樊增歡 蒲志林

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 四川成都 610068)

Cahn-Hilliard 方程最早由Cahn 和Hilliard 于1958年引入[1]用于模擬二元合金相分離的過程。其后，該方程在物理、生物、工程等許多領(lǐng)域的擴散界面模型中得到廣泛應(yīng)用。例如，該方程可以用來描述固體表面上微滴的擴散、生物種群的競爭和排斥、河床遷移過程等[2]。

近年來，擴散界面模型被用于描述腫瘤的生長發(fā)展[3-11]。由于腫瘤的生長發(fā)展會受到一些生物機制的作用，例如，由營養(yǎng)物質(zhì)的變化、趨化性以及某些特定的化學(xué)物質(zhì)的作用，從而產(chǎn)生的細胞增殖、凋亡。因此，通常會用反應(yīng)擴散方程與Cahn-Hilliard 方程耦合形成Cahn-Hilliard 反應(yīng)擴散界面模型來描述腫瘤發(fā)展進程。

文獻[12]提出了在考慮趨化性和某些化學(xué)物質(zhì)影響下腫瘤增長的模型方程——Cahn-Hilliard 反應(yīng)擴散方程：

(1)

該模型對生長核進行了線性穩(wěn)定性分析，特別是分析了主動輸運項的作用。通過數(shù)值計算，研究了主動輸運項對特定生長情景的影響。

在忽略趨化性和某些化學(xué)物質(zhì)影響下，結(jié)合文獻[12]，本文主要研究如下腫瘤增長模型[13]

φt-Δμ=(Pσ-A)h(φ),(x,t)∈Ω×(0,∞)

(2)

μ=-Δφ+Ψ'(φ),(x,t)∈Ω×(0,∞)

(3)

σt-Δσ=-Cσh(φ)+B(σs-σ),(x,t)∈Ω×(0,∞)

(4)

(5)

φ|t=0=φ0,σ|t=0=σ0,x∈Ω

(6)

與文獻[12]相比，本文忽略趨化性和某些化學(xué)物質(zhì)的影響，數(shù)學(xué)模型變得更加簡單；與文獻[13]一樣，都考慮營養(yǎng)物質(zhì)濃度對腫瘤相場的影響，但對非線性項Ψ′(s)=f(s)考慮更一般的情況下，研究該偏微分方程系統(tǒng)解存在的唯一性。

1 預(yù)備知識和主要結(jié)果

令R是帶有Neumann邊界的Δ算子的弱形式，即令

(7)

對于一類定義在Ω的函數(shù)(或泛函)v，記v的空間平均值為

(8)

現(xiàn)在，對于任意的ζ∈V′，令

(9)

〈Ru,Nζ〉V0=〈RNζ,u〉V=〈ζ,u〉V

(10)

假設(shè)1 令系數(shù)滿足：

P,A,B,C,σs∈(0,1)

(11)

Ψ′(s)=f(s)

(12)

(13)

(14)

f(s)·s≥c1Ψ(s)-c2,Ψ(s)≥-c3,c1,c2,c3≥0

(15)

(16)

最后我們假設(shè)初值滿足：

σ0∈L∞(Ω),0≤σ0≤1,a.e.x∈Ω

(17)

φ0∈V,Ψ(φ0)∈L1(Ω)

(18)

(a)對于每個T>0，以下正則性質(zhì)成立：

φ∈H1(0,T;V′)∩C0([0,T];V)∩L2(0,T;H2(Ω))

(19)

f(φ)∈L2(0,T;H)

(20)

μ∈L2(0,T;V)

(21)

σ∈H1(0,T;V′)∩C0([0,T];H)∩L2(0,T;V)∩L∞(0,T;L∞(Ω))

(22)

(b)式(2)-式(6)的解滿足以下方程：

φt+Rμ=(Pσ-A)h(φ),x∈V′,a.e.t∈(0,∞)

(23)

μ=Rφ+Ψ′(φ),x∈H,a.e.t∈(0,∞)

(24)

σt+Rσ=-Cσh(φ)+B(σs-σ),x∈V′,a.e.t∈(0,∞)

(25)

(c)以下條件成立：

φ|t=0=φ0,σ|t=0=σ0,a.e.x∈Ω

(26)

(27)

2 定理1的證明

第一步：尋找近似解的先驗估計。

首先推理關(guān)于營養(yǎng)物質(zhì)的基本有界性：

第一，對方程(4)用-σ-檢驗(其中-σ-表示σ的負部)，使用h的一致有界性，由于σs>0，且σ≤0可以得到B(σs-σ)是正的。則有:

(28)

然后，由式(17)和Gronwall 引理可知，對每個t>0和x∈Ω，都有σ(t,x)≥0。

(29)

