梁 鍇,曹丹平,孫上饒,張佳佳,印興耀

(中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島 266580)

地球介質(zhì)廣泛存在波動各向異性,而TI介質(zhì)是常見的各向異性介質(zhì)之一,許多專家和學(xué)者對各向異性介質(zhì)的地震波正反演問題進(jìn)行了深入的研究[1-3]。速度是研究地震波傳播規(guī)律和描述介質(zhì)特性的重要參數(shù),是彈性波傳播理論中的核心內(nèi)容。單一諧波等相位面?zhèn)鞑サ乃俣葹橄嗨俣?復(fù)合波振幅包絡(luò)傳播的速度為群速度,稱為能量速度或射線速度。Berryman[4]推導(dǎo)了TI介質(zhì)由相速度計算群速度的理論公式,Crampin[5]將其推廣到三維情況。在此基礎(chǔ)上,吳國忱等[6-8]分別研究了TTI介質(zhì)、任意空間取向TI介質(zhì)和任意各向異性介質(zhì)相速度和群速度的精確公式。由于這些各向異性介質(zhì)群速度的精確表達(dá)式比較復(fù)雜,與各向異性參數(shù)呈非線性關(guān)系,不利于分析各向異性程度對群速度的影響,在實際應(yīng)用中也有諸多不便,所以許多學(xué)者對群速度的近似表征進(jìn)行了重點研究。一方面,Fomel[9]、Sripanich和Fomel[10]、Hao和Stovas[11]分別研究了VTI介質(zhì)和正交各向異性介質(zhì)qP波相速度和群速度的非橢圓近似。Stovas和Fomel[12]提出了一種關(guān)于qP波的廣義速度近似,該近似表征下相速度和群速度具有相同的形式。另一方面,Thomsen[13]對多種巖石的速度和各向異性參數(shù)進(jìn)行了測量和計算,發(fā)現(xiàn)多數(shù)巖石具有弱各向異性的特點。在此基礎(chǔ)上提出了弱各向異性近似,并推導(dǎo)了TI介質(zhì)彈性波相速度和群速度的弱各向異性近似表征,該表達(dá)式形式較簡單,并且是各向異性參數(shù)的線性函數(shù),所以得到了廣泛的應(yīng)用,許多學(xué)者基于弱各向異性近似開展了相關(guān)工作。李磊等[14-18]研究了弱各向異性近似下TI介質(zhì)、正交各向異性介質(zhì)、任意各向異性介質(zhì)彈性波相速度和群速度的線性表征。這些弱各向異性近似表征的適用條件是要求各向異性參數(shù)很小,而Thomsen[13]研究表明,部分巖石(例如頁巖)的各向異性參數(shù)數(shù)值較大,這時弱各向異性近似就可能不再適用了。谷一鵬等[19]在研究VTI介質(zhì)相速度時發(fā)現(xiàn),對于Mesaverde泥頁巖等強(qiáng)各向異性情況,qSV波的弱各向異性近似值與精確值最大相對誤差超過10%,因此提出了一種擴(kuò)展各向異性線性近似表征方法來研究VTI介質(zhì)彈性波相速度的近似表征。目前,強(qiáng)各向異性情況下群速度的近似表征往往是關(guān)于各向異性參數(shù)的非線性函數(shù),相對比較復(fù)雜。筆者根據(jù)多元函數(shù)線性化理論,將擴(kuò)展各向異性線性近似方法[19]從VTI介質(zhì)相速度近似表征引入到群速度近似表征中,通過構(gòu)造雅可比矩陣,推導(dǎo)VTI介質(zhì)地震波群速度三維擴(kuò)展各向異性線性近似表征,進(jìn)行理論分析和數(shù)值計算。

1 VTI介質(zhì)彈性波群速度精確和近似表征

1.1 精確表征

VTI介質(zhì)彈性波波動方程詳盡描述了VTI介質(zhì)中各質(zhì)點在不同時刻的位移情況和彈性波在VTI介質(zhì)中的傳播規(guī)律。將平面波解代入VTI介質(zhì)彈性波波動方程中并忽略震源項,就可以得到VTI介質(zhì)的Christoffel方程。根據(jù)本征值問題解法,在Christoffel方程系數(shù)矩陣行列式為零的條件下,求解得到VTI介質(zhì)彈性波相速度的精確表征[20],即

(1)

其中

D=[(2ε+f)sin2θ-fcos2θ]2+4(2δ+f)fsin2θcos2θ,

式中,VP0、VS0分別為qP波和qS波沿VTI介質(zhì)對稱軸傳播的相速度;ε、δ和γ為Thomsen提出的表示TI介質(zhì)各向異性強(qiáng)度的3個無量綱因子[13];θ為傳播極角。

