永磁同步電機(jī)分?jǐn)?shù)階改進(jìn)快速終端滑?？刂?/h1>
2022-01-13 10:11:16王興亮秦露露曹基南陸敏安
電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào) 2021年12期
王興亮，秦露露，顧 華，陳 依，曹基南，陸敏安
（1.國(guó)網(wǎng)上海市電力公司青浦供電公司，上海 201799；2.國(guó)網(wǎng)上海市電力公司松江供電公司，上海 201600）
現(xiàn)階段，在汽車、有軌電車和電力傳動(dòng)系統(tǒng)等許多領(lǐng)域都廣泛應(yīng)用了永磁同步電機(jī)PMSM（permanent magnet synchronous motor），其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、效率高、損耗小、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)[1]，但由于自身電磁特性，使得PMSM存在非線性性、外部抗干擾能力弱、參數(shù)不確定等缺點(diǎn)，PID控制方法無(wú)法達(dá)到所期待的控制要求。
國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼提出了一些控制方法，包括自適應(yīng)控制[2]、狀態(tài)反饋控制[3]、預(yù)測(cè)控制[4-5]和滑模控制SMC（sliding mode control）[6-9]等來(lái)提高PMSM的控制性能，其中SMC因?qū)ν饨鐢_動(dòng)和系統(tǒng)參數(shù)變化具有很強(qiáng)的魯棒性而得到廣泛的應(yīng)用[10-11]。文獻(xiàn)[6]提出了改進(jìn)滑模極值搜索控制算法，即在無(wú)穩(wěn)態(tài)振蕩情況下，無(wú)需載波就可以直接產(chǎn)生開(kāi)關(guān)信號(hào)的功率滑?？刂破鱽?lái)改善系統(tǒng)的跟隨性，避免了傳統(tǒng)的風(fēng)能轉(zhuǎn)換系統(tǒng)PI控制器中參數(shù)調(diào)整的過(guò)程。文獻(xiàn)[7]利用積分滑?？刂艻SMC（integral SMC）方法來(lái)控制PMSM，在傳統(tǒng)滑模面中加入了積分項(xiàng)，消除了穩(wěn)態(tài)誤差，證明了SMC比PI控制在系統(tǒng)穩(wěn)定性和抗擾動(dòng)性方面具有優(yōu)越性。文獻(xiàn)[8-9]采用基于精確反饋線性化的非奇異終端滑?？刂芅TSMC（nonsingular terminal sliding-mode control）方法控制永磁同步電機(jī)，在傳統(tǒng)SMC的基礎(chǔ)上提升了控制性能，保證了系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性。另外，相關(guān)學(xué)者針雙級(jí)矩陣變換器TSMC（two-stage matrix converter）可能存在的收斂速度慢的缺點(diǎn)，提出了快速終端滑模控制FTSMC（fast terminal SMC）[12-14]。
上述文獻(xiàn)研究的SMC都是整數(shù)階控制，隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論的完善和系統(tǒng)控制性能要求的提高，分?jǐn)?shù)階控制被不斷研究并廣泛應(yīng)用于各類線性和非線性系統(tǒng)中[15]，包括分?jǐn)?shù)階PI即FOPI（fractional-order PI）控制、分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)控制、分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制和分?jǐn)?shù)階滑模控制FOSMC（fractional-order SMC）等[16]。傳統(tǒng)控制器微分、積分階次都可以設(shè)置成不同整數(shù)，分?jǐn)?shù)階控制器的微分、積分階次可以為任意實(shí)數(shù)，這使得其在參數(shù)調(diào)節(jié)上具有更大的靈活性，能夠提高系統(tǒng)的控制性能[17]。近年來(lái)，F(xiàn)OSMC也被研究并應(yīng)用于PMSM控制中。文獻(xiàn)[18]將傳統(tǒng)滑模趨近律中的符號(hào)函數(shù)用分?jǐn)?shù)階次的符號(hào)函數(shù)取代，提高了趨近速度，抑制了系統(tǒng)抖動(dòng)，但其并不是在滑模面中直接引入分?jǐn)?shù)階微積分。文獻(xiàn)[19]將傳統(tǒng)滑模面的微分項(xiàng)改進(jìn)為分?jǐn)?shù)階次微分項(xiàng)，提高了系統(tǒng)的綜合控制性能。文獻(xiàn)[20]提出分?jǐn)?shù)階ISMC方法，證明了該控制方法對(duì)定子電阻和電感的不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性。
