廣東 王鐵成

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大多為“做題——講題”模式，老師力求把題型覆蓋全面，學(xué)生的負(fù)擔(dān)自然重，機械的訓(xùn)練不利于提高學(xué)生的核心素養(yǎng).這就需要一些典型的樣例為載體.樣例是指教師提供以逐步呈現(xiàn)解題步驟的形式來為學(xué)生提供問題解決方法的例題.樣例分不完整樣例和完整樣例，不完整樣例在呈現(xiàn)方式、設(shè)問方式，以及答案組織方面具有某種不完整性，教學(xué)情境更具生成性、開放性和不確定性，能更好地激發(fā)學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性，從而提高學(xué)習(xí)效果，從某種意義上講契合高考新題型——結(jié)構(gòu)不良試題.有助于幫助學(xué)生搭建知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的意識和能力，升華核心素養(yǎng).但是這種樣例的學(xué)習(xí)方式對學(xué)生的基礎(chǔ)知識要求較高，同時要求學(xué)生有一定的自學(xué)能力和理解能力.高三畢業(yè)班的學(xué)生恰好大多都具備這個條件.本文以“解三角形”為例，嘗試運用“樣例”探究新模式，打破“做題——講題”死循環(huán)，提高課堂效率，落實《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)理念，升華核心素養(yǎng).

1.探究不完整樣例 復(fù)習(xí)本章主干知識點

“解三角形”一章中最重要的幾個基本知識點：正弦定理、余弦定理、射影定理及它們的證明和應(yīng)用，下面我們通過案例研究任意三角形中的“向量的等量關(guān)系”，通過不同的數(shù)學(xué)方法處理，證明定理.

2.創(chuàng)設(shè)條件與結(jié)論互換的樣例 加深對基本定理的認(rèn)識

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們會發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)命題中的原命題和逆命題都是真命題，因此我們可以通過將問題與條件互換，創(chuàng)設(shè)樣例，教師給出命題充分性的證明，由學(xué)生來補充命題的必要性條件，反之亦然.在這個活動中學(xué)生能夠充分體會到知識運用和問題思考的雙向性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，認(rèn)識到事物的對立與統(tǒng)一.

案例2正弦定理、余弦定理的相互推導(dǎo)證明

視角一：用正弦定理推導(dǎo)余弦定理(以a2=b2+c2-2bccosA為例)

b2+c2-2bccosA

=4R2(sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA)

=4R2[sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)]

=4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sinBsinCcosBcosC]

=4R2(sinBcosC+sinCcosB)2=a2.

視角二：用余弦定理推導(dǎo)正弦定理

sin2C=1-cos2C

通過“公式互推”樣例的活動組織，讓學(xué)生在公式“對象”和“過程”的雙重身份中不斷切換思維對象，不斷感知數(shù)學(xué)推理的力量，同時加深對兩個基本定理的認(rèn)識.這樣的活動組織可以提高學(xué)生的推理論證能力，拓寬認(rèn)識公式的視野，貫通知識間的聯(lián)系.

3.創(chuàng)設(shè)確定條件變換結(jié)論樣例 建立數(shù)學(xué)模型

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，還有一類問題就是題目的條件非常類似，甚至相同.由于考查的目標(biāo)不同，可以采用不同的提問角度創(chuàng)設(shè)結(jié)論.如果學(xué)生能夠在這種通過結(jié)論變換創(chuàng)設(shè)的“不完整樣例”的活動氛圍中學(xué)習(xí)，必定能夠增強思維的深度，提高運用所學(xué)知識的能力.

案例3△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a=6，∠A=60°，請?zhí)砑咏Y(jié)論，形成一個完整習(xí)題.

學(xué)生根據(jù)已有的基本知識設(shè)計習(xí)題，部分具有代表性的習(xí)題，選取如下：

問題1：求b+c的取值范圍；

問題2：求三角形周長的取值范圍；

問題3：求bc的取值范圍；

問題4：求三角形面積的最大值.

本案例實際上呈現(xiàn)了解三角形中的一個最重要的模型“給出定邊及其所對的角”，其他結(jié)論部分可以設(shè)計求一些基本量的最值問題，其實這也是很好的一道結(jié)構(gòu)不良試題.學(xué)生如果能從單純的解決問題上升到能夠編撰習(xí)題的高度，那么課堂是非常成功的.既能促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生的基本技能，同時發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.創(chuàng)設(shè)能夠多視角解題的樣例 鋪設(shè)學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)

教育家波利亞說過“即使是相當(dāng)好的學(xué)生，當(dāng)他得到問題的解答后，就會合上書本，找點別的事來干，這樣做，他就錯過了解題的一個重要方面”.如果教師能使學(xué)生在每次解題之后捫心自問:“這道題的解法是否完善?這道題有沒有更好的解題途徑?能不能換個角度考慮一下?還能不能再推廣呢?”，在不同角度的解法間切換，那么學(xué)生就會融會貫通各個知識點，形成知識團(tuán)，學(xué)生的核心素養(yǎng)品質(zhì)必然由量變產(chǎn)生徹底的質(zhì)變.

案例4解決案例3的問題4

視角一:借助余弦定理和均值不等式

因為a，∠A已知，△ABC面積的最大值可轉(zhuǎn)化為求bc的最大值，所以用余弦定理建立b，c之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上用基本不等式求最值.

視角二:借助正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)

視角三:借助平面幾何知識

案例5(2021·新高考Ⅰ卷·19)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

解：第(1)問較為簡單，請讀者自行解決，由于篇幅不再贅述，我們集中精力解決第(2)問.

視角一：借助余弦定理

另解：也可以在△ABD中和在△ABC中使用余弦定理，即利用∠BAD=∠BAC也可以求解.

視角二：借助平面向量

再由余弦定理b2=a2+c2-2accos∠ABC，及b2=ac得到6a2-11ac+3c2=0下同案例5視角一.

視角三：借助平面幾何知識(勾股差定理和托勒密定理)

知識面更寬的學(xué)生，或者參加過競賽培訓(xùn)的學(xué)生，其實還有更容易的平面幾何方法，比如勾股差定理和托勒密定理.

5.創(chuàng)設(shè)“錯中悟道”樣例 深化學(xué)習(xí)品質(zhì)

高三講評課涉及的內(nèi)容都是學(xué)生已學(xué)過的知識，學(xué)生會覺得課堂很平淡，但是解三角形里面的運算有時形式化技巧用得較多，如果在學(xué)生算出了結(jié)果后，我們引導(dǎo)學(xué)生去質(zhì)疑，你的結(jié)果正確嗎？那么課堂效率就會顯著提高.同時也會培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑批判精神，錯中悟道.

①∠A的大小；

②若a=6，b+c=8求△ABC的面積.

這樣的錯中悟道樣例探究，也正是《課程標(biāo)準(zhǔn)》所要求的“在學(xué)生進(jìn)行活動的同時，給學(xué)生樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神，不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識.”

6.結(jié)束語

上述的幾個案例層層遞進(jìn)，從知識的3個層次，了解、理解、運用來提高，特別是在高三復(fù)習(xí)的階段，學(xué)生會以這些案例為載體，把解三角形的相關(guān)知識融會貫通成知識團(tuán)，再有機添加到自己所擁有的高中數(shù)學(xué)知識網(wǎng)中，并且不斷地壯大和凝練！6個案例基本表征如下：