史文譜,閆家正,王 浩

(煙臺大學機電汽車工程學院,山東 煙臺 264005)

多跨梁的穩(wěn)態(tài)振動問題屬于動態(tài)靜不定問題,在橋梁工程、海港碼頭、土木建筑、航空航天等領域普遍存在,文獻[1]中介紹的解除約束法、三彎矩法和力法以及文獻[2]中提出的積分法僅能用于求解多跨梁的靜態(tài)問題,在機械振動或結構動力學中探討的彈性體的振動問題也只是限于沒有多余約束的情形。王海林等[3]對超靜定梁的變形計算提出的階躍函數(shù)和拉普拉斯變換相結合的一種方法,對于梁上作用有集中載荷的場合處理起來較為方便;此外還有精細傳遞矩陣法[4]。周叮[5]針對多跨梁和板結構的振動問題提出了廣義梁函數(shù),并結合應用李茲法進行了近似分析和計算;王真等[6]利用有限元法和車橋單元建立了車橋耦合系統(tǒng)的數(shù)學模型,采用獨立模態(tài)空間控制法可實現(xiàn)對移動載荷作用下多跨梁振動的少數(shù)模態(tài)主動控制的目標;熊劍鋒等[7]利用傅里葉級數(shù)展開、哈密頓原理和伽遼金方法研究了輪印載荷下多跨梁最危險工況的計算,相比有限元法有較高的收斂速度;文獻[8]中作者基于多跨梁彎矩理論建立的船舶管道系統(tǒng)的五跨沖擊響應模型,對于研究大型復雜管道系統(tǒng)的抗沖擊性能具有較高的近似精度;針對多跨梁的動態(tài)響應計算問題還有文獻[9]中提出的沃爾特拉積分方程法、文獻[10]提出的動態(tài)格林函數(shù)公式法以及文獻[11]提出的假設模態(tài)法。有別于上述文獻中的方法,本文針對鉸支多跨梁在穩(wěn)態(tài)載荷作用下的動態(tài)撓度計算問題提出的正弦級數(shù)解法,推導簡單,算法統(tǒng)一,編程簡單,易于電算,收斂速度快,給出的2個算例說明了方法的可行性。

1 問題模型及分析

圖1是一根鉸支多跨梁A0An,承受穩(wěn)態(tài)分布載荷q(x,t)=Q(x)e-iωt的作用。多跨梁共有n+1個鉸支,中間鉸支分別標記為Aj(j=1,2,…,n-1),第j個鉸支到左端鉸支點A0的距離為Lj(j=1,2,…,n),梁材質的楊氏模量為E,截面慣性矩為J,建立圖示坐標系xA0y。

圖1 鉸支多跨梁的受力Fig.1 Loaded force of hinged beams with multiple spans

從梁上任意位置x處選取單元體dx,并進行受力分析如圖2。

圖2 梁單元受力分析Fig.2 Force analysis of beam element

根據(jù)材料力學和牛頓第二定律有

(1)

其中：w(x,t)是梁的撓度函數(shù),wtt(x,t)是撓度關于時間t的二階導數(shù),wxx(x,t)是撓度關于變量x的二階導數(shù),ρ和S分別是梁的質量體積密度和橫截面積。

整理式(1)得

(2)

其中：wxxxx是梁的撓度函數(shù)w(x,t)關于坐標x的四階導數(shù)。

穩(wěn)態(tài)振動時,假設w(x,t)=W(x)e-iωt,同時將q(x,t)=Q(x)e-iωt一并代入式(2)中有

Wxxxx-K2W=Q/EJ,

(3)

根據(jù)問題的邊界條件,多跨梁在鉸支點A0,A1,…,An處的撓度均為零,并假設中間多余約束支撐點A1,A2,…,An-1處的支反力分別為p1,p2,…,pn-1,方向向下,同時假設預先滿足兩端鉸支點A0和An處撓度為零邊界條件的撓度函數(shù)幅值取如下正弦級數(shù)形式

(4)

其中,ak(k=1,2,…)是待定系數(shù)。

由于在中間鉸支點A1,A2,…,An-1處的撓度也為零,故式(4)還需滿足下列方程組

(5)

假設支反力p1,p2,…,pn-1分別取Pje-iωt,(j=1,2,…,n-1),考慮上支反力,且利用廣義函數(shù)δ的定義和性質,方程(3)改寫為

(6)

其中,廣義函數(shù)δ(x-Lj)定義為

其中,式(6)中的Pj(j=1,2,…,n-1)是第j個鉸支點處支反力的幅值。

(7)

(8)

因而

j=1,2,…,n-1;k=1,2,…,

將式(9)代入式(5)中有

(10)

r=1,2,…,n-1,

(11)

式(11)是關于Pj(j=1,2,…,n-1)的線性方程組,求得Pj(j=1,2,…,n-1)后,即可求得cjk(j=1,2,…,n-1;k=1,2,…)和ak(k=1,2,…),最后可確定出梁的撓度函數(shù)幅值W(x)。

此外,從式(6)容易看出,當載荷頻率ω→0,即K→0時,它將退化為多跨梁的靜態(tài)變形問題,且靜態(tài)撓度w(0)(x)滿足下列方程

(12)

