■鐘小彧

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是高考命題的熱點(diǎn)之一。三角函數(shù)除具有一般函數(shù)的各種性質(zhì)外,還具有周期性和對(duì)稱性。三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中,要探究三角函數(shù)的解題規(guī)律和解題方法,多做典型題,多看其答案分析,才能學(xué)好這部分內(nèi)容。

題型1:象限角與終邊相同的角

(1)象限角α的集合表示:第一象限角表示為{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z},第二象限角表示為{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z},第三象限角表示為

{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈

Z},第四象限角表示為{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}。(2)判斷α是第幾象限角的三個(gè)步驟:將α寫成α=k·360°+β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式;判斷β的終邊所在的象限;根據(jù)β的終邊所在的象限,即可確定α的終邊所在的象限。(3)求解給定范圍內(nèi)終邊相同的角的方法:先寫出與角α終邊相同的角β,即β=α+k·360°(k∈Z),根據(jù)給定的范圍建立關(guān)于k的不等式,解出k的范圍,再根據(jù)k∈Z確定β。

(2)判斷下列各角分別是第幾象限角,請(qǐng)寫出與下列各角終邊相同的角β的集合S,并求出S中適合不等式-360°≤β＜360°的元素。①60°,②-21°。

(3)寫出終邊在x軸上的角的集合。

解:(1)因?yàn)?2010°=-6×360°+150°,所以與-2010°終邊相同的最小正角是150°。

(2)①60°是第一象限角,S={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S中適合-360°≤β＜360°的元素是:60°+(-1)×360°=-300°,60°+0×360°=60°。

②-21°是第四象限角,S= {β|β=-21°+k·360°,k∈Z},S中適合-360°≤β＜360°的元素是:-21°+0×360°=-21°,-21°+1×360°=339°。

(3)終邊在x軸的非負(fù)半軸上角的集合S1={β|β=k·360°,k∈Z},終邊在x軸的非正半軸上角的集合S2={β|β=k·360°+180°,k∈Z},所以終邊在x軸上的角的集合S=S1∪S2={β|β=k·360°,k∈Z}∪{β|β=k·360°+180°,k∈Z}={β|β=2k·180°,k∈Z}∪{β|β=2k·180°+180°,k∈Z}={β|β=2k·180°,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=n·180°,n∈Z}。

跟蹤訓(xùn)練1:已知角α=2020°。

阻止可能被外來動(dòng)物疾病污染的高風(fēng)險(xiǎn)原科進(jìn)入，這是合適的做法。幾個(gè)東歐國家也已經(jīng)出現(xiàn)了非洲豬瘟病毒。受供應(yīng)鏈的約束，生產(chǎn)商很難將整個(gè)產(chǎn)業(yè)脫離亞洲等原科提供國，但如果原料不太可能被污染，則沒有必要這么做。此時(shí)要根據(jù)評(píng)估原料傳播風(fēng)險(xiǎn)的決策樹，與飼料或原料供應(yīng)商商討原料的安全性。

(1)把α改寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式,并指出它是第幾象限角。

(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ＜720°。

提示:(1)由α=5×360°+220°,可得α是第三象限角。

(2)與α終邊相同的角為k·360°+2020°,k∈Z。因?yàn)棣扰cα終邊相同且-360°≤θ＜720°,所以當(dāng)k=-6,k=-5,k=-4 時(shí),與α終邊相同的角θ為-140°,220°,580°。

題型2:三角函數(shù)在各象限的符號(hào)

判斷角的終邊位置是判斷該角的三角函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)鍵,要熟記正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)規(guī)律。

例2 (1)若cosα＞0,sinα＜0,則角α的終邊在( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解:(1)由cosα＞0,可得角α的終邊在第一象限或第四象限或x軸的正半軸上。由sinα＜0,可得角α的終邊在第三象限或第四象限或y軸的負(fù)半軸上。綜上可得,角α的終邊在第四象限。應(yīng)選D。

(2)①由105°,230°分別為第二、第三象限角,可得sin105°＞0,cos230°＜0,所以sin105°·cos230°＜0。

題型4:與三角函數(shù)有關(guān)的定義域問題

與三角函數(shù)有關(guān)的定義域問題,要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制,同時(shí)要注意求一個(gè)固定集合與一個(gè)含有無限多段的集合的交集時(shí),可以取特殊值把不固定的集合寫成若干個(gè)固定集合再求交集。

題型5:誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

在利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值時(shí),先把已知角化為k·360°+α(k為整數(shù),0°≤α＜360°)或2kπ+β(k為整數(shù),0≤β＜2π)的形式,再把原三角函數(shù)化為角α或角β的同名三角函數(shù),借助特殊角的三角函數(shù)或任意角的三角函數(shù)的定義達(dá)到化簡(jiǎn)與求值的目的。

題型6:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

(1)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的單調(diào)區(qū)間的常用方法:采用換元法,令z=ωx+φ,通過求y=Asinz的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)比較三角函數(shù)值大小的三個(gè)步驟:異名函數(shù)化為同名函數(shù);利用誘導(dǎo)公式把角化到同一單調(diào)區(qū)間上;利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小。(3)對(duì)于形如y=Asin(ωx+φ)+k(A≠0,ω≠0)的函數(shù),當(dāng)定義域?yàn)镽 時(shí),值域?yàn)閇-|A|+k,|A|+k];當(dāng)定義域?yàn)槟硞€(gè)給定區(qū)間時(shí),需確定ωx+φ的范圍,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定值域。

題型7:正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

題型8:兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

應(yīng)用兩角和與差公式的三個(gè)注意點(diǎn):要注意公式的正用、逆用和變形應(yīng)用,尤其要積極創(chuàng)造條件逆用公式;注意拆角、拼角的技巧,將未知角用已知角表示出來,使之能直接運(yùn)用公式;注意常值代換,如“1”的代換,1=sin2α+cos2α,1=sin90°等。

例8 化簡(jiǎn)求值。(1)sin(x+27°)·cos(18°-x)-sin(63°-x)sin(x-18°)。

題型9:二倍角的正弦、余弦和正切公式

題型10:簡(jiǎn)單的三角恒等變換

三角恒等變換就是熟練運(yùn)用所學(xué)公式,將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)成某一個(gè)角的三角函數(shù),再綜合討論三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。三角恒等變換中的“三變”:變角,觀察問題中角之間的關(guān)系,把未知角分解成已知角的和、差、倍、半角;變名,盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱,如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切;變式,觀察式子的結(jié)構(gòu)差異,選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?如升冪、降冪、配方、開方等。

題型11:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的應(yīng)用