■冉淑華

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,其中蘊(yùn)含著豐富的分類(lèi)討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、換元思想、整體代換思想等。下面舉例說(shuō)明,供大家學(xué)習(xí)與提高。

一、分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想的基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題,分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題,通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略。

二、對(duì)稱思想

對(duì)稱思想是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法,對(duì)稱是一種美。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美主要表現(xiàn)在幾何圖形的對(duì)稱、式子的對(duì)稱、解題方法的對(duì)稱等方面。

三、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸思想,如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化等。

四、換元思想

解題時(shí),把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代換它,從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,這叫換元法。換元法的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

評(píng)析:在三角恒等變換中,有時(shí)可把一個(gè)代數(shù)式整體視為一個(gè)“元”來(lái)參與計(jì)算和推理,這個(gè)“元”可以明確地設(shè)出來(lái),但要注意新元的取值范圍。

五、方程思想

方程思想就是利用變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,通過(guò)解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,使問(wèn)題獲得解決。

六、整體代換思想

當(dāng)已知的代數(shù)式中不能求出每個(gè)字母的值或求出的值比較煩瑣時(shí),往往通過(guò)對(duì)比已知條件和所求問(wèn)題之間的聯(lián)系,考慮在所求問(wèn)題中把已知條件(或其變式)整體代入,從而使計(jì)算變得簡(jiǎn)潔。整體代換是換元思想的延伸。

例6 已知函數(shù)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(2020)=1,則f(2021)的值為( )。

A.-1 B.1 C.3 D.-3

解:因?yàn)閒(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)=asinα+bcosβ=1,所以f(2021)=asin(2021π+α)+bcos(2021π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinαbcosβ= - (asinα+bcosβ)= -1,即f(2021)=-1。應(yīng)選A。

評(píng)析:題中字母較多,不可能求出每個(gè)字母的值。利用f(2020)=1,得到asinα+bcosβ=1,從而可得f(2021)的值,這是整體代換思想的具體應(yīng)用。