本文以FTSMC為基礎(chǔ)，提出一種分?jǐn)?shù)階改進(jìn)快速終端滑?？刂艶OIFTSMC（fractional-order improved FTSMC）方法。在PMSM速度環(huán)上采用可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的有限時(shí)間控制和快速收斂的FOIFTSMC，電流環(huán)上應(yīng)用FOPI控制器。同時(shí)，針對(duì)外部負(fù)載擾動(dòng)和系統(tǒng)參數(shù)不確定的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了1個(gè)分?jǐn)?shù)階擾動(dòng)觀測(cè)器FODOB（fractional-order disturbance observer），將擾動(dòng)觀測(cè)值反饋給滑模控制器。本文所提出的控制方法通過(guò)Lyapunov定理證明是穩(wěn)定的[21]，而頻域分析主要用來(lái)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域，因此本文僅進(jìn)行時(shí)域分析就能檢驗(yàn)控制方法的改進(jìn)效果。仿真結(jié)果表明FOIFTSMC方法具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能和抗擾動(dòng)性能。
1 PMSM數(shù)學(xué)模型
PMSM在dq軸參考坐標(biāo)下的狀態(tài)方程[22]為
式中：ud、uq分別為d、q軸定子電壓；id、iq分別為d、q軸定子電流；Ld、Lq分別為d、q軸定子電感，Ld=Lq；Rs為定子電阻；ω為電機(jī)轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；np為電機(jī)極對(duì)數(shù)；φf(shuō)為轉(zhuǎn)子磁勢(shì)；Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B為黏性摩擦系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
從式（1）可以看出，PMSM的交軸和直軸電流存在耦合關(guān)系，不能獨(dú)立調(diào)節(jié)。在實(shí)際控制過(guò)程中，通常將直軸參考電流設(shè)為0，來(lái)消除耦合關(guān)系。圖1為PMSM雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，其中ω*為參考轉(zhuǎn)速。
圖1 PMSM控制結(jié)構(gòu)Fig.1 Control structure of PMSM
對(duì)于傳統(tǒng)的PMSM控制，一般在系統(tǒng)的電流環(huán)采用PI控制，速度環(huán)采用SMC方法[6-9]。本文將同時(shí)對(duì)兩個(gè)控制器進(jìn)行改進(jìn)，在電流環(huán)上采用FOPI控制，相比傳統(tǒng)的PI控制，F(xiàn)OPI多了1個(gè)可調(diào)的積分階數(shù)參數(shù)，能讓dq軸電流更好地跟蹤給定信號(hào)id*和iq*；在速度環(huán)上采用FOIFTSMC方法，在保證系統(tǒng)有限時(shí)間控制的基礎(chǔ)上，提升了系統(tǒng)的控制性能和抗擾動(dòng)性能。
2 控制器設(shè)計(jì)
2.1 分?jǐn)?shù)階微積分
分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的擴(kuò)展，相關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的定義有很多，其中使用最廣泛的是Riemann-Liouville（RL）定義的分?jǐn)?shù)階微積分。RL型分?jǐn)?shù)階積分定義可表示為
式中：t、a分別為積分上限、下限；μ為分?jǐn)?shù)階積分階次，μ＞0；Γ（μ）為gamma函數(shù)。RL型分?jǐn)?shù)階微分定義為
式中：σ為分?jǐn)?shù)階積分階次的差值；n為大于μ的最小整數(shù)。
為了方便計(jì)算，分?jǐn)?shù)階微積分通常在Laplace域中計(jì)算，其零初始條件下（輸入、輸出同時(shí)滿足在初始時(shí)刻之前各值及其導(dǎo)數(shù)均為0）的Laplace變化為
在工程應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階微積分傳遞函數(shù)可以用整數(shù)階傳遞函數(shù)來(lái)近似替代。本文仿真過(guò)程中使用Oustaloup算法來(lái)近似分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)，算法的具體計(jì)算過(guò)程在文獻(xiàn)[23]中有詳細(xì)介紹，剩余部分用Dμ來(lái)替代aDtμ。
2.2 電流環(huán)FOPI控制器設(shè)計(jì)
本文PMSM的電流環(huán)設(shè)計(jì)了FOPI控制器，其傳遞函數(shù)為
式中：kp、ki分別為比例增益、積分增益，kp＞0、ki＞0 ；λ為積分階次，λ∈[0，2]。當(dāng)λ=1時(shí)，G（s）為傳統(tǒng)的PI控制。由圖1可知，iq可表示為
由式（1）可以得到iq和ω在Laplace域的關(guān)系式為
結(jié)合式（7）和式（8）可以得到系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階速度方程為
式中，ω(λ+1)為分?jǐn)?shù)階電機(jī)機(jī)械角速度。
這里做如下定義：
式中：φf(shuō)為轉(zhuǎn)子磁勢(shì)；d（t）為系統(tǒng)參數(shù)不確定和外部擾動(dòng)項(xiàng)。
式（9）可以簡(jiǎn)化為
2.3 速度環(huán)FOIFTSMC控制器設(shè)計(jì)
本文PMSM的速度環(huán)設(shè)計(jì)了滑?？刂破鳎Ｃ嬖O(shè)計(jì)為速度誤差(e=ω*-ω)的函數(shù)。根據(jù)式（13）可以得到如下的系統(tǒng)誤差方程：
