周啟航 趙飛龍

（1.中國直升機(jī)設(shè)計(jì)研究所，江西景德鎮(zhèn) 333001；2.61255部隊(duì)，山西侯馬 043013）

0.引言

直升機(jī)減速器是直升機(jī)傳動系統(tǒng)的重要組成部分，其主要作用是將發(fā)動機(jī)功率及轉(zhuǎn)速按照設(shè)計(jì)要求傳遞給旋翼、尾槳以及其他附件[1]。而減速器附件包括散熱風(fēng)扇、滑油泵以及發(fā)電機(jī)等，其中發(fā)電機(jī)將主減速器傳遞的功率轉(zhuǎn)化為電能為機(jī)上提供用電。本文基于集中參數(shù)法[2]，在考慮了軸承支承剛度的條件下，建立了某型直升機(jī)減速器附件發(fā)電機(jī)軸系的彎-扭耦合動力學(xué)模型并推導(dǎo)出其動力學(xué)方程，以此為基礎(chǔ)對某型直升機(jī)減速器附件發(fā)電機(jī)主軸斷裂問題進(jìn)行了模態(tài)分析，得到了其軸系前15階固有頻率及振型，為其主軸斷裂分析提供指導(dǎo)依據(jù)。

1.動力學(xué)模型及方程

某型直升機(jī)減速器附件發(fā)電機(jī)軸系裝配情況（簡化后）如圖1所示，其中錐齒輪端藍(lán)色為軸承A，直齒輪端綠色為軸承B，以及紅色為軸承C。

圖1 某型直升機(jī)減速器附件發(fā)電機(jī)軸系

1.1 彎-扭耦合動力學(xué)模型

根據(jù)減速器附件發(fā)電機(jī)軸系的結(jié)構(gòu)，將各個零部件編為1～5號，以此分別建立集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)，視其質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量全部集中在集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)處，并按照質(zhì)心不變的原則將兩個相鄰集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)間的軸段的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量向兩端的集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)上分配；將相鄰兩節(jié)點(diǎn)之間的軸段視為無質(zhì)量，但是具有彎曲、扭轉(zhuǎn)剛度的彈簧；根據(jù)以上原則建立傳動系統(tǒng)的彎-扭耦合動力學(xué)模型如圖2所示。如圖建立整體坐標(biāo)系xyz，其原點(diǎn)位于左側(cè)錐齒輪傳動的錐頂，z軸與齒輪軸同軸。

圖2 斷裂軸系動力學(xué)模型

在圖2中，m表示部件的質(zhì)量（單位：kg）；J表示部件的轉(zhuǎn)動慣量（單位：kg·m2）；kbx、kby表示軸段x、y方向上的彎曲剛度（單位：N/m）；kt表示軸段的扭轉(zhuǎn)剛度（單位：N·m/rad）；ksx、ksy表示軸承x、y方向上的支承剛度（單位：N/m）。

1.2 集中參數(shù)模型方程

建立了減速器附件發(fā)電機(jī)軸系的動力學(xué)模型后，根據(jù)它建立動力學(xué)方程。根據(jù)牛頓第二定律在總體坐標(biāo)系xyz下分別建立圖2中動力學(xué)模型各集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)的動力學(xué)方程。各集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)的動力學(xué)方程如下所示：

（1）錐齒輪—集中質(zhì)量圓盤M1：

（2）斜齒輪—集中質(zhì)量圓盤M2：

（3）電機(jī)轉(zhuǎn)子—集中質(zhì)量圓盤M3：

（4）集中質(zhì)量M4：

（5）集中質(zhì)量M5：

式（1）～（5）中，x為沿x方向的位移，單位：m；y為沿y方向的位移，單位：m；θ為沿扭轉(zhuǎn)方向的角位移，單位：rad；前面分別推導(dǎo)了各集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)的動力學(xué)方程及其分力表達(dá)式。將式（1）～（5）聯(lián)立，即得到相應(yīng)的動力學(xué)方程組。將動力學(xué)方程組寫成矩陣的形式為：

式中，[M]、[K]、[X]分別是系統(tǒng)動力學(xué)方程的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和位移向量。式（6）是一個15自由度的二階線性常微分方程組[3-13]。

2.參數(shù)求解

在推導(dǎo)了軸系的動力學(xué)方程之后，需要對方程中涉及的參數(shù)進(jìn)行求解。根據(jù)本報(bào)告中所建立的動力學(xué)模型和動力學(xué)方程，所涉及的參數(shù)有：各節(jié)點(diǎn)間軸段的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度、軸承節(jié)點(diǎn)的支承剛度、各集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)的等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動慣量。

2.1 軸段扭轉(zhuǎn)與彎曲剛度計(jì)算

式中，kb是彎曲剛度，kt是扭轉(zhuǎn)剛度，Iz是軸截面的二次矩，Ip是軸截面二次極矩，E是彈性模量，G是剪切模量，l是軸段的長度。其中軸段2是階梯軸，由商業(yè)軟件計(jì)算得到。計(jì)算結(jié)果如表1所示。