為了說明文中方法的可行性,對于方程(12)的求解是采用文獻[1]中的解除約束法完成的,并用于算例的驗算。

2 算例與分析

算例1考慮只有一個中間鉸支A1的情形,已知L1=3 m,L2=7 m。梁采用方管制作,方管截面外部寬高分別為b=0.21 m和h=0.41 m;內(nèi)部寬高分別為b1=0.19 m和h1=0.39 m;方管材質楊氏模量為E=2.5×109N/m2;外載線分布密度為Q=260 N/m,方向向下;式(4)級數(shù)中的項數(shù)取N=100,計算精度取ε=10-5。外載荷頻率ω為1,6,11,16 rad/s時計算結果如圖3(a);載荷頻率ω為10,20,30,40 rad/s時,計算結果如圖3(b);載荷頻率ω為100,200,300,400 rad/s時計算結果如圖3(c)。為了說明本文方法的可行性,特別令外載荷頻率ω很小,比如ω為0.01,0.06,0.11,0.16 rad/s時,動靜撓度之差的計算結果如圖4;當頻率ω為100,200,300,400 rad/s時,動靜撓度之差的計算結果如圖3(c),梁的動力響應性質已很明顯了。從圖3(a)—(c)容易看出,梁在A0點、A1點和A2點撓度始終為零,滿足邊界條件;隨著載荷頻率ω的增加(比如圖3(b)的ω≤40 rad/s),梁的撓度幅度逐步增加,但在外載頻率較大時(比如圖3(c)的ω≥100 rad/s),梁的撓度幅值響應不再具有明顯的規(guī)律性。從圖4(a)看出,當載荷頻率很小(比如10-2量級),梁的動態(tài)響應已不明顯,靜態(tài)特性較為顯著,這也說明了本文方法計算結果的正確性。從圖4(b)看出,當載荷頻率較大時(比如102量級),梁的動態(tài)響應已很明顯,靜動撓度之差較為顯著。由于本例多跨梁結構支撐不對稱,中間支撐偏于左端,故其靜動態(tài)撓度響應也是不對稱的;當外載荷頻率較小時(比如10-2量級)撓度偏差在中間支撐處有較強波動,但波動幅度在10-9量級,說明原動態(tài)問題已經(jīng)接近于靜態(tài)問題,動力效應不明顯,這也說明了本文方法的可行性。

圖3 雙跨梁的撓度響應幅值隨載荷頻率的變化Fig.3 Variations of the difference of the static and dynamic deflection amplitude of the double-span beam with different loading frequencies

圖4 雙跨梁的靜動撓度響應幅值差隨載荷頻率的變化Fig.4 Variations of the difference of the static and dynamic deflection amplitude of the double-span beam with different loading frequencies

算例2考慮有3個中間支撐的鉸支多跨梁情形,L1=3 m,L2=6 m,L3=9 m,L4=12 m,其他條件同算例1。當穩(wěn)態(tài)擾動頻率ω為1,6,11,16 rad/s時,計算結果如圖5(a);擾動頻率ω為10,20,30,40 rad/s時,計算結果如圖5(b);擾動頻率ω為100,200,300,400 rad/s時計算結果如圖5(c)。當擾動頻率ω為0.01,0.06,0.11,0.16 rad/s時,動靜撓度幅值之差的計算結果如圖6(a);擾動頻率ω為100,200,300,400 rad/s時,動靜撓度幅值之差的計算結果如圖6(b)。從這些結果可以看出,由于結構對稱、約束對稱和受載對稱,故多跨梁的撓度變形也是對稱的。

圖5 4跨梁的撓度響應幅值隨載荷頻率的變化Fig.5 Variations of the deflection amplitude of the four-span beam with different loading frequencies

圖6 4跨梁的靜動撓度響應幅值差隨載荷頻率的變化Fig.6 Variations of the difference of the static and dynamic deflection amplitude of the four-span beam withdifferent loading frequencies

從圖6(a)看出,載荷頻率較小時(比如10-2量級),梁的動靜撓度幅值之差在10-9量級變化范圍內(nèi),說明兩者相差不大,可當作靜力學問題處理;當然,本文方法和解除約束法的計算結果在梁的中間3個支撐處的波動較為強烈,但波動幅度都在10-9～10-8量級變化范圍內(nèi),完全可以忽略。

從上述2個算例的實際計算過程來看,算例1是雙跨梁,算例2是四跨梁,級數(shù)(4)中都取了N=100,但兩者的計算收斂速度和精度幾乎完全一樣,這說明本文算法對于多跨梁中間支撐的數(shù)量是不敏感的;此外,改變分布載荷線密度的大小進行試算,本文算法仍然收斂,收斂情況同文中算例,這里不再列出。

3 結 論

從理論分析和數(shù)值算例結果看,有如下結論

(1)當載荷頻率為10-2量級時,結構的靜動態(tài)響應差別很小,基本上可以忽略;

(2)當載荷頻率為101量級時,隨著頻率的增加,梁的撓度響應幅值也逐步增大;

(3)當載荷頻率為102量級時,梁的撓度響應幅值的變化失去規(guī)律性;

(4)隨著多跨梁中間支撐數(shù)量的增加,解除約束法的繁瑣過程已很明顯,而本文算法因為編程容易、易于電算且收斂速度快的特點在算例計算過程中已具優(yōu)勢;

(5)從本文理論分析看出,文中算法對于梁上作用的載荷種類和數(shù)量沒有限制,其處理過程的簡易性和統(tǒng)一性不受多大影響,但對于解除約束法來說,這種影響會非常明顯。