滑模控制器設(shè)計(jì)包含兩個(gè)步驟：①設(shè)計(jì)合適的滑模面；②設(shè)計(jì)合適的控制方法使系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)有限時(shí)間控制，可以選用如下的終端滑模面：
然而，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，TSMC的收斂速度較慢。為了提高系統(tǒng)的全局收斂速度，F(xiàn)TSMC和改進(jìn)快速終端滑?？刂艻FTSMC（improved FTSMC）可分別表示為
當(dāng)誤差e遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，動(dòng)態(tài)方程近似為，可以實(shí)現(xiàn)快速收斂；當(dāng)誤差e接近平衡點(diǎn)時(shí)，動(dòng)態(tài)方程近似為，可實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間收斂[24]。
為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的控制性能和魯棒性，本文將分?jǐn)?shù)階微積分與IFTSMC相結(jié)合，提出了FOIFTSMC控制方法，其滑模面可表示為
式（15）～（18）的滑模面中，c1、c2、α、β均為常數(shù)，c1＞0、c2＞0、0＜α＜1＜β＜2；γ為分?jǐn)?shù)階微分階次，0＜γ＜1。式（18）的微分式為
系統(tǒng)的控制律可由式（19）得到，即
式中，k為切換增益，k＞0。
論點(diǎn)1若切換增益k滿足式（23），則當(dāng)系統(tǒng)控制律如式（22）所示時(shí)，所設(shè)計(jì)的FOIFTSMC控制系統(tǒng)是Lyapunov穩(wěn)定的，即
證明1定義1個(gè)Lyapunov能量函數(shù)為
結(jié)合式（19）和式（22）可得
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，所設(shè)計(jì)的基于FOIFTSMC+FOPI控制的PMSM是穩(wěn)定的。
3 FODOB設(shè)計(jì)
第2節(jié)設(shè)計(jì)的FOIFTSMC+FOPI控制器只有當(dāng)切換增益k滿足式（23）時(shí)，系統(tǒng)才能穩(wěn)定。由于擾動(dòng)項(xiàng)d（t）是不確定的，因此切換增益k必須設(shè)計(jì)得足夠大，但是k值過(guò)大會(huì)加重SMC的抖振現(xiàn)象。相關(guān)文獻(xiàn)研究設(shè)計(jì)了擾動(dòng)觀測(cè)器來(lái)解決此問(wèn)題。
由于本文PMSM所設(shè)計(jì)的FOIFTSMC+FOPI控制是1個(gè)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，所以傳統(tǒng)的擾動(dòng)觀測(cè)器并不適用。本文參考文獻(xiàn)[25]提出的FODOB并設(shè)計(jì)應(yīng)用在本文所提的控制系統(tǒng)中。1個(gè)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可表示為
式中：α為分?jǐn)?shù)階次，0＜α＜1；(x1,x2,…,xn)T為系統(tǒng)狀態(tài)量；u為控制輸入；d為擾動(dòng)量；（fx）、g（x）為已知函數(shù)。擾動(dòng)d滿足
式中，hj為未知正實(shí)數(shù)。
FODOB可設(shè)計(jì)為
式中：K為待確定的正實(shí)數(shù)；z為輔助變量；為擾動(dòng)觀測(cè)值。
系統(tǒng)速度誤差方程（14）可以修改為
式中：ξ=(1+λ)/2；x1=e；x2=e(ξ)。FODOB可改寫為
根據(jù)上述分析，控制律方程式（22）可以改為
論點(diǎn)2若切換增益滿足式（36），則當(dāng)系統(tǒng)控制律如式（35）所示時(shí)，所設(shè)計(jì)的FOIFTSMC+FODOB控制系統(tǒng)是Lyapunov穩(wěn)定的，即
證明2定義Lyapunov能量函數(shù)仍為式（24），結(jié)合式（35）與式（19）可得
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，所設(shè)計(jì)的基于FOIFTSMC+FOPI+FODOB的控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖2為綜合分?jǐn)?shù)階控制器下的PMSM控制系統(tǒng)。
圖2 綜合分?jǐn)?shù)階控制器下的PMSM控制系統(tǒng)Fig.2 PMSM control system with composite fractional-order controller
4 仿真結(jié)果
為了說(shuō)明綜合分?jǐn)?shù)階控制器的有效性，本文在Matlab/Simulink下對(duì)PMSM控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真。仿真所用PMSM參數(shù)如表1所示。
表1 PMSM參數(shù)Tab.1 Parameters of PMSM
4.1 起動(dòng)時(shí)系統(tǒng)特性
