(dāng)此系數(shù)為1時(shí)才將對(duì)應(yīng)的開關(guān)動(dòng)作計(jì)入目標(biāo)函數(shù)中；否則，只是模型需要，而在實(shí)際工程中操作無需計(jì)入目標(biāo)函數(shù)中。式（9）表示任何帶電節(jié)點(diǎn)所連接的線路必須至少有一條為閉合狀態(tài)。

配電網(wǎng)的輻射狀拓?fù)溆墒剑?）、式（7）～式（9）實(shí)現(xiàn)，即要求閉合線路數(shù)目等于系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)減去獨(dú)立網(wǎng)絡(luò)、獨(dú)立節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，證明參見文獻(xiàn)[14]。

（6）離散約束為

（7）重要負(fù)荷約束為

式中，Ωpc為重要負(fù)荷集合。式（11）要求重要負(fù)荷必須被恢復(fù)。

1.2 整合用戶決策清單

允許用戶直接對(duì)式（1）和式（2）所示的目標(biāo)函數(shù)設(shè)置偏好區(qū)間，以直接滿足決策人員對(duì)不同目標(biāo)函數(shù)的偏好需求是一項(xiàng)具有現(xiàn)實(shí)意義的內(nèi)容。引入用戶決策清單[15]來描述用戶對(duì)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的偏好范圍，即WL=[wl1,wl2]T，其中，wl1為系統(tǒng)失電量最小化目標(biāo)函數(shù)的上限；wl2為動(dòng)作次數(shù)最小化目標(biāo)函數(shù)的上限。將用戶決策清單整合到初始的多目標(biāo)供電恢復(fù)模型中，即

至此，決策者對(duì)應(yīng)于各個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的理想范圍，將初始的多目標(biāo)供電恢復(fù)模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)帶有附加非線性約束的非線性優(yōu)化問題，即

對(duì)于不等式約束，采用松弛變量法將其轉(zhuǎn)化為等式約束，因此用戶偏好供電恢復(fù)模型可表示為

因此，基于用戶偏好的多目標(biāo)供電恢復(fù)問題可表示為

1.3 非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)概述

為求解式（14）所示非線性優(yōu)化問題，構(gòu)造一類非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，即

式中，DH(x)為方程組H(x)在x處的雅可比矩陣。將式（17）所示系統(tǒng)QH(x)命名為商梯度系統(tǒng)，其穩(wěn)定平衡狀態(tài)將以平衡流形的形式存在，而不是平衡點(diǎn)[16-17]。

定義1常規(guī)穩(wěn)定平衡流形

對(duì)于式（17）所示商梯度系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡流形Σs，若H(Σs)=0 且 DH(Σs)TH(Σs)=0，則Σs被稱為常規(guī)穩(wěn)定平衡流形RSEM（regular stable equilibrium manifold）；否則，若 |H(Σs)|＞0 且 DH(Σs)TH(Σs)=0，則Σs被稱為退化穩(wěn)定平衡流形DSEM（degenerate stable equilibrium manifold）。

定理1偏好可行域與常規(guī)穩(wěn)定平衡流形

式（14）所示非線性優(yōu)化問題的偏好可行域FRwl與式（17）所示商梯度系統(tǒng)的RSEM一一對(duì)應(yīng)，即

定理2全局穩(wěn)定

商梯度系統(tǒng)的每條軌跡都收斂到平衡流形，即商梯度系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。

從商梯度系統(tǒng)的任何一點(diǎn)出發(fā)，都將收斂到穩(wěn)定平衡流形。若基于用戶偏好的多目標(biāo)供電恢復(fù)問題可行域是存在的，則通過商梯度系統(tǒng)的RSEM就可以將其完整刻畫；反之，若該問題的偏好可行域不存在，所有點(diǎn)都會(huì)收斂到DSEM。簡(jiǎn)而言之，通過商梯度系統(tǒng)RSEM的存在性就可以判定用戶偏好解的存在性。

2 整合用戶偏好法計(jì)算偏好可行解

2.1 兩階段整合用戶偏好法

基于第1節(jié)的理論研究，求解供電恢復(fù)偏好可行解的問題可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算商梯度系統(tǒng)穩(wěn)定平衡流形的問題。為此，本文提出了兩階段整合用戶偏好UPE（user preference enabling）法直接計(jì)算供電恢復(fù)偏好可行解。