智樸“早年行腳諸方”，輾轉(zhuǎn)多地，歷經(jīng)艱辛。 “曾謁南華，憩佛日峰”，可見智樸曾于南華寺拜謁，后又在佛日峰小住一段時(shí)間。 一處是湖南鳳凰的翠疊南華，一處是江西贛州的世外仙境佛日峰，都是南宗禪修行的重要道場。 江西是曹洞宗的發(fā)源地，在此修行之后，智樸又去上海青浦隆福寺繼續(xù)深造，受記于青浦百愚凈斯大師，也因此成為曹洞宗第三十世。 智樸本為明官僚，明亡后出家為僧，潛心修佛。 曾親歷兵戈鐵馬的智樸強(qiáng)抑內(nèi)心的悲涼，遁入空門，依佛據(jù)典，清凈心靈。 構(gòu)庵青溝后的智樸洗盡鉛華，悠悠自在，涉獵廣泛，于詩文書畫都有佳作，他既是詩僧也是畫僧。

表1 各軸段的彎曲剛度和軸向剛度

2.2 節(jié)點(diǎn)質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量計(jì)算

在動力學(xué)建模時(shí)，將軸視為無質(zhì)量的彈簧，而軸本身的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量按照質(zhì)心不變的原則向兩側(cè)節(jié)點(diǎn)上分配。為了不失一般性，當(dāng)兩節(jié)點(diǎn)間的軸段j由s個截面尺寸不同的軸段組成時(shí)，如圖3（a）所示，對于這種階梯軸段可簡化為圖3（b）的模型，即將質(zhì)量分配集總到軸端兩端的節(jié)點(diǎn)上，而軸段本身簡化為無質(zhì)量的等截面彈性軸[14-18]。集總到兩端的質(zhì)量按照總質(zhì)量和質(zhì)心位置均不變的原則分配：

式中，ak為第k個等截面軸段的質(zhì)心到左端面的距離；μk為第k個等截面軸段單位長度的質(zhì)量；lk為第k個等截面軸段的長度；lj為第j個軸段的總長度。

如果第i個節(jié)點(diǎn)的左端是第j個軸段，右端是第j+1個軸段，則第i個節(jié)點(diǎn)的集總質(zhì)量為：

式中，mi為第i個節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量；為原本位于第i個節(jié)點(diǎn)處的構(gòu)件的質(zhì)量；為第j個軸段集總到右端的質(zhì)量；為第j+1個軸段集總到左端的質(zhì)量。

同樣道理，等效到軸段兩端的轉(zhuǎn)動慣量分別為：

式中，ak為第k個等截面軸段的質(zhì)心到左端面的距離；jk為第k個等截面軸段單位長度的轉(zhuǎn)動慣量；lk為第k個等截面軸段的長度；lj為第j個軸段的總長度；lj為第j個軸段的總長度。

如果第i個節(jié)點(diǎn)的左端是第j個軸段，右端是第j+1個軸段，則第i個節(jié)點(diǎn)的集總轉(zhuǎn)動慣量為：

式中，Ji為第i個節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量；為原本位于第i個節(jié)點(diǎn)處的構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量；為第j個軸段集總到右端的轉(zhuǎn)動慣量；為第j+1個軸段集總到左端的轉(zhuǎn)動慣量。

等效后各節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量如表2所列。

表2 各集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)的等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動慣量

2.3 軸承支承剛度計(jì)算

軸系支承中可裝有一個或幾個滾動軸承，如果裝有幾個軸承，可先分別求出各個軸承的剛度，再按彈簧并聯(lián)的方法求出整個軸承的等效剛度。一個滾動軸承的徑向剛度計(jì)算公式為：

式中，F(xiàn)為徑向載荷，單位N；δ1為軸承的徑向彈性位移，單位mm；δ2為軸承外圈與箱體孔的接觸變形，單位mm；δ3為軸承內(nèi)圈與軸徑的接觸變形，單位mm。

A、B、C 3個軸承分別為單列向心球軸承、雙列向心球面球軸承（因軸承內(nèi)表面與軸并未完全接觸，故按照兩個單列軸承來計(jì)算），其相關(guān)參數(shù)見表3。

表3 滾動軸承參數(shù)

軸承徑向支承剛度求解結(jié)果如表4所示。

表4 軸承徑向支承剛度

3.動力學(xué)求解結(jié)果

各階固有頻率如表5所示，其振型如圖4所示。其中自由度節(jié)點(diǎn)由左至右分別是x1到x5、y1到y(tǒng)5和θ1到θ5。

表5 軸系固有頻率

圖4 某型直升機(jī)減速器附件發(fā)電機(jī)軸系前5階振型

由圖5，第一階振型為 方向的扭轉(zhuǎn)；第二、三階振型為x、y方向的一彎振型；第四、五階為x、y方向上的二彎振型

4.結(jié)論

（1）某型直升機(jī)減速器附件發(fā)電機(jī)軸系的前5階固有頻率分為為0Hz、259Hz、259Hz、747Hz、747Hz。其中第二、三階共振轉(zhuǎn)速為15540rpm、振型為一階彎振，且一彎振型振幅最大處為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子，與主軸斷裂處位置一致；（2）軸系發(fā)生一彎共振的轉(zhuǎn)速在發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子最大工作轉(zhuǎn)速（14400rpm）±10%的范圍內(nèi)，不滿足GJB2350動力學(xué)特性的要求（傳動軸系上，任一段的臨界轉(zhuǎn)速和其工作轉(zhuǎn)速之間應(yīng)最少留有10%的裕度）。

由上可見，某型直升機(jī)減速器附件發(fā)電機(jī)軸系的最大工作轉(zhuǎn)速與其一彎振型共振轉(zhuǎn)速相近，會發(fā)生彎曲共振，由此導(dǎo)致減速器附件發(fā)電機(jī)主軸斷裂。