仿真中對(duì) TSMC+PI、IFTSMC+PI、FOFTSMC+FOPI和FOIFTSMC+FOPI等4種控制方法進(jìn)行對(duì)比分析。為了方便比較，各控制器參數(shù)選取基于以下原則：①4個(gè)控制方法的切換增益、比例增益、微分增益和α值相同；②參數(shù)c1與c2之和(c1+c2)相同；③IFTSMC與FOIFTSMC之間只有分?jǐn)?shù)階微積分階次γ和λ不同；④FOFTSMC與IFOFTSMC的微積分階次γ和λ相同。
假設(shè)PMSM參考速度為700 r/min。圖3為系統(tǒng)起動(dòng)時(shí)速度與電流iq對(duì)比曲線。從圖3可以得出如下結(jié)論：①啟動(dòng)過(guò)程中，TSMC的收斂速度慢，IFTSMC能明顯提高收斂速度；②分?jǐn)?shù)階統(tǒng)整數(shù)階控制系統(tǒng)，能夠更快地到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)；③相比FOFTSMC，F(xiàn)OIFTSMC的速度超調(diào)量更小，電流波動(dòng)也更小；④分?jǐn)?shù)階控制存在系統(tǒng)起動(dòng)電流較大的缺點(diǎn)。
圖3 系統(tǒng)啟動(dòng)時(shí)的速度電流響應(yīng)曲線Fig.3 Response curves of speed and current when system starts
4.2 負(fù)載變動(dòng)時(shí)系統(tǒng)特性
圖4和圖5分別為PMSM存在外界負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，IFTSMC和FOIFTSMC下速度與電流曲線對(duì)比。
圖4 負(fù)荷突變時(shí)的速度、電流的響應(yīng)曲線Fig.4 Response curves of speed and current when load changes suddenly
圖5 負(fù)荷持續(xù)變動(dòng)時(shí)的速度電流響應(yīng)曲線Fig.5 Response curves of speed and current when load changes continuously
從圖4可以看出，負(fù)載突變時(shí)，相比于IFTSMC，F(xiàn)OIFTSMC下系統(tǒng)速度突變量更小，能更快地恢復(fù)到參考值，電流調(diào)整到新穩(wěn)態(tài)值的調(diào)整時(shí)間也更短。由圖5可知，當(dāng)負(fù)載持續(xù)變動(dòng)時(shí)，F(xiàn)OIFTSMC下系統(tǒng)速度的波動(dòng)量被大大降低了，同時(shí)分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髂芤种齐娏鞯亩秳?dòng)問(wèn)題。因此，將控制器從整數(shù)階改進(jìn)到分?jǐn)?shù)階能極大地增強(qiáng)系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能。
第3節(jié)分析了擾動(dòng)觀測(cè)器能進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾能力。為了說(shuō)明所設(shè)計(jì)FODOB的有效性，圖6和圖7給出了PMSM在負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，F(xiàn)OIFTSMC加入FODOB控制下的速度、電流曲線。從圖6可知，當(dāng)負(fù)載突變時(shí)，F(xiàn)ODOB可以降低系統(tǒng)速度突變量，減少其恢復(fù)到參考值的時(shí)間，但是會(huì)引起1個(gè)瞬時(shí)大電流。從圖7可以看出，當(dāng)負(fù)載持續(xù)變化時(shí)，F(xiàn)ODOB能進(jìn)一步降低系統(tǒng)速度波動(dòng)上限、下限。
圖6 負(fù)荷突變時(shí)FODOB作用下的響應(yīng)曲線Fig.6 Response curves with FODOB when load changes suddenly
圖7 負(fù)荷持續(xù)變動(dòng)時(shí)FODOB作用下的響應(yīng)曲線Fig.7 Response curves with FODOB when load changes continuously
5 結(jié)語(yǔ)
本文將分?jǐn)?shù)階微積分理論與SMC理論相結(jié)合，提出了一種FOIFTSMC方法來(lái)控制PMSM。此方法與PMSM中傳統(tǒng)SMC方法不同，在PMSM控制系統(tǒng)的電流環(huán)采用了FOPI控制，在速度環(huán)采用了本文所設(shè)計(jì)的FOIFTSMC方法。為了降低擾動(dòng)對(duì)控制性能的影響，本文設(shè)計(jì)了1個(gè)分?jǐn)?shù)階擾動(dòng)觀測(cè)器。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比整數(shù)階滑模控制，F(xiàn)OSMC方法能夠有效地提高系統(tǒng)的控制性能和抗擾動(dòng)能力。同時(shí)，所設(shè)計(jì)的FODOB能進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能，減小了SMC的抖振問(wèn)題。因此，本文方法適用在對(duì)PMSM調(diào)速性能要求高的系統(tǒng)上，但所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階控制方法存在起動(dòng)電流偏大的缺點(diǎn)，這將是今后需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題。