兩階段方法的求解思路為交替求解混合整數(shù)非線性規(guī)劃MINLP（mixed-integer nonlinear programming）問題和非線性規(guī)劃NLP（nonlinear programming）問題。第1階段利用整合用戶偏好方法[15]求解式（16）所示的MINLP問題，若初始點(diǎn)收斂到位于DSEM上的點(diǎn)，即含約束越限的不可行點(diǎn)，則進(jìn)入第2階段解除越限。在第2階段中，原MINLP問題的二進(jìn)制變量被放松為連續(xù)變量以生成1個(gè)NLP問題，然后利用UPE方法以DSEM作初始點(diǎn)，對(duì)與NLP問題對(duì)應(yīng)的商梯度系統(tǒng)進(jìn)行積分，直到軌跡收斂到RSEM，即得到1個(gè)離散變量被放松后的解，在這里將其命名為松弛解RS（relaxation solution）。根據(jù)RS得到參考信息對(duì)位于DSEM上的點(diǎn)進(jìn)行修正，避免其再次收斂到DSEM，然后將修正后的點(diǎn)作為初始點(diǎn)，返回第1階段。這個(gè)過程交替迭代進(jìn)行，直到在第1階段求得可行解或者該問題被證明為不可行。在該問題被證明為不可行的情況中，根據(jù)得到的DSEM可以識(shí)別出有效的運(yùn)行或偏好約束，由用戶選擇其中允許放松的約束進(jìn)行調(diào)節(jié)，以便恢復(fù)可行性并得到1個(gè)折中解。

首先需要構(gòu)建一個(gè)松弛模型HRE(x)對(duì)應(yīng)的商梯度系統(tǒng)QHRE(x)，其將在第2階段被利用到。QHRE(x)可表示為

這里，松弛模型HRE(x)不同于式（17）中的H(x)，控制變量的二進(jìn)制特性被放松。將位于QHRE(x)的RSEM上的點(diǎn)稱為RS，需滿足

確定完整的供電恢復(fù)問題模型及用戶對(duì)各目標(biāo)函數(shù)的偏好范圍。根據(jù)原問題模型的等式約束集構(gòu)造對(duì)應(yīng)的式（17）所示商梯度系統(tǒng)，根據(jù)松弛模型構(gòu)造對(duì)應(yīng)的式（19）所示商梯度系統(tǒng)。計(jì)算1個(gè)RS并作為初始點(diǎn)。設(shè)置m=0，N=1，其中m、N分別為修正的次數(shù)及初始點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

第1階段離散優(yōu)化流程如下。

步驟1對(duì)式（17）所示商梯度系統(tǒng)進(jìn)行積分，直到其收斂到1個(gè)位于穩(wěn)定平衡流形上的點(diǎn)，記為x。

步驟2檢查是否滿足|H(x)|≤ε，其中ε是1個(gè)足夠小的數(shù)，若滿足，則得到偏好可行解，同時(shí)停止程序；否則，得到1個(gè)位于DSEM上的點(diǎn)，記為xD，轉(zhuǎn)到步驟3。

步驟3設(shè)置m=m+1。若m＜Mmax，則轉(zhuǎn)到第2階段；否則，轉(zhuǎn)到步驟4。

步驟4設(shè)置N=N+1。若N＜Nmax，則嘗試另一個(gè)RS作為初始點(diǎn)，并設(shè)置m=0，轉(zhuǎn)到步驟1；否則，偏好可行解不存在，用戶需要調(diào)整偏好范圍。

第2階段松弛及修正流程如下。

步驟1計(jì)算RS。以退化點(diǎn)xD作為初始點(diǎn)，對(duì)松弛模型對(duì)應(yīng)的QHRE(x)進(jìn)行積分，直到其收斂到位于穩(wěn)定平衡流形上的點(diǎn)，記為x。判斷|HRE(x)|≤ε是否滿足，若滿足，則得到松弛解RSm，然后轉(zhuǎn)入步驟2；否則，得到1個(gè)新的退化點(diǎn)，轉(zhuǎn)到第1階段的步驟4。