Berryman[4]和Crampin[5]推導(dǎo)的由各向異性介質(zhì)相速度V計算群速度VG=(VGx,VGy,VGz)T的表達(dá)式[6]為

(2)

(3)

(4)

(5)

理論分析表明,qP波和qSV波群速度精確表征式(3)和(4)是參數(shù)VP0、VS0、ε、δ和傳播角θ、φ的非線性函數(shù),形式比較復(fù)雜。SH波群速度表征式(5)僅僅是參數(shù)VS0、γ和傳播角θ、φ的非線性函數(shù),而與參數(shù)VP0、ε、δ無關(guān)。

1.2 弱各向異性線性近似表征

(6)

(7)

(8)

式(6)～(8)是在Thomsen文獻(xiàn)[13]基礎(chǔ)上推導(dǎo)整理得到。理論分析發(fā)現(xiàn),qP波和qSV波群速度弱各向異性近似式(6)和(7)是ε和δ的線性函數(shù),SH波群速度弱各向異性近似式(8)是γ的線性函數(shù),上述表達(dá)式的形式相對簡單,便于討論各向異性參數(shù)對彈性波群速度的影響。

1.3 擴(kuò)展各向異性線性近似表征

雖然VTI介質(zhì)彈性波群速度的弱各向異性近似表征形式相對簡單,應(yīng)用廣泛,但是部分地層的各向異性參數(shù)數(shù)值較大(例如頁巖),這時弱各向異性近似就可能不再適用。

根據(jù)高等微積分理論可以證明,由雅可比矩陣J(x0)描述的線性算子就是函數(shù)F(x)在x0點附近的最優(yōu)線性逼近,也就是說,當(dāng)x足夠靠近x0點時,

F(x)≈F(x0)+J(x)·(x-x0).

(9)

即F(x)可在x0點進(jìn)行線性化近似。

本文中將VTI介質(zhì)地震波群速度的精確表征看作是各向異性參數(shù)ε、δ和γ的函數(shù),采用擴(kuò)展各向異性線性近似[19]對群速度進(jìn)行表征,即將群速度精確表達(dá)式在參考點(ε0,δ0,γ0)處進(jìn)行關(guān)于各向異性參數(shù)的一階Taylor展開,通過構(gòu)造雅可比矩陣來建立群速度擴(kuò)展各向異性線性近似表征。

(10)

其中

(11)

(12)

(13)

(14)

由群速度精確表征與各向異性參數(shù)關(guān)系可知

(15)

由式(10)～(15)可以組成雅可比矩陣,并將參考點(ε0,δ0,γ0)數(shù)值代入其中,得到參考點(ε0,δ0,γ0)處的雅可比矩陣J(ε0,δ0,γ0),即

(16)

根據(jù)參考點處的雅可比矩陣J(ε0,δ0,γ0)和多元函數(shù)一階Taylor展開線性化理論,可以得到VTI介質(zhì)彈性波群速度擴(kuò)展各向異性線性近似表征,即

(17)

(18)

同理,qSV波群速度擴(kuò)展各向異性線性近似為

(19)

SH波群速度擴(kuò)展各向異性線性近似為

(20)

qP波和qSV波群速度擴(kuò)展各向異性線性近似式(18)和(19)仍然是ε和δ的線性函數(shù),SH波群速度擴(kuò)展各向異性線性近似式(20)也仍然是γ的線性函數(shù),這說明VTI介質(zhì)彈性波群速度擴(kuò)展各向異性線性近似式很好地保持了群速度關(guān)于各向異性參數(shù)的線性關(guān)系,利于分析各向異性參數(shù)對群速度的影響。另一方面,理論分析證明,當(dāng)參考點選為(ε0,δ0,γ0)=(0,0,0)時,群速度擴(kuò)展各向異性線性近似表征就退化為弱各向異性近似表征,說明弱各向異性近似表征是擴(kuò)展各向異性線性近似表征的特例,而擴(kuò)展各向異性線性近似表征是弱各向異性近似表征的有效擴(kuò)展。

2 數(shù)值示例

為了驗證VTI介質(zhì)彈性波群速度擴(kuò)展各向異性線性近似式(18)～(20)的適用性,根據(jù)文獻(xiàn)[13]選取兩組VTI介質(zhì)模型進(jìn)行數(shù)值計算。重點考慮各向異性參數(shù)的影響,兩組模型的VP0和VS0均相同,數(shù)值為VP0=2 000 m/s,VS0=1 000 m/s,各向異性參數(shù)如表1所示。其中模型A的ε<δ,且3個各向異性參數(shù)均較大,模型B的ε>δ,且部分各向異性參數(shù)較大。