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（1.國(guó)網(wǎng)上海市電力公司青浦供電公司，上海 201799；2.國(guó)網(wǎng)上海市電力公司松江供電公司，上海 201600）
現(xiàn)階段，在汽車、有軌電車和電力傳動(dòng)系統(tǒng)等許多領(lǐng)域都廣泛應(yīng)用了永磁同步電機(jī)PMSM（permanent magnet synchronous motor），其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、效率高、損耗小、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)[1]，但由于自身電磁特性，使得PMSM存在非線性性、外部抗干擾能力弱、參數(shù)不確定等缺點(diǎn)，PID控制方法無(wú)法達(dá)到所期待的控制要求。
國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼提出了一些控制方法，包括自適應(yīng)控制[2]、狀態(tài)反饋控制[3]、預(yù)測(cè)控制[4-5]和滑模控制SMC（sliding mode control）[6-9]等來(lái)提高PMSM的控制性能，其中SMC因?qū)ν饨鐢_動(dòng)和系統(tǒng)參數(shù)變化具有很強(qiáng)的魯棒性而得到廣泛的應(yīng)用[10-11]。文獻(xiàn)[6]提出了改進(jìn)滑模極值搜索控制算法，即在無(wú)穩(wěn)態(tài)振蕩情況下，無(wú)需載波就可以直接產(chǎn)生開(kāi)關(guān)信號(hào)的功率滑?？刂破鱽?lái)改善系統(tǒng)的跟隨性，避免了傳統(tǒng)的風(fēng)能轉(zhuǎn)換系統(tǒng)PI控制器中參數(shù)調(diào)整的過(guò)程。文獻(xiàn)[7]利用積分滑?？刂艻SMC（integral SMC）方法來(lái)控制PMSM，在傳統(tǒng)滑模面中加入了積分項(xiàng)，消除了穩(wěn)態(tài)誤差，證明了SMC比PI控制在系統(tǒng)穩(wěn)定性和抗擾動(dòng)性方面具有優(yōu)越性。文獻(xiàn)[8-9]采用基于精確反饋線性化的非奇異終端滑?？刂芅TSMC（nonsingular terminal sliding-mode control）方法控制永磁同步電機(jī)，在傳統(tǒng)SMC的基礎(chǔ)上提升了控制性能，保證了系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性。另外，相關(guān)學(xué)者針雙級(jí)矩陣變換器TSMC（two-stage matrix converter）可能存在的收斂速度慢的缺點(diǎn)，提出了快速終端滑模控制FTSMC（fast terminal SMC）[12-14]。
上述文獻(xiàn)研究的SMC都是整數(shù)階控制，隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論的完善和系統(tǒng)控制性能要求的提高，分?jǐn)?shù)階控制被不斷研究并廣泛應(yīng)用于各類線性和非線性系統(tǒng)中[15]，包括分?jǐn)?shù)階PI即FOPI（fractional-order PI）控制、分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)控制、分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制和分?jǐn)?shù)階滑模控制FOSMC（fractional-order SMC）等[16]。傳統(tǒng)控制器微分、積分階次都可以設(shè)置成不同整數(shù)，分?jǐn)?shù)階控制器的微分、積分階次可以為任意實(shí)數(shù)，這使得其在參數(shù)調(diào)節(jié)上具有更大的靈活性，能夠提高系統(tǒng)的控制性能[17]。近年來(lái)，F(xiàn)OSMC也被研究并應(yīng)用于PMSM控制中。文獻(xiàn)[18]將傳統(tǒng)滑模趨近律中的符號(hào)函數(shù)用分?jǐn)?shù)階次的符號(hào)函數(shù)取代，提高了趨近速度，抑制了系統(tǒng)抖動(dòng)，但其并不是在滑模面中直接引入分?jǐn)?shù)階微積分。文獻(xiàn)[19]將傳統(tǒng)滑模面的微分項(xiàng)改進(jìn)為分?jǐn)?shù)階次微分項(xiàng)，提高了系統(tǒng)的綜合控制性能。文獻(xiàn)[20]提出分?jǐn)?shù)階ISMC方法，證明了該控制方法對(duì)定子電阻和電感的不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性。
