滿大偉，徐德衡，張紅亞，康小方

（安徽建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，安徽 合肥 230601）

傳統(tǒng)的線性壓電俘能器在環(huán)境振動頻率偏離其固有頻率時的俘能效率很低，為了解決這個問題，能產(chǎn)生寬頻、大幅阱間運動的多穩(wěn)態(tài)壓電俘能系統(tǒng)受到了廣泛關(guān)注。Mcinnes等建立了雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的理論分析模型，利用隨機(jī)共振機(jī)理提高了系統(tǒng)的俘能表現(xiàn)。Stanton等建立了懸臂梁式雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的分布參數(shù)模型，基于諧波平衡法對其工作特性進(jìn)行了分析。然而在激勵強(qiáng)度較弱時，雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器很難突破勢壘進(jìn)入阱間運動。于是，Zhu等設(shè)計了一種磁力式三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器，通過實驗證明其在低強(qiáng)度激勵時的俘能效果要明顯優(yōu)于雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器。Cao等分析了勢阱深度對三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器性能的影響，發(fā)現(xiàn)較淺的勢阱可以提高系統(tǒng)在低強(qiáng)度激勵下的有效工作頻帶寬度。Zhou等基于諧波平衡法對三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的穩(wěn)態(tài)動力響應(yīng)進(jìn)行了分析。以上關(guān)于三穩(wěn)態(tài)壓電俘能系統(tǒng)的調(diào)參優(yōu)化均為對力電耦合方程中各項系數(shù)大小的直接調(diào)節(jié)。

基于上述不足，本文利用廣義Hamilton原理建立了磁力式三穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁俘能器的分布參數(shù)模型，并基于多尺度法獲得了該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解析表達(dá)式。針對兩種典型的壓電材料，研究了初始起振點位置，壓電常數(shù)和介電常數(shù)等對三穩(wěn)態(tài)壓電俘能系統(tǒng)性能的影響。

1 三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器建模

如圖1所示，壓電懸臂梁由金屬基層和壓電層組成，一對壓電層粘附在基層的上、下表面。梁左端固定在一個可振動的基座上，自由端固定一塊永磁鐵，另有兩塊永磁鐵對稱固定在梁外側(cè)的支架上。梁自由端磁鐵和外側(cè)磁鐵形心之間的水平距離為d，兩外側(cè)磁鐵形心之間的豎向距離為2d。懸臂梁的長度為l，寬度為b?；鶎拥暮穸葹閔，單個壓電層的厚度為t，外接回路的負(fù)載電阻為R。以水平方向為x軸，豎直方向為y軸。

圖1 壓電懸臂梁俘能結(jié)構(gòu)模型

ν

（t）表示基座振動時的位移，s為沿梁中性軸方向的坐標(biāo)。

ν

（s，t）表示梁s處相對于其固定端的位移，基層和壓電層的本構(gòu)關(guān)系如下：

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)如下：

式中：T代表動能，U代表應(yīng)變能，W代表電場的電勢能，U代表磁力勢能，分別表示如下：

式中：

ν

（l，t）表示梁s=l處的位移；m為單位長度梁的等效質(zhì)量，m=2

ρ

tb+

ρ

hb，其中

ρ

和

ρ

分別為壓電層和基層的密度，M為梁端磁鐵的質(zhì)量。

式 中：h=h/2，YI=YI+YI，YI和YI分 別 表示基層和壓電層的抗彎剛度。

利用伽遼金法且只考慮一階模態(tài)

式中：

φ

(

s

)

η

和)

η

(

t

)分別為梁的第1階模態(tài)振型函數(shù)和廣義模態(tài)坐標(biāo)，振型函數(shù)的計算見文 獻(xiàn)[10]。根據(jù)文獻(xiàn)[6]的磁偶極子模型，以

η

（

t

）為自變量對U在

η

（

t

）=0處進(jìn)行泰勒展開，可得：

其中：真空磁導(dǎo)率

μ

=4

π

×10

H

·

m

，

M

、

M

、

M

分別為磁鐵A、B和C的磁化強(qiáng)度，

V

、

V

、

V

分別為磁鐵A、B和C的體積。

利用式（7）將方程（2）代入拉格朗日變分方程：

則方程（10）和方程（11）可化為：

2 多尺度法求解

系統(tǒng)的總勢能函數(shù)為：

圖2 三穩(wěn)態(tài)勢能曲線

引入小參數(shù)