步驟2識(shí)別有希望的二進(jìn)制變量以解除退化點(diǎn)的越限量。篩選出1個(gè)開關(guān)變量子集sij_new={sij:sij=0 inxD,whilesij≠0 in RSm}。然后選擇其中最有效的開關(guān)變量并轉(zhuǎn)到步驟3。

步驟3修正最有效的二進(jìn)制變量。修正開關(guān)變量為1。相應(yīng)地，修正sik(k≠j)由1變?yōu)?，以維持輻射狀拓?fù)?。然后將修正后的松弛解RSm作為初始點(diǎn)，轉(zhuǎn)到第1階段。

需要特別指出的是，若開關(guān)變量sij為1，則表示節(jié)點(diǎn)j是節(jié)點(diǎn)i的父節(jié)點(diǎn)。因?yàn)橐獫M足輻射狀約束的1個(gè)必要條件是每個(gè)節(jié)點(diǎn)（除根節(jié)點(diǎn)外）必須只有1個(gè)父節(jié)點(diǎn)。第2階段步驟3中，被修正為1，所以作為給同一個(gè)節(jié)點(diǎn)供電的線路開關(guān)sik必須修正為0，以滿足輻射狀約束。

第1階段離散優(yōu)化流程的步驟2中，若軌跡收斂到RSEM，則作為罰函數(shù)的等式約束（式（10））也被滿足，即1個(gè)滿足離散特性的偏好可行解被得到。

第1階段離散優(yōu)化旨在離散化初始點(diǎn)并保證“無越限”，第2階段松弛及修正表示從DSEM出發(fā)可以通過額外的開關(guān)調(diào)節(jié)以轉(zhuǎn)移負(fù)荷從而實(shí)現(xiàn)“無越限”。對(duì)于每個(gè)開關(guān)變量，通過比較其在退化點(diǎn)與RS的數(shù)值增幅，來評(píng)估其為解除退化點(diǎn)的越限所作出的貢獻(xiàn)。從DSEM出發(fā)收斂到“無越限”的RS，開關(guān)數(shù)值增長(zhǎng)量越多，其越傾向于被閉合，表明其用于解除越限更有效。

2.2 偏好可行性恢復(fù)方法

在某種用戶偏好下，所有初始點(diǎn)基于商梯度系統(tǒng)的全局收斂特性（定理2）均收斂到DSEM，說明當(dāng)前偏好下不存在可行解，此時(shí)需要用戶調(diào)整偏好以恢復(fù)可行性。為此，本節(jié)將提出基于UPE方法的完整交互程序，根據(jù)求得的偏好可行解，用戶可以沿著更理想的方向繼續(xù)調(diào)整偏好，直到得到用戶最為滿意的偏好可行解；當(dāng)偏好可行解不存在時(shí)，根據(jù)DSEM對(duì)應(yīng)的不匹配度幫助用戶調(diào)整偏好或約束，以恢復(fù)可行性。完整的求解過程如下。

步驟1對(duì)每個(gè)目標(biāo)函數(shù)值設(shè)置具體的偏好范圍。

步驟2利用UPE方法求解等式約束集式（16）的偏好可行解。若偏好解存在，則轉(zhuǎn)到步驟7；否則，轉(zhuǎn)到步驟3以利用DSEM上的退化點(diǎn)xD求解用戶可接受的折中解。

步驟3篩選出退化點(diǎn)xD對(duì)應(yīng)的存在越限的約束集VC={hi(x):hi(xD)≠0}，計(jì)算對(duì)應(yīng)的越限量{hi(xD):hi(x)∈VC}。

步驟4根據(jù)各越限約束對(duì)應(yīng)的越限量大小，由用戶在VC中選擇可接受的約束進(jìn)行放松，構(gòu)成子集RC?VC，并確定其各自對(duì)應(yīng)的放松程度α(α∈ ?card(RC)×1,α＞ 0)。

步驟5放松等式約束集為

式中：hrc(x)為用戶允許放松的約束，hrc(x)∈RC；為其余約束，；lim為RC中各運(yùn)行、工程約束對(duì)應(yīng)的限值（或用戶決策清單）；?表示哈達(dá)瑪積。