本文以FTSMC為基礎(chǔ)，提出一種分?jǐn)?shù)階改進(jìn)快速終端滑?？刂艶OIFTSMC（fractional-order improved FTSMC）方法。在PMSM速度環(huán)上采用可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的有限時(shí)間控制和快速收斂的FOIFTSMC，電流環(huán)上應(yīng)用FOPI控制器。同時(shí)，針對(duì)外部負(fù)載擾動(dòng)和系統(tǒng)參數(shù)不確定的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了1個(gè)分?jǐn)?shù)階擾動(dòng)觀測(cè)器FODOB（fractional-order disturbance observer），將擾動(dòng)觀測(cè)值反饋給滑模控制器。本文所提出的控制方法通過(guò)Lyapunov定理證明是穩(wěn)定的[21]，而頻域分析主要用來(lái)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域，因此本文僅進(jìn)行時(shí)域分析就能檢驗(yàn)控制方法的改進(jìn)效果。仿真結(jié)果表明FOIFTSMC方法具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能和抗擾動(dòng)性能。
1 PMSM數(shù)學(xué)模型
PMSM在dq軸參考坐標(biāo)下的狀態(tài)方程[22]為
式中：ud、uq分別為d、q軸定子電壓；id、iq分別為d、q軸定子電流；Ld、Lq分別為d、q軸定子電感，Ld=Lq；Rs為定子電阻；ω為電機(jī)轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；np為電機(jī)極對(duì)數(shù)；φf(shuō)為轉(zhuǎn)子磁勢(shì)；Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B為黏性摩擦系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
從式（1）可以看出，PMSM的交軸和直軸電流存在耦合關(guān)系，不能獨(dú)立調(diào)節(jié)。在實(shí)際控制過(guò)程中，通常將直軸參考電流設(shè)為0，來(lái)消除耦合關(guān)系。圖1為PMSM雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，其中ω*為參考轉(zhuǎn)速。
圖1 PMSM控制結(jié)構(gòu)Fig.1 Control structure of PMSM
對(duì)于傳統(tǒng)的PMSM控制，一般在系統(tǒng)的電流環(huán)采用PI控制，速度環(huán)采用SMC方法[6-9]。本文將同時(shí)對(duì)兩個(gè)控制器進(jìn)行改進(jìn)，在電流環(huán)上采用FOPI控制，相比傳統(tǒng)的PI控制，F(xiàn)OPI多了1個(gè)可調(diào)的積分階數(shù)參數(shù)，能讓dq軸電流更好地跟蹤給定信號(hào)id*和iq*；在速度環(huán)上采用FOIFTSMC方法，在保證系統(tǒng)有限時(shí)間控制的基礎(chǔ)上，提升了系統(tǒng)的控制性能和抗擾動(dòng)性能。
2 控制器設(shè)計(jì)
2.1 分?jǐn)?shù)階微積分
分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的擴(kuò)展，相關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的定義有很多，其中使用最廣泛的是Riemann-Liouville（RL）定義的分?jǐn)?shù)階微積分。RL型分?jǐn)?shù)階積分定義可表示為
式中：t、a分別為積分上限、下限；μ為分?jǐn)?shù)階積分階次，μ＞0；Γ（μ）為gamma函數(shù)。RL型分?jǐn)?shù)階微分定義為
式中：σ為分?jǐn)?shù)階積分階次的差值；n為大于μ的最小整數(shù)。
為了方便計(jì)算，分?jǐn)?shù)階微積分通常在Laplace域中計(jì)算，其零初始條件下（輸入、輸出同時(shí)滿足在初始時(shí)刻之前各值及其導(dǎo)數(shù)均為0）的Laplace變化為
在工程應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階微積分傳遞函數(shù)可以用整數(shù)階傳遞函數(shù)來(lái)近似替代。本文仿真過(guò)程中使用Oustaloup算法來(lái)近似分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)，算法的具體計(jì)算過(guò)程在文獻(xiàn)[23]中有詳細(xì)介紹，剩余部分用Dμ來(lái)替代aDtμ。
2.2 電流環(huán)FOPI控制器設(shè)計(jì)
本文PMSM的電流環(huán)設(shè)計(jì)了FOPI控制器，其傳遞函數(shù)為
式中：kp、ki分別為比例增益、積分增益，kp＞0、ki＞0 ；λ為積分階次，λ∈[0，2]。當(dāng)λ=1時(shí)，G（s）為傳統(tǒng)的PI控制。由圖1可知，iq可表示為
由式（1）可以得到iq和ω在Laplace域的關(guān)系式為
結(jié)合式（7）和式（8）可以得到系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階速度方程為
式中，ω(λ+1)為分?jǐn)?shù)階電機(jī)機(jī)械角速度。
這里做如下定義：
式中：φf(shuō)為轉(zhuǎn)子磁勢(shì)；d（t）為系統(tǒng)參數(shù)不確定和外部擾動(dòng)項(xiàng)。
式（9）可以簡(jiǎn)化為
2.3 速度環(huán)FOIFTSMC控制器設(shè)計(jì)
本文PMSM的速度環(huán)設(shè)計(jì)了滑?？刂破鳎Ｃ嬖O(shè)計(jì)為速度誤差(e=ω*-ω)的函數(shù)。根據(jù)式（13）可以得到如下的系統(tǒng)誤差方程：