ε

和新的時間變量

T

，

T

，

T

，…，即

對時間

τ

的導(dǎo)數(shù)為

式中

D

為偏微分算子??/

T

的記號。

系統(tǒng)位移和輸出電壓響應(yīng)分別為

在系統(tǒng)處于阱間和內(nèi)側(cè)阱內(nèi)運動時，設(shè)式（12）中的阻尼項、非線性項系數(shù)、力電耦合系數(shù)以及外部激勵項為

ε

階，即：

將式（18）代入式（12），得

為了表示激勵頻率和內(nèi)側(cè)勢阱線性化固有頻率之間的接近程度，設(shè)

將式（16）、式（17）和式（20）代入式（19），略去

ε

的二階及以上項，并令

ε

、

ε

的系數(shù)分別為零，參照作者之前工作中的推導(dǎo)，可得

僅取一項，阱間和內(nèi)側(cè)阱內(nèi)運動方程的穩(wěn)態(tài)解為：

阱間和內(nèi)側(cè)阱內(nèi)運動穩(wěn)態(tài)輸出功率幅值

P

為：

解的穩(wěn)定性可根據(jù)Routh-Hurwitz方法判定。

3 計算結(jié)果分析

本節(jié)重點分析和討論磁鐵間相對位置，內(nèi)、外側(cè)阱深，壓電常數(shù)和介電常數(shù)等對系統(tǒng)性能的影響。系統(tǒng)的物理參數(shù)如下：

3.1 內(nèi)、外阱深及初始起振點對系統(tǒng)響應(yīng)的影響

為了研究ΔU和ΔU對三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，圖3給出了ΔU不變ΔU依次減?。╟ase1，case2，case3）以及ΔU不變ΔU依次減小（case1，case4，case5）兩種情況下的系統(tǒng)勢能曲線。由圖3可知，當(dāng)ΔU不變時，隨著ΔU的減小，內(nèi)側(cè)阱寬增大，外側(cè)阱寬減小，三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)逐漸退化為單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。而當(dāng)ΔU不變時，隨著ΔU的減小，內(nèi)側(cè)阱寬減小，外側(cè)阱寬增大，三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)逐漸退化為雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。

圖3 case1～case5勢能曲線

取激勵頻率

ω

=0.8，初始激勵力幅f=0.0015，初始速度

x

和初始電壓V均為零，圖4、圖6和圖8所示分別為case1、case2和case4系統(tǒng)從各自勢能曲線的平衡點1和3處（分別對應(yīng)左側(cè)和內(nèi)側(cè)阱底）起振的相圖，圖5、圖7和圖9為相應(yīng)的位移時程圖。case1的內(nèi)、外側(cè)阱深相同，由圖4和圖5可知：當(dāng)從平衡點1起振時，case1僅能在左側(cè)阱底做小幅阱內(nèi)運動。而當(dāng)起振位置為平衡點3時，由于激勵頻率接近case1的內(nèi)側(cè)勢阱固有頻率（

ω

=0.77），case1能越過勢壘做大幅阱間運動。

圖4 不同起振位置的case1相圖 （a）平衡點1，（b）平衡點3

圖5 不同起振位置的case1位移時程圖 （a）平衡點1，（b）平衡點3

case2的內(nèi)側(cè)阱深與case1相同，而外側(cè)阱深小于case1。圖6（a）和圖7（a）表明：從平衡點1起振時，阱深較淺的case2在經(jīng)歷短時間的混沌運動后跳出左側(cè)勢壘進(jìn)入內(nèi)側(cè)勢阱做小幅運動。比較圖4（b）、圖5（b）和圖6（b）、圖7（b）可知：從平衡點3起振時，case1與case2在穩(wěn)態(tài)時均可做大幅阱間運動，但由于case2的內(nèi)側(cè)勢阱固有頻率（

ω

=0.72）和激勵頻率之間的偏差稍大于前者，于是它在進(jìn)行大幅阱間運動之前經(jīng)歷了更長時間的混沌運動狀態(tài)。

圖6 不同起振位置的case2相圖 （a）平衡點1，（b）平衡點3

圖7 不同起振位置的case2位移時程圖 （a）平衡點1，（b）平衡點3

case4的外側(cè)阱深與case1相同，而內(nèi)側(cè)阱深小于case1。由圖8和圖9可以看出，case4從平衡點1和3處起振時，初始階段均處于混沌運動狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)時前者進(jìn)入左側(cè)阱內(nèi)做小幅振動，后者則擺脫勢阱束縛進(jìn)行大幅阱間運動。