步驟6以退化點(diǎn)xD作初始點(diǎn)，利用UPE方法求解等式約束集式（21）。若可行解存在，即得到折中解，則轉(zhuǎn)到步驟7；否則，重復(fù)步驟3～步驟6。

步驟7基于得到的可行解，用戶評(píng)定本次交互過程得到的解是否滿意。若滿意，則結(jié)束交互過程并輸出最終偏好解；否則，更新對(duì)每個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的偏好范圍以求解更理想的解，轉(zhuǎn)到步驟2。

需要說明的是，在步驟6中為了恢復(fù)偏好可行性，在求解經(jīng)過放松后的約束集式（21）時(shí)，如果放松程度不夠，以DSEM上作為初始點(diǎn)的軌跡有可能會(huì)收斂到另一個(gè)DSEM上。此時(shí)，需要繼續(xù)執(zhí)行步驟3～步驟6，即需要用戶繼續(xù)增大放松程度或者繼續(xù)選擇其他允許放松的偏好、約束，直到軌跡收斂到RSEM，即求解到1個(gè)用戶允許范圍內(nèi)的折中解。

3 算例分析

3.1 交互求解過程

本節(jié)以53節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[12]為例求解多目標(biāo)供電恢復(fù)問題用戶偏好解，來驗(yàn)證兩階段UPE方法的有效性和靈活性。該測(cè)試系統(tǒng)含53個(gè)節(jié)點(diǎn)（50個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)及3個(gè)變電站節(jié)點(diǎn)）和61條線路，基準(zhǔn)負(fù)荷為45 668.7 kW+j22 118.24 kvar，電壓上限為1.00 p.u.，電壓下限為0.95 p.u.。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其他詳細(xì)數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)[12]。本仿真分析在CPU為Intel Core i7-10750H@2.6 GHz、內(nèi)存為16.0 GB的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。

假設(shè)節(jié)點(diǎn)11發(fā)生故障，將線路12-11和線路102-11斷開以隔離故障，導(dǎo)致10.087 MV·A的負(fù)荷失電。利用兩階段UPE方法，用戶可以設(shè)置一系列不同的用戶偏好并求解對(duì)應(yīng)的用戶偏好解。在本算例中設(shè)置Mmax=5，Nmax=50。交互求解過程如表1所示，通過偏好初始化、偏好收緊、偏好放松的3次交互過程，最理想的用戶偏好可行解被求解得到。

表1 交互求解過程Tab.1 Solving process in interactive mode

3.1.1 用戶偏好初始化

假設(shè)用戶在初始階段對(duì)兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)設(shè)置偏好（f1≤3 MV·A,f2≤8）。以隔離故障后的初始拓?fù)浼皩?duì)應(yīng)的穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)作初始點(diǎn)，用戶偏好解（斷開45-12，39-38，32-39，35-36；閉合8-33，13-12，10-38）在t=1.435 s被求解得到。

圖1給出了部分代表開關(guān)收斂到偏好可行解的求解軌跡，其中，每條軌跡代表1個(gè)開關(guān)的完整數(shù)值積分過程，在軌跡圖中每對(duì)箭頭代表一次修正過程，也就是說在求解得到用戶偏好可行解之前，經(jīng)歷了兩次修正過程，共求解出3個(gè)松弛解（RS1～RS3）。在得到RS1后，為了解除退化點(diǎn)存在的越限，修正位于線路10-38的開關(guān)數(shù)值為1；同時(shí)，為了保持輻射狀約束，修正線路38-39的開關(guān)數(shù)值為0。在得到RS2后，修正線路13-12的開關(guān)數(shù)值為1；同時(shí)，修正開關(guān)12-45為0。經(jīng)過兩次修正過程，軌跡成功收斂到偏好可行解。

圖1 用戶偏好（f1≤3 MV·A,f2≤8）下，代表開關(guān)收斂到用戶偏好可行解的軌跡Fig.1 Trajectories of representative switches converging to user preference-feasible solution under preference（ f1≤ 3 MV·A,f2≤ 8）