現(xiàn)在分兩種情況進行討論：

(30)

(1+yp)′≤cp(1+yp)

(31)

所以

(32)

因此，開p次方，并且令p→∞，有:

(33)

其中cT表示只與時間T有關(guān)的常數(shù)。

第二步：推導(dǎo)系統(tǒng)的能量估計。

首先，用μ來檢驗方程(2)，用φt來檢驗方程(3)，加起來有:

(34)

用方程(3)來代替μ，得到:

(35)

(36)

接下來，用σ來檢驗方程(4)，有:

(37)

結(jié)合式(35)、式(36)、式(37) 可知:

(38)

用φ來檢驗方程(2)，得到：

(39)

由式(38)、式(39)聯(lián)立求解，可得：

(40)

因此，由Gronwall 引理，結(jié)合不等式(40),可以得到以下先驗估計：

(41)

(42)

(43)

(44)

其次，對方程(3)在Ω上積分，得到：

(45)

再結(jié)合假設(shè)1中的式(16)，得到：

(46)

結(jié)合式(43)，有：

(47)

再結(jié)合式(42)，可得：

(48)

用f(φ)來檢驗方程(3),由式(41)和式(47)得到：

(49)

然后，利用橢圓正則性條件等，可以得到：

(50)

第三步：推導(dǎo)關(guān)于φ，σ的偏導(dǎo)數(shù)的一些估計。

用非零函數(shù)v∈V來檢驗方程(2)，得到：

(51)

由式(41)，式(48)得：

(52)

用類似的方法檢驗方程(4)，有：

(53)

下面用Faedo-Galerkin 方法[14]證明弱解的存在性及唯一性。

事實上，由式(33)，式(41)-式(44)，式(47)-式(50)，式(52)-式(53) 以及標準的弱緊性理論，可以得到關(guān)于n的序列(φn,μn,σn)在Sobolev 空間中弱收斂或者弱*收斂于(φ,μ,σ)。另外，由式(52)、式(53)和Aubin-Lions 引理，可以得到(φn,σn)在Lp空間中強收斂于(φ,σ)，因此是逐點收斂的。特別地，結(jié)合式(49)和φn是逐點收斂的，并且使用Lebesgue 控制收斂定理，可以得到：f(φn)→f(φ)在L2(0,T;H)中弱收斂，那么根據(jù)h和f的連續(xù)性可對非線性項取極限，從而得到弱解的存在性。

假設(shè)式(2)-式(6) 存在兩個解(φ1,μ1,σ1)和(φ2,μ2,σ2)，他們相對應(yīng)的初值分別是(φ1,0,σ1,0)和(φ2,0,σ2,0)。然后令(φ,μ,σ):=(φ1-φ2,μ1-μ2,σ1-σ2)滿足以下方程組：

φt+Rμ=Pσh(φ1)+(Pσ2-A)(h(φ1)-h(φ2)),x∈V′,a.e.t∈(0,∞)

(54)

μ=Rφ+Ψ′(φ1)-Ψ′(φ2),x∈H,a.e.t∈(0,∞)

(55)

σt+Rσ=-Cσh(φ1)-Cσ2(h(φ1)-h(φ2))-Bσ,x∈V′,a.e.t∈(0,∞)

(56)

φ|t=0=φ0,σ|t=0=σ0,x∈Ω

(57)

其中令φ0:=φ1,0-φ2,0，σ0:=σ1,0-σ2,0。

特別地，方程(54)在Ω上積分，有：

(58)

用φΩ來檢驗上面的方程，并利用h和σ2的有界性以及h的Lipschitz 連續(xù)條件，可以得到：

(59)

接下來，取式(54)和式(58)的差，并用N(φ-φΩ)來檢驗，得到:

(60)

用(φ-φΩ)來檢驗方程(55)，得到:

(61)

用σ來檢驗方程(56)，有:

(62)

結(jié)合式(59)-式(62)，可得:

(63)

由Poincare-Wirtinger 不等式和Ehrling 引理，有:

(64)

對于式(63)項的最后一項

(65)

聯(lián)立式(63)、式(64)和式(65)得:

(66)

然后，利用式(20)，并應(yīng)用Gronwall 引理

(67)

當(dāng)(φ0,1,σ0,1)=(φ0,2,σ0,2)得到唯一性。證畢。

3 結(jié)論

利用Aubin-Lions 引理、Lebesgue 控制收斂定理、Gronwall 引理以及一些常用的基本不等式，證明了腫瘤增長擴散界面模型在更一般的假設(shè)條件下并且忽略趨化性和某些化學(xué)物質(zhì)的影響下，可以得到該耦合方程組初邊值問題解的存在唯一性，并且從數(shù)學(xué)角度解釋了濃度σ(t,x)是有界的。