圖8 不同起振位置的case4相圖 （a）平衡點1，（b）平衡點3

圖9 不同起振位置的case4位移時程圖 （a）平衡點1，（b）平衡點3

為了利用多尺度法研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)情況，取負(fù)載電阻

R

=200 kΩ，

f

=0.0025，圖10和圖11所示為固定ΔU改變ΔU（case1，case2，case3）以及固定ΔU改變ΔU（case1，case4，case5）兩種情況下的系統(tǒng)位移和輸出電壓幅值頻響曲線，其中實線部分表示穩(wěn)定解，虛線部分表示不穩(wěn)定解。圖10表明：對于給定的足夠大的激勵力幅，存在一個臨界激勵頻率，當(dāng)

ω

小于該臨界值時，系統(tǒng)只產(chǎn)生阱間運動，該臨界頻率隨著ΔU（ΔU相等）或ΔU（ΔU相等）的減小而減小。當(dāng)

ω

大于該臨界值時，系統(tǒng)進(jìn)入多解區(qū)間，此時隨著

ω

的增大，阱間位移增大而內(nèi)側(cè)阱內(nèi)位移減小。之后隨著

ω

的進(jìn)一步增大，阱間運動消失。從圖10和圖11還可看出，ΔU（ΔU不變）或ΔU（ΔU不變）越小，則阱間運動的頻帶寬度越小，位移峰值越大。圖10將利用多尺度法求出的解析解與利用MATLAB中的ode45求出的數(shù)值解進(jìn)行了對比，結(jié)果表明，對于穩(wěn)定解兩者的計算結(jié)果吻合良好。

圖10 不同工況下位移幅值頻響曲線

圖11 不同工況下輸出電壓幅值頻響曲線

3.2 材料參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響

為了研究壓電常數(shù)

d

對系統(tǒng)俘能效果的影響，假定PZT-5A和PZT-5H的其它各項特性參數(shù)不變，取

d

=8mm，

d

=21mm，

f

=0.0025，

R

=100 kΩ。圖12（a）給出了兩種激勵頻率（

ω

=1，

ω

=2）下PZT-5A和PZT-5H懸臂梁的阱間穩(wěn)定輸出功率幅值隨

d

變化曲線，可以看出：

ω

不變時，兩種壓電材料的阱間穩(wěn)定輸出功率幅值均隨著

d

的增加而增大。

ω

越大，輸出功率幅值增大越快；當(dāng)

d

增大到一定程度時，阱間運動消失，且

ω

越大，阱間運動消失的越早，這是由于隨著

d

的增大，較多的俘獲能量抑制了梁的振幅；在單獨改變

d

大小的過程中，PZT-5A的阱間俘能表現(xiàn)要優(yōu)于PZT-5H，因為前者有著較小的介電常數(shù)。圖12（b）所示為PZT-5A和PZT-5H梁的阱間峰值功率隨

d

變化曲線，由圖可知兩種壓電材料的阱間峰值功率隨著

d

的增大均表現(xiàn)出先增大后減小的變化趨勢，當(dāng)

d

較大時，PZT-5H梁能產(chǎn)生更大的峰值功率。

圖12 阱間運動輸出功率隨壓電常數(shù)變化曲線

圖13 阱間運動穩(wěn)定輸出功率隨介電常數(shù)變化曲線

圖14 阱間運動最優(yōu)負(fù)載電阻隨壓電常數(shù)變化曲線

圖15 阱間運動最優(yōu)負(fù)載電阻隨介電常數(shù)變化曲線

4 結(jié)論

（1）根據(jù)激勵頻率和力幅的大小，通過選取合適的起振位置或者調(diào)節(jié)磁鐵間距來改變內(nèi)、外勢阱深度，均可使三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)突破勢壘障礙，產(chǎn)生大幅阱間運動。

（2）單側(cè)阱深相同時，隨著另一側(cè)阱深的減小，阱間頻帶寬度減小，而位移和電壓幅值增大。根據(jù)不同的激勵條件，通過改變磁鐵間距形成合適的內(nèi)、外阱深，可提高系統(tǒng)俘能效率。

（3）阱間穩(wěn)定輸出功率幅值和最優(yōu)負(fù)載阻抗均隨著d31的增加而增大，隨著的增加而減小。過大的d31或過小的均會抑制梁的振動，從而使系統(tǒng)無法進(jìn)入大幅阱間運動。