3.1.2 更新用戶偏好（收緊偏好）

在本次交互中，基于上次求解結(jié)果的質(zhì)量（f1=1.54 MV·A，f2=7），假設(shè)用戶理想偏好范圍（f1≤1 MV·A,f2≤6），然而經(jīng)求解后得出當(dāng)前用戶偏好下不存在可行解，于是程序進(jìn)入可行性恢復(fù)階段，指導(dǎo)最后1個(gè)得到的退化點(diǎn)作為初始點(diǎn)來求解折中解。表2給出了該退化點(diǎn)所有存在越限的約束。為了恢復(fù)可行性，假設(shè)用戶選擇對(duì)動(dòng)作次數(shù)的偏好約束進(jìn)行放松，由（f1≤1 MV·A,f2≤6）放松至（f1≤ 1 MV·A,f2≤ 8），隨后再次對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行積分并收斂至可行解（斷開45-12，39-38，34-35；閉合8-33，35-40，13-12，10-38），即可行性被成功恢復(fù)，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為（f1=0 MV·A,f2=7）。

表2 DSEM對(duì)應(yīng)的越限約束及越限量Tab.2 Constraints with violation corresponding to DSEM and their values

3.1.3 第2次更新用戶偏好（放松偏好）

根據(jù)前一次交互過程中經(jīng)放松偏好而得到的折中解（f1=0 MV·A,f2=7），假設(shè)用戶提出更為理想的偏好范圍（f1≤ 2 MV·A,f2≤ 6），收斂到該偏好可行解的三維軌跡見圖2?？梢姡谑諗康狡每尚薪庵敖?jīng)歷了兩次修正過程，該偏好可行解（打開45-12，39-38，32-39；閉合8-33，13-12，10-38）在t=1.668 s被計(jì)算得到。

圖2 偏好可行解（f1=1.309 MV·A,f2=6）的積分軌跡Fig.2 Integral trajectory converging to user preferencefeasible solution（ f1=1.309 MV·A,f2=6）

3.2 對(duì)比算例

為評(píng)估該兩階段UPE方法的求解性能，本文方法與利用優(yōu)化求解器CPLEX的凸松弛方法[12]進(jìn)行比較。除了對(duì)比求解結(jié)果質(zhì)量，在硬件系統(tǒng)計(jì)算能力相當(dāng)?shù)那疤嵯?，通過計(jì)算速度提升率R來評(píng)估計(jì)算效率，即

式中：Trefer為參考計(jì)算時(shí)間；Tcpu為本文計(jì)算時(shí)間。

表3給出了兩階段UPE方法與凸松弛方法的對(duì)比結(jié)果，可見，本文方法用更少的動(dòng)作次數(shù)實(shí)現(xiàn)了同樣的負(fù)荷恢復(fù)量，或以允許范圍內(nèi)的失電負(fù)荷量為代價(jià)，實(shí)現(xiàn)了更少的動(dòng)作次數(shù)，本文方法可以獲得更符合用戶偏好的可行解。

表3 兩階段UPE方法與凸松弛方法的對(duì)比結(jié)果Tab.3 Results of comparison between two-stage UPE method and convex relaxation technique

以上算例驗(yàn)證了本文方法用于求解供電恢復(fù)策略的有效性及快速性，本文方法可以通過一種用戶主導(dǎo)的交互方式靈活求解用戶偏好解，相比于凸松弛方法[12]，計(jì)算速度有明顯提升，并且解的質(zhì)量更能滿足用戶對(duì)多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的實(shí)際需要。

4 結(jié)語

本文提出了一種整合用戶偏好法以快速計(jì)算供電恢復(fù)偏好可行解。該方法面向用戶，允許實(shí)現(xiàn)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的偏好范圍，如果偏好可行解不存在，那么所提方法可以識(shí)別出解不存在，并指導(dǎo)用戶有針對(duì)性地調(diào)整偏好范圍或約束限制而獲得用戶可接受的折中解。為提高求解效率，所提方法包含離散優(yōu)化階段和松弛及修正階段兩個(gè)階段，以實(shí)現(xiàn)該含大量離散變量問題的快速求解。通過數(shù)值分析和對(duì)比驗(yàn)證了所提出方法的兩個(gè)優(yōu)勢(shì)：①在求解供電恢復(fù)偏好解時(shí)具備良好的全局收斂特性，不會(huì)出現(xiàn)發(fā)散情況；②能夠靈活提供高質(zhì)量的恢復(fù)策略，滿足用戶在實(shí)際工程中對(duì)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的具體偏好。