滑模控制器設(shè)計(jì)包含兩個(gè)步驟：①設(shè)計(jì)合適的滑模面；②設(shè)計(jì)合適的控制方法使系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)有限時(shí)間控制，可以選用如下的終端滑模面：
然而，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，TSMC的收斂速度較慢。為了提高系統(tǒng)的全局收斂速度，F(xiàn)TSMC和改進(jìn)快速終端滑?？刂艻FTSMC（improved FTSMC）可分別表示為
當(dāng)誤差e遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，動(dòng)態(tài)方程近似為，可以實(shí)現(xiàn)快速收斂；當(dāng)誤差e接近平衡點(diǎn)時(shí)，動(dòng)態(tài)方程近似為，可實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間收斂[24]。
為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的控制性能和魯棒性，本文將分?jǐn)?shù)階微積分與IFTSMC相結(jié)合，提出了FOIFTSMC控制方法，其滑模面可表示為
式（15）～（18）的滑模面中，c1、c2、α、β均為常數(shù)，c1＞0、c2＞0、0＜α＜1＜β＜2；γ為分?jǐn)?shù)階微分階次，0＜γ＜1。式（18）的微分式為
系統(tǒng)的控制律可由式（19）得到，即
式中，k為切換增益，k＞0。
論點(diǎn)1若切換增益k滿足式（23），則當(dāng)系統(tǒng)控制律如式（22）所示時(shí)，所設(shè)計(jì)的FOIFTSMC控制系統(tǒng)是Lyapunov穩(wěn)定的，即
證明1定義1個(gè)Lyapunov能量函數(shù)為
結(jié)合式（19）和式（22）可得
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，所設(shè)計(jì)的基于FOIFTSMC+FOPI控制的PMSM是穩(wěn)定的。
3 FODOB設(shè)計(jì)
第2節(jié)設(shè)計(jì)的FOIFTSMC+FOPI控制器只有當(dāng)切換增益k滿足式（23）時(shí)，系統(tǒng)才能穩(wěn)定。由于擾動(dòng)項(xiàng)d（t）是不確定的，因此切換增益k必須設(shè)計(jì)得足夠大，但是k值過(guò)大會(huì)加重SMC的抖振現(xiàn)象。相關(guān)文獻(xiàn)研究設(shè)計(jì)了擾動(dòng)觀測(cè)器來(lái)解決此問(wèn)題。
由于本文PMSM所設(shè)計(jì)的FOIFTSMC+FOPI控制是1個(gè)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，所以傳統(tǒng)的擾動(dòng)觀測(cè)器并不適用。本文參考文獻(xiàn)[25]提出的FODOB并設(shè)計(jì)應(yīng)用在本文所提的控制系統(tǒng)中。1個(gè)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可表示為
式中：α為分?jǐn)?shù)階次，0＜α＜1；(x1,x2,…,xn)T為系統(tǒng)狀態(tài)量；u為控制輸入；d為擾動(dòng)量；（fx）、g（x）為已知函數(shù)。擾動(dòng)d滿足
式中，hj為未知正實(shí)數(shù)。
FODOB可設(shè)計(jì)為
式中：K為待確定的正實(shí)數(shù)；z為輔助變量；為擾動(dòng)觀測(cè)值。
系統(tǒng)速度誤差方程（14）可以修改為
式中：ξ=(1+λ)/2；x1=e；x2=e(ξ)。FODOB可改寫為
根據(jù)上述分析，控制律方程式（22）可以改為
論點(diǎn)2若切換增益滿足式（36），則當(dāng)系統(tǒng)控制律如式（35）所示時(shí)，所設(shè)計(jì)的FOIFTSMC+FODOB控制系統(tǒng)是Lyapunov穩(wěn)定的，即
證明2定義Lyapunov能量函數(shù)仍為式（24），結(jié)合式（35）與式（19）可得
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，所設(shè)計(jì)的基于FOIFTSMC+FOPI+FODOB的控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖2為綜合分?jǐn)?shù)階控制器下的PMSM控制系統(tǒng)。
圖2 綜合分?jǐn)?shù)階控制器下的PMSM控制系統(tǒng)Fig.2 PMSM control system with composite fractional-order controller
4 仿真結(jié)果
為了說(shuō)明綜合分?jǐn)?shù)階控制器的有效性，本文在Matlab/Simulink下對(duì)PMSM控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真。仿真所用PMSM參數(shù)如表1所示。
表1 PMSM參數(shù)Tab.1 Parameters of PMSM
4.1 起動(dòng)時(shí)系統(tǒng)特性
仿真中對(duì) TSMC+PI、IFTSMC+PI、FOFTSMC+FOPI和FOIFTSMC+FOPI等4種控制方法進(jìn)行對(duì)比分析。為了方便比較，各控制器參數(shù)選取基于以下原則：①4個(gè)控制方法的切換增益、比例增益、微分增益和α值相同；②參數(shù)c1與c2之和(c1+c2)相同；③IFTSMC與FOIFTSMC之間只有分?jǐn)?shù)階微積分階次γ和λ不同；④FOFTSMC與IFOFTSMC的微積分階次γ和λ相同。