表1 模型參數(shù)Tabel 1 Anisotropic parameters of models

針對模型A,由精確表征式(3)～(5)計算的群速度如圖1所示,由弱各向異性近似表征式(6)～(8)計算的群速度如圖2所示,在參考點(ε0,δ0,γ0)=(0.3,0.3,0.3)處由擴(kuò)展各向異性線性近似公式(18)～(20)計算的群速度如圖3所示。由圖3可見,弱各向異性近似值與精確值存在較大差異,說明當(dāng)介質(zhì)各向異性參數(shù)較大時,弱各向異性近似就可能不再適用;而擴(kuò)展各向異性線性近似值與精確值吻合較好,說明擴(kuò)展各向異性線性近似表征能夠適用各向異性參數(shù)較大的情況。為了進(jìn)行對比,計算模型A的xoz面內(nèi)的精確和近似群速度,如圖4所示。計算兩種近似群速度的相對誤差如圖5所示。根據(jù)圖5數(shù)據(jù)計算表明,模型A中弱各向異性近似值對qP波、qSV波和SH波的相對誤差最大幅值分別為6.5%、-19.2%和7.6%,而擴(kuò)展各向異性線性近似值對qP波、qSV波和SH波的相對誤差最大幅值分別為1.3%、-1.5%和1.3%,說明擴(kuò)展各向異性線性近似表征的相對誤差要明顯小于弱各向異性表征。

圖1 模型A群速度的精確值Fig.1 Exact value of group velocity for model A

圖2 模型A群速度的弱各向異性近似值Fig.2 Weak anisotropic approximation of group velocity for model A

圖3 模型A群速度的擴(kuò)展各向異性線性近似值Fig.3 Extended anisotropic linear approximation of group velocity for model A

圖4 xoz面內(nèi)模型A的精確和近似群速度Fig.4 Exact and approximate group velocities in xoz plane for model A

同理計算模型B的精確值和近似群速度及其相對誤差,如圖6～10所示,其中擴(kuò)展各向異性線性近似的參考點為(ε0,δ0,γ0)=(0.3,0,0.3)。根據(jù)圖10數(shù)據(jù)計算表明,模型B中弱各向異性近似值對qP波、qSV波和SH波的相對誤差最大幅值分別為2.3%、11.3%和5.7%,而擴(kuò)展各向異性線性近似值對qP波、qSV波和SH波的相對誤差最大幅值分別為0.077%、-0.11%和0.62%,同樣說明擴(kuò)展各向異性線性近似表征的精度較高,并且參考點的選擇會影響擴(kuò)展各向異性線性近似表征的精度。

圖5 xoz面內(nèi)模型A近似群速度的相對誤差Fig.5 Relative error of approximate group velocity in xoz plane for model A

圖6 模型B群速度的精確值Fig.6 Exact value of group velocity for model B

圖7 模型B群速度的弱各向異性近似值Fig.7 Weak anisotropic approximation of group velocity for model B

圖8 模型B群速度的擴(kuò)展各向異性線性近似值Fig.8 Extended anisotropic linear approximation of group velocity for model B

圖9 xoz面內(nèi)模型B的精確和近似群速度Fig.9 Exact and approximate group velocities in xoz plane for model B

圖10 xoz面內(nèi)模型B近似群速度的相對誤差Fig.10 Relative error of approximate group velocity in xoz plane for model B

3 結(jié)束語

根據(jù)VTI介質(zhì)彈性波群速度的精確表征,將群速度函數(shù)在參考點(ε0,δ0,γ0)處進(jìn)行一階Taylor展開的線性化處理,利用雅可比矩陣推導(dǎo)群速度擴(kuò)展各向異性線性近似表征。理論分析和數(shù)值示例表明,擴(kuò)展各向異性線性近似表征保持了對各向異性參數(shù)的線性關(guān)系,它是弱各向異性近似表征的有效擴(kuò)展,而弱各向異性近似表征是擴(kuò)展各向異性線性近似表征的特例。通過調(diào)節(jié)參考點取值,即使各向異性參數(shù)較大時,擴(kuò)展各向異性線性近似表征也能與精確表征吻合較好,具有較高精度。所以擴(kuò)展各向異性線性近似不僅適用于各向異性參數(shù)較小的情況,而且也適用于各向異性參數(shù)較大的情況。