假設(shè)PMSM參考速度為700 r/min。圖3為系統(tǒng)起動(dòng)時(shí)速度與電流iq對(duì)比曲線。從圖3可以得出如下結(jié)論：①啟動(dòng)過(guò)程中，TSMC的收斂速度慢，IFTSMC能明顯提高收斂速度；②分?jǐn)?shù)階統(tǒng)整數(shù)階控制系統(tǒng)，能夠更快地到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)；③相比FOFTSMC，F(xiàn)OIFTSMC的速度超調(diào)量更小，電流波動(dòng)也更小；④分?jǐn)?shù)階控制存在系統(tǒng)起動(dòng)電流較大的缺點(diǎn)。
圖3 系統(tǒng)啟動(dòng)時(shí)的速度電流響應(yīng)曲線Fig.3 Response curves of speed and current when system starts
4.2 負(fù)載變動(dòng)時(shí)系統(tǒng)特性
圖4和圖5分別為PMSM存在外界負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，IFTSMC和FOIFTSMC下速度與電流曲線對(duì)比。
圖4 負(fù)荷突變時(shí)的速度、電流的響應(yīng)曲線Fig.4 Response curves of speed and current when load changes suddenly
圖5 負(fù)荷持續(xù)變動(dòng)時(shí)的速度電流響應(yīng)曲線Fig.5 Response curves of speed and current when load changes continuously
從圖4可以看出，負(fù)載突變時(shí)，相比于IFTSMC，F(xiàn)OIFTSMC下系統(tǒng)速度突變量更小，能更快地恢復(fù)到參考值，電流調(diào)整到新穩(wěn)態(tài)值的調(diào)整時(shí)間也更短。由圖5可知，當(dāng)負(fù)載持續(xù)變動(dòng)時(shí)，F(xiàn)OIFTSMC下系統(tǒng)速度的波動(dòng)量被大大降低了，同時(shí)分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髂芤种齐娏鞯亩秳?dòng)問(wèn)題。因此，將控制器從整數(shù)階改進(jìn)到分?jǐn)?shù)階能極大地增強(qiáng)系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能。
第3節(jié)分析了擾動(dòng)觀測(cè)器能進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾能力。為了說(shuō)明所設(shè)計(jì)FODOB的有效性，圖6和圖7給出了PMSM在負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，F(xiàn)OIFTSMC加入FODOB控制下的速度、電流曲線。從圖6可知，當(dāng)負(fù)載突變時(shí)，F(xiàn)ODOB可以降低系統(tǒng)速度突變量，減少其恢復(fù)到參考值的時(shí)間，但是會(huì)引起1個(gè)瞬時(shí)大電流。從圖7可以看出，當(dāng)負(fù)載持續(xù)變化時(shí)，F(xiàn)ODOB能進(jìn)一步降低系統(tǒng)速度波動(dòng)上限、下限。
圖6 負(fù)荷突變時(shí)FODOB作用下的響應(yīng)曲線Fig.6 Response curves with FODOB when load changes suddenly
圖7 負(fù)荷持續(xù)變動(dòng)時(shí)FODOB作用下的響應(yīng)曲線Fig.7 Response curves with FODOB when load changes continuously
5 結(jié)語(yǔ)
本文將分?jǐn)?shù)階微積分理論與SMC理論相結(jié)合，提出了一種FOIFTSMC方法來(lái)控制PMSM。此方法與PMSM中傳統(tǒng)SMC方法不同，在PMSM控制系統(tǒng)的電流環(huán)采用了FOPI控制，在速度環(huán)采用了本文所設(shè)計(jì)的FOIFTSMC方法。為了降低擾動(dòng)對(duì)控制性能的影響，本文設(shè)計(jì)了1個(gè)分?jǐn)?shù)階擾動(dòng)觀測(cè)器。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比整數(shù)階滑模控制，F(xiàn)OSMC方法能夠有效地提高系統(tǒng)的控制性能和抗擾動(dòng)能力。同時(shí)，所設(shè)計(jì)的FODOB能進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能，減小了SMC的抖振問(wèn)題。因此，本文方法適用在對(duì)PMSM調(diào)速性能要求高的系統(tǒng)上，但所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階控制方法存在起動(dòng)電流偏大的缺點(diǎn)，這將是今